第10讲 对数与对数函数（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第10讲 对数与对数函数 （10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 指数函数与对数函数结合、基本不等式 2023年北京卷，第11题，5分 指数与对数运算 2022年北京卷，第7题，4分 对数运算与折线图实际应用结合 2021年北京卷，第15题，5分 对数函数与函数零点结合 2020年北京卷，第11题，5分 对数函数的定义域 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】对数与对数函数5年5考，主要以选择题与填空题考查，难度整体中等偏下． 【备考策略】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一些对数转化成自然对数或常用对数； 2.理解对数的概念，理解对数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点等； 3.知道对数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数与对数函数互为反函数． 【命题预测】以选择与填空题为主，侧重于考查学生对对数运算法则的掌握、对数函数图象与性质的理解，以及运用对数解决实际问题的能力． 知识讲解 知识点1 对数 1、对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 2、对数的性质 （1）对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； （2）①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). （3）指数式与对数式的关系 3、对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 4、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点2 对数函数图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b． 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点3 反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 考点一、对数的化简与求值 【典例1】（22-23高三上·北京海淀·开学考试）计算： . 【典例2】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京·三模）使成立的一组a，b的值为 ， . 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2). 考点二、对数函数的定义及应用 【典例1】（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【典例2】（23-24高三上·内蒙古·阶段练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 1．（23-24高三上·上海·期中）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 2．已知函数是对数函数，则 ． 考点三、对数函数的图象及应用 【典例1】已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    1．（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（23-24高三下·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 考点四、对数型函数的奇偶性 【典例1】（23-24高三下·四川成都·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高三上·辽宁朝阳·期末）已知为偶函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 考点五、对数型函数的单调性及应用 【典例1】（23-24高三下·河北·三模）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）若在区间上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 考点六、指对幂比较大小 【典例1】（23-24高三下·北京延庆·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 1．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京通州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点七、解对数不等式或方程 【典例1】（23-24高三下·广东广州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）已知，，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·上海·三模）不等式的解集为 ． 2．（23-24高三下·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点八、对数型函数的最值或值域问题 【典例1】（23-24高三下·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 2．（22-23高三·北京·对口高考）设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值． 考点九、指数函数与对数函数综合 【典例1】（23-24高三上·新疆·期中）已知函数. (1)求的定义域及值域； (2)若，求的取值范围. 【典例2】（23-24高三上·广东珠海·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（23-24高三下·广东汕头·三模）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 2．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称． (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 考点十、反函数及其应用 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数的反函数为，则 . 【典例2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．12 D．2 2．（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京海淀·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京丰台·期中）分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（    ）（参考数据：） A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．26 D．27 5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 7．（23-24高三上·北京海淀·模拟预测）不等式的解集为 ． 1．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则是（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 2．（23-24高三下·北京门头沟·一模）设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）的最小值为 . 6．（23-24高三下·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 . 7．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）设函数，，且，． (1)求的值及的定义城； (2)判断的奇偶性，并给出证明； (3)求函数在上的值域． 1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 4．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 6．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 8．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 对数与对数函数 （10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第9题，4分 指数函数与对数函数结合、基本不等式 2023年北京卷，第11题，5分 指数与对数运算 2022年北京卷，第7题，4分 对数运算与折线图实际应用结合 2021年北京卷，第15题，5分 对数函数与函数零点结合 2020年北京卷，第11题，5分 对数函数的定义域 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】对数与对数函数5年5考，主要以选择题与填空题考查，难度整体中等偏下． 【备考策略】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一些对数转化成自然对数或常用对数； 2.理解对数的概念，理解对数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点等； 3.知道对数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数与对数函数互为反函数． 【命题预测】以选择与填空题为主，侧重于考查学生对对数运算法则的掌握、对数函数图象与性质的理解，以及运用对数解决实际问题的能力． 知识讲解 知识点1 对数 1、对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 2、对数的性质 （1）对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； （2）①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). （3）指数式与对数式的关系 3、对数的的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 ①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 4、换底公式 （1）logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。 （2）换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 知识点2 对数函数图象与性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b． 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识点3 反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 考点一、对数的化简与求值 【典例1】（22-23高三上·北京海淀·开学考试）计算： . 【答案】 【解析】. 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，A错； ，B错； ，C对； ，D错.故选：C 1．（23-24高三下·北京·三模）使成立的一组a，b的值为 ， . 【答案】2（答案不唯一）；2（答案不唯一） 【解析】若，则，可得， 例如符合上式. 故答案为：2；2.（答案不唯一） 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)3；(2)2 【解析】（1） （2） 考点二、对数函数的定义及应用 【典例1】（21-22高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【解析】由已知得，所以，解得：，故选：A． 【典例2】（23-24高三上·内蒙古·阶段练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【答案】 【解析】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 1．（23-24高三上·上海·期中）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 2．已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是对数函数，则，解得． 故答案为：1. 考点三、对数函数的图象及应用 【典例1】已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方， 所以，所以.故选：D 【典例2】（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【答案】 【解析】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 1．（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D 2．（23-24高三下·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点四、对数型函数的奇偶性 【典例1】（23-24高三下·四川成都·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且， 若函数是偶函数，则，即， 所以，即.故选：D． 【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，即，即， ，， 是定义在区间上的奇函数， ，即， ，解得（舍）或， 的定义域为，.故选：D. 1．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】，由函数是定义在上的奇函数， 则有， 即，即.故选：B. 2．（23-24高三上·辽宁朝阳·期末）已知为偶函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为为偶函数， 所以，，，， 即， 则，即， 则，即，故.故选：B. 考点五、对数型函数的单调性及应用 【典例1】（23-24高三下·河北·三模）函数的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，则函数的递增区间满足，解得， 所以函数的递增区间为.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递减， 由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0， 则有，解得.故选：C 1．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，即由和复合而成， 而在上单调递增， 故要使得函数在上单调递减， 需满足在上恒成立，且在上单调递减， 即得，解得，即，故选：A 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）若在区间上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 又函数的定义域为， 所以函数在上单调递减，且过原点， 所以函数在上单调递减，在上单调递增.故选：D. 考点六、指对幂比较大小 【典例1】（23-24高三下·北京延庆·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 又，函数在单调递增， 则，所以.故选：D 【典例2】（23-24高三下·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【答案】 【解析】因为， ，且， ， 故，故答案为：. 1．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）已知，，，比较a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增，所以， 又，所以； 又因为函数在上单调递增，所以，所以. 综上，.故选：C 2．（23-24高三上·北京通州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 因为，所以，即， 而，所以.故选：B. 考点七、解对数不等式或方程 【典例1】（23-24高三下·广东广州·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 因此，.故选：C. 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）已知，，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，， 当时，则有， 此时，，，， 则 ， ，，，D选项符合； 当时，则有，此时，，，， 则， ，，，D选项符合； 故选：D． 1．（23-24高三下·上海·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（23-24高三下·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为.故选：C 考点八、对数型函数的最值或值域问题 【典例1】（23-24高三下·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线， 所以，解得， 所以，且，即实数的取值范围为．故选：B． 1．（23-24高三上·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 【答案】8 【解析】， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 2．（22-23高三·北京·对口高考）设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值． 【答案】或． 【解析】， 所以， 由，令， 所以，则对称轴，开口向上， 当，即时，此时，满足； 当，即时，此时，满足； 所以或 考点九、指数函数与对数函数综合 【典例1】（23-24高三上·新疆·期中）已知函数. (1)求的定义域及值域； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为；(2) 【解析】（1）令，即，解得. 故的定义域为. ， 因为，所以， 所以. 故的值域为. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 因为为增函数，所以在上单调递减. ，即. 令函数， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减. ，则. 故的取值范围是. 【典例2】（23-24高三上·广东珠海·阶段练习）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为函数为偶函数，则， 即， 所以， ， . （2）， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 1．（23-24高三下·广东汕头·三模）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2)在，上单调递减；(3) 【解析】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； （2）在和上单调递减，证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； 所以在，上单调递减. （3）函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 2．（22-23高三上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称． (1)当时，恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数的图象关于原点对称，函数为奇函数． 恒成立． 恒成立． 即恒成立，解得或． 又时，不合题意，舍去，所以． ． ． 当时，． 当时，恒成立， ，即实数的取值范围是． （2）由，得． 关于的方程在上有解， 关于的方程在上有解， 即在上有解． 由于都在单调递减， 故函数在上单调递减， 的值域为． ，即实数的取值范围是． 考点十、反函数及其应用 【典例1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）函数的反函数为，则 . 【答案】12 【解析】由可得，所以， ，故答案为：12 【典例2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，所以.故选：A. 1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．－1 B．1 C．12 D．2 【答案】A 【解析】解法1：由，得， 所以函数的反函数为，则 解法2：设，则函数过点， 由于函数的反函数为，因此有，故.故选：A. 2．（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，由得， 所以令，这3个函数图象情况如下图所示： 设交于点，交于点， 由于的图象关于直线对称， 而的交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即， 且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程， 从而.故选：B. 1．（23-24高三下·北京东城·一模）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于CD，当时，，故CD错误.故选：A. 2．（22-23高三上·北京海淀·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， 因为是增函数，，所以.故选：D 3．（23-24高三上·北京丰台·期中）分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（    ）（参考数据：） A．8.686 B．4.343 C．0.8686 D．0.115 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，令，则， 所以.故选：A. 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．26 D．27 【答案】A 【解析】因为， ， 所以，故选：A. 5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C. 6．（23-24高三下·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 7．（23-24高三上·北京海淀·模拟预测）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由， 在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示： 因为， 所以由函数的图象可知：当时，有， 故答案为： 1．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，则是（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】若函数有意义， 则，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 函数， 因为函数在上递增，函数在定义域上递增， 所以函数在上是增函数.故选：A 2．（23-24高三下·北京门头沟·一模）设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若,由，取，但是， 而，则,又，则中至少有一个大于1， 若都小于等于1，根据不等式的性质可知，乘积也小于等于1，与乘积大于1矛盾， 则，故， 所以是的必要而不充分条件.故选：B 3．（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即.故选：D. 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，可知定义域关于原点对称， 由，可得， 显然，则且，可得，解得， 所以函数的定义域为， 则，解得, 此时, 且， 即，符合题意， 所以，故选：D. 5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）的最小值为 . 【答案】1 【解析】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为1. 故答案为：1. 6．（23-24高三下·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 . 【答案】 【解析】由，得，由，得， 依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线， 因此直线与函数图象的交点关于直线对称， 即点在直线上，则，， 于是，， 而， 所以，即. 故答案为： 7．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）设函数，，且，． (1)求的值及的定义城； (2)判断的奇偶性，并给出证明； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1)定义域，(2)函数为偶函数，证明见解析；(3)． 【解析】（1）由可得，故函数的定义域， 因为， 由题意，故 （2）因为， 又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数， （3）由（1）可知，， ，所以， 所以函数的值域为． 1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】原式，故选：B 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：B 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，即， 所以．故选：C. 4．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以故选：C. 方法二：比较法 ，，， ①， 令则， 故在上单调递减， 可得，即，所以； ②， 令 则， 令，所以， 所以在上单调递增，可得，即， 所以在上单调递增，可得，即，所以故 5．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近， 故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D 6．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故选：C. 7．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【解析】由题， 整理得或， 又，所以，故 故答案为：64. 8．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称， 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得， 由得，，， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：， 即函数的定义域为， 再由可得，．即， 在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$