第2章 素养拓展课(2) 匀速圆周运动规律的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（粤教版2019）

素养拓展课(二)　匀速圆周运动规律的应用 [对应学生用书P38] 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态． 通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用： (1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0. (2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0. (3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值． 如图所示，一根长为l＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示) (1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω为多大？ 解析　(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹在水平面上，故向心力沿水平方向，受力分析如图所示． 由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan θ＝mω2l sin θ 解得ω＝ rad/s (2)同理，当细线与竖直方向成α＝60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan α＝mω2l sin α 解得ω＝ ＝2 rad/s 答案　 (1) rad/s (2)2 rad/s [题后总结]　当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”． (1)水平面内常见的临界情况有：①与绳子的弹力有关：绳子恰好无弹力或恰好弹力最大(断裂)时；②与支持面弹力有关：恰好无支持力时；③与静摩擦力有关：静摩擦力达到最大值时． (2)解题方法：确定临界条件是关键，一般通过极限思维来确定临界条件，即把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显现，确定临界条件． [训练1]　(多选)如图所示，小球用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动．若转动角速度为ω，则下列说法正确的是(　　) A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力 B．绳子BP对小球的拉力随ω的增大而增大 C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力 D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力 ABC　[小球的重力、绳子BP的拉力及绳子AP中可能存在的拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力．用正交分解法求出小球分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误．] [训练2]　如图甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g. (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对滑动，求ω1的值； (2)如图乙所示，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝ 时，求细绳的拉力FT2的大小； (3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω3＝时，求细绳的拉力FT3的大小． 解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω 解得：ω1＝ (2)由于ω2＜ω1，最大静摩擦力大于所需向心力．此时绳对物块没有拉力，故FT2＝0. (3)由ω3＞ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋FT3＝mωr，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3＝μmg. 答案　(1) (2)0 (3)μmg 竖直平面内圆周运动的分析方法 (1)明确运动的模型：轻绳模型或者轻杆模型； (2)明确物体的临界状态：在最高点时物体具有最小速度时的受力特点； (3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解． 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 最高点弹 力的特点 弹力只能指向圆心 弹力既可以指向圆心也可以背离圆心 过最高点 的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由F合＝0可得v临＝0 讨论分析 (1)过最高点时，v＝，mg＝m，绳、轨道对球无弹力 (2)过最高点时，v＞，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (3)v＜时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，mg－FN＝m，FN为支持力，背离圆心且随v的增大而减小 (3)当v＝时，mg＝m，FN＝0，弹力出现的临界点 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为拉力或压力，指向圆心并随v的增大而增大 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳系一小球，并使小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg.(小球半径不计，g取10 m/s2) (1)求小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，求绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，求小球运动过程中速度的最大值． 解析　(1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s. (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N. (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s. 答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s 如图，长为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2，取π2＝10)： (1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 解析　假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示． (1)杆的转速为2 r/s时，有ω＝2π·n＝4π rad/s 由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2 故小球所受杆的作用力为 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N≈140 N 即杆对小球有140 N的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N，方向竖直向上． (2)杆的转速为0.5 r/s时，有ω′＝2π·n′＝π rad/s 同理可得小球所受杆的作用力为 F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N 力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10 N的支持力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下． 答案　(1)140 N　方向竖直向上　(2)10 N　方向竖直向下 [训练3]　如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A．200 N　 B．400 N　 C．600 N　 D．800 N B　[取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子平均受力为F，由牛顿第二定律知：2F－mg＝，代入数据得F＝405 N，选项B正确．] [训练4]　(多选)如图所示，一根长为L的轻质细杆一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点转动．现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g(g为当地的重力加速度)，下列说法正确的是(　　) A．小球的线速度大小为gL B．小球运动到最高点时处于完全失重状态 C．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球作用力方向不可能指向圆心O D．轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为mg BC　[根据a＝＝g，可知v＝，故A错误；小球运动到最高点时由于加速度为竖直向下的g，故小球处于完全失重状态，故B正确；当轻杆转到水平位置时，小球受向下的重力mg和杆的弹力作用，合力方向指向圆心，故轻杆对小球作用力方向应该斜向上方向，不可能指向圆心O，故C正确；轻杆在匀速转动过程中，在最低点时轻杆对小球作用力最大，其最大值为F＝mg＋ma＝2mg，故D错误．] 求解这类平抛运动与圆周运动的运动学综合问题的思路是：首先根据运动的独立性和各自的运动规律列式；其次寻找两种运动的结合点，如它们的位移关系、速度关系、时间关系等；最后再联立方程求解． 如图所示，一个人用一根长R＝1.6 m的轻质细绳拴着一个质量m＝1 kg的小球在竖直平面内做圆周运动，且恰好能够经过最高点．已知圆心O距离地面h＝6.6 m，转动中小球在最低点时绳子刚好断裂，此时小球的速度为4 m/s.(g＝10 m/s2)求： (1)绳子能够承受的最大拉力大小； (2)上述第(1)问中绳子断后小球落地点到O的水平距离． 解析　(1)在最低点，绳子拉力和重力的合力提供向心力，T－mg＝m，所以T＝m＋mg＝60 N (2)绳子断裂后，小球做平抛运动，h－R＝gt2且x＝vt，解得t＝1 s，x＝4 m 答案　(1)60 N　(2)4 m [训练5]　如图所示，杂技演员驾驶摩托车做腾跃特技表演时，先沿曲面冲上高H＝0.8 m的水平高台顶部，接着以v＝4 m/s的水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧轨道两端点，其连线水平．已知圆弧轨道半径为R＝2 m，人和车的总质量为m＝200 kg，特技表演的全过程中，空气阻力不计．(取g＝10 m/s2) (1)从平台飞出到A点的过程中，求人和车运动的水平距离s； (2)求人和车从平台飞出到达A点时的速度大小及圆弧轨道对应的圆心角θ； (3)若已知人和车运动到圆弧轨道最低点O点的速度为6 m/s，求此时人和车对轨道的压力大小． 解析　(1)人和车从平台飞出后做平抛运动至A点，则由平抛运动规律有H＝gt2，s＝vt 代入数据可解得s＝1.6 m. (2)人和车落至A点时，其竖直方向的分速度 vy＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s 由于人和车从A点恰能无碰撞地沿圆弧轨道切线进入，则在A点有tan ＝＝＝1 所以圆弧轨道对应的圆心角θ＝90° 到达A点时的速度vA＝＝4 m/s. (3)在O点，根据牛顿第二定律有FN－mg＝ 代入数据求得轨道对人和车的支持力FN＝5 600 N 根据牛顿第三定律，可知人和车对轨道的压力大小 FN′＝5 600 N． 答案　(1)1.6 m　(2)4 m/s　90°　(3)5 600 N [对应学生用书P41] 1．(圆周运动规律的应用)如图所示，某游乐园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半径为R，要使重力为mg的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(g为重力加速度)(　　) A．0　　 B．　　 C．　　 D． C　[由题意知F＋mg＝2mg＝m，解得v＝，选项C正确．] 2．(圆周运动规律的应用)(2022·全国甲卷)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h.要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　) A． B． C． D． D　[运动员由a运动到c的过程中，设到c点时的速度为v，由机械能守恒定律有mgh＝mv2，设c点处这一段圆弧雪道的最小半径为R，则在经过c点时，有kmg－mg＝m，解得R＝，D项正确．] 3．(圆周运动规律的应用)在长为L的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小为(　　) A．mg　　　　　　 B．mg C．2mg D．mg D　[B球通过最低点时，受到重力和拉力的作用做圆周运动，根据牛顿第二定律得：TB－mg＝m，据题意有：TB＝2mg，解得B球通过最低点时的线速度大小为：vB＝.以A球为研究对象，受到重力以及向上的拉力和向下的拉力，由牛顿第二定律得：TA－mg－2mg＝m且vA＝vB，得OA段此时受到的拉力为：TA＝mg，故D项正确．] 4．(圆周运动规律的应用)如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50 kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5 m，电动机连同打夯机底座的质量为M＝25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？ (2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？ 解析　(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面 有：FT＝Mg 对重锤有：mg＋FT＝mω2R 解得：ω＝ ＝ rad/s (2)在最低点，对重锤有：FT′－mg＝mω2R 则：FT′＝Mg＋2mg 对打夯机有： FN＝FT′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N. 由牛顿第三定律得FN′＝FN＝1 500 N 答案　(1) rad/s (2)1 500 N 学科网（北京）股份有限公司 $$