2.4.1线段、角的轴对称性：垂直平分线的性质与判定（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.4.1 线段、角的轴对称性： 垂直平分线的性质与判定 题型一 线段垂直平分线的性质定理——角度 1．在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若比的2倍少，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，在中，，点为中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，．若点，分别在，的垂直平分线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　　． 8．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 题型二 线段垂直平分线的性质定理——周长 1．如图，中，垂直平分，交于，交于，连接，，则的周长与的周长差为　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为18，，则的周长是　　 A．23 B．25 C．32 D．36 3．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是　　 A． B．10 C．12 D． 4．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点、，，，则的周长是　　． 题型三 线段垂直平分线的性质定理——综合 1．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为19，的周长为7，求的长． （2）若，，求的度数． 【详解】解：（1）是线段的垂直平分线， ，， 的周长为19，的周长为7， ，， ， ； （2），， ， AB=BE，AD=DE， ∠BAF=∠BEF，∠DAF=∠DEF， ， ． 2．如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【详解】解：（1），分别垂直平分边和边， ，， 的周长； （2），分别垂直平分边和边， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 3．在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6． （1）与的数量关系为　　； （2）求的长； （3）分别连接，，，若的周长为16，求的长． 【详解】解：（1）是线段的垂直平分线， ， 故本题答案为：； （2）是线段的垂直平分线， ， 的周长为6， ， ，即； （3）如图， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线，， ， 的周长为16，， ， ． 4．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接，． （1）判断与的位置关系，并证明你所得的结论； （2）求证：． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的角平分线， ， 垂直平分， ， ， ， ； （2）证明：垂直平分， ，， ∠DAE=∠ADE，∠DAF=∠ADF， ， ， ， ． 题型四 线段垂直平分线的判定定理 1．在的边上找一点，使得．下面找法正确的是　　 A．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C．作的垂直平分线交于点，点为所求 D．作的垂直平分线交于点，点为所求 2．如图，在中，，是上的一点，是上一点，且，若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，点是的中点，连接，垂直平分，垂足为，是的中点，连接，求证：是的垂直平分线． 4．如图，四边形中，，边的垂直平分线经过点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，则　　． 5．如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点、，． 求证：（1）； （2）垂直平分． 题型五 三角形中的垂直平分线 1．某公园有三角形草坪，如图，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到三个顶点的距离相等，则该树应种在的　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 2．点是三边垂直平分线的交点，连接、、，若，则的值是　　 A． B． C． D． 3．如图，的边、的垂直平分线相交于点．连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，在中，是三角形角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 题型六 “将军饮马”模型 1．如图：直线表示一条公路，、表示两所大学．要在公路上修建一个车站，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点的位置． 2．在中，点，点分别在边和边上，请在边上确定一点，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 4．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任一点则周长的最小值是　　 A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 5．如图，射线线段，垂足为，，垂足为，，，．点为射线上的一动点，当的周长最小时，　　． 1．如图，在中，，，于点，是的平分线，是边的垂直平分线，分别交边，于点，．若，，则的值为　　 A． B．2 C． D． 2．如图，已知是的角平分线，的中垂线交于点，交的延长线于点．以下四个结论：①；②；③；④．恒成立的结论有　　 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，钝角三角形的面积是20，最长边，平分，点，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.1 线段、角的轴对称性： 垂直平分线的性质与判定 题型一 线段垂直平分线的性质定理——角度 1．在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若比的2倍少，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，解得：． 故本题选：． 3．已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ． 故本题选：． 4．如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点， ，， ，， ， ． 故本题选：． 5．如图，在中，，点为中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， 点为中点，， 是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ． 故本题选：． 6．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，．若点，分别在，的垂直平分线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：点，分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 故本题选：． 7．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　　． 【详解】解：如图，连接、， 、分别是、的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∠ABO=∠CDO， ，， ，， ，． 故本题答案为：44． 8．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 【详解】解：如图，连接， 线段，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故本题答案为：． 题型二 线段垂直平分线的性质定理——周长 1．如图，中，垂直平分，交于，交于，连接，，则的周长与的周长差为　　 A． B． C． D． 【详解】解：垂直平分边，， ，， 的周长， 的周长， 的周长与的周长差． 故本题选：． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为18，，则的周长是　　 A．23 B．25 C．32 D．36 【详解】解：垂直平分线段， ， 的周长为18， ， ， ， 的周长为：． 故本题选：． 3．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是　　 A． B．10 C．12 D． 【详解】解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ， 的周长． 故本题选：． 4．如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点、，，，则的周长是　　． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ． 故本题答案为：34． 题型三 线段垂直平分线的性质定理——综合 1．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为19，的周长为7，求的长． （2）若，，求的度数． 【详解】解：（1）是线段的垂直平分线， ，， 的周长为19，的周长为7， ，， ， ； （2），， ， AB=BE，AD=DE， ∠BAF=∠BEF，∠DAF=∠DEF， ， ． 2．如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【详解】解：（1），分别垂直平分边和边， ，， 的周长； （2），分别垂直平分边和边， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 3．在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6． （1）与的数量关系为　　； （2）求的长； （3）分别连接，，，若的周长为16，求的长． 【详解】解：（1）是线段的垂直平分线， ， 故本题答案为：； （2）是线段的垂直平分线， ， 的周长为6， ， ，即； （3）如图， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线，， ， 的周长为16，， ， ． 4．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接，． （1）判断与的位置关系，并证明你所得的结论； （2）求证：． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的角平分线， ， 垂直平分， ， ， ， ； （2）证明：垂直平分， ，， ∠DAE=∠ADE，∠DAF=∠ADF， ， ， ， ． 题型四 线段垂直平分线的判定定理 1．在的边上找一点，使得．下面找法正确的是　　 A．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C．作的垂直平分线交于点，点为所求 D．作的垂直平分线交于点，点为所求 【详解】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上，故正确． 故本题选：． 2．如图，在中，，是上的一点，是上一点，且，若，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：，， 直线是线段的垂直平分线， 是的中点， ． 故本题选：． 3．如图，在中，点是的中点，连接，垂直平分，垂足为，是的中点，连接，求证：是的垂直平分线． 【详解】证明：垂直平分， ， 点是的中点， ， ， 是的中点， 垂直平分． 4．如图，四边形中，，边的垂直平分线经过点． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，则　　． 【详解】（1）证明：如图，连接， 边的垂直平分线经过点， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， 故本题答案为：． 5．如图，在中，是的中点，，，垂足分别为点、，． 求证：（1）； （2）垂直平分． 【详解】证明：（1）是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）由（1）可知：， ，， ， ， ， ， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分． 题型五 三角形中的垂直平分线 1．某公园有三角形草坪，如图，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到三个顶点的距离相等，则该树应种在的　　 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 到三个顶点的距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故本题选：． 2．点是三边垂直平分线的交点，连接、、，若，则的值是　　 A． B． C． D． 【详解】解：点为三边垂直平分线的交点， ， ，，， ， ， ． 故本题选：． 3．如图，的边、的垂直平分线相交于点．连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接， 为线段的垂直平分线， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 4．如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 5．如图，在中，是三角形角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是三边垂直平分线的交点， ，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 故本题选：． 题型六 “将军饮马”模型 1．如图：直线表示一条公路，、表示两所大学．要在公路上修建一个车站，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点的位置． 【详解】解：如图， 点即为所求． 2．在中，点，点分别在边和边上，请在边上确定一点，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图， 点即为所求． 3．如图，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【详解】解：如图，分别作关于射线、的对称点、，连接，分别交、于点、， 点，即为所求． 4．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任一点则周长的最小值是　　 A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【详解】解：如图，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为， 当点与点重合时，的周长最小，最小值为． 故本题选：． 5．如图，射线线段，垂足为，，垂足为，，，．点为射线上的一动点，当的周长最小时，　　． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时的周长最小， ， ， ， 射线线段，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题答案为：3． 1．如图，在中，，，于点，是的平分线，是边的垂直平分线，分别交边，于点，．若，，则的值为　　 A． B．2 C． D． 【详解】解：如图，连接， ，是斜边上的高线， ，， ， ， ， 是的角平分线， ，即， 是边的垂直平分线， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，已知是的角平分线，的中垂线交于点，交的延长线于点．以下四个结论：①；②；③；④．恒成立的结论有　　 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【详解】①是的垂直平分线， ， ； ②是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ； ③FD与不一定互相垂直； ④由①②得：，， ，， ． 故本题选：． 3．如图，钝角三角形的面积是20，最长边，平分，点，分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点， 平分， ， ，此时的值最小， 的面积是20，， ， 的值最小为4． 故本题选：． 4．如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作射线，则， 连接，，则，， 作点关于的对称点，过点作射线，则， 连接，则， ， 要使最小，需点，，，在一条直线上，且， ， ， 可以过点作， 此时， ， 当最小时，． 故本题选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$