第7章 拓展课5 万有引力的应用和综合问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课5　万有引力的应用和综合问题 物理观念 科学态度与责任 1.通过天体运动规律求解天体运行的速度、周期、角速度和向心加速度。 2．通过运动规律解决星体上物体的运动情况。 通过对万有引力的学习，了解天体运动的规律，用所学知识更好地服务生活、生产等。 [对应学生用书P88] 探究点一 万有引力的应用 1．天体运动的分析与计算 一般行星(或卫星)的运动可看成匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。 基本公式：G＝man＝m＝mω2r＝mr。 注意：其中r为环绕天体做匀速圆周运动的半径。 2．黄金代换式 忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”。 3．环绕天体运动的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 (1)线速度v：由G＝m得v＝，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。 (2)角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，可见，r越大，ω越小；r越小，ω越大。 (3)周期T：由G＝mr得T＝2π，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。 (4)向心加速度an：由G＝man得an＝，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。 注意：①环绕天体的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与环绕天体的质量无关，即同一轨道上的不同环绕天体具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。 ②环绕天体的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢。 【例1】 (2024·福建宁德高一检测)我国首颗火星探测器天问一号飞行约7个月抵达火星，并经过3个月的环绕飞行后着陆火星。如图所示，关闭动力的天问一号探测器在火星引力作用下经椭圆轨道向火星靠近，然后绕火星做匀速圆周运动。已知探测器绕火星做匀速圆周运动的半径为r，周期为T，引力常量为G，火星半径为R，下列说法正确的是(　　) A．根据题中条件不能算出火星的重力加速度 B．根据题中条件能算出火星的第一宇宙速度 C．根据题中条件不能算出火星的平均密度 D．根据题中条件可以算出探测器在圆轨道上受到的火星引力大小 B　解析：由G＝mr可得火星的质量M，再由GM＝gR2可得火星的重力加速度，A错误；由mg＝m可得火星的第一宇宙速度，B正确；由ρ＝可得火星的平均密度，C错误；由F＝G可知，因探测器的质量未知，所以无法算出探测器在圆轨道上受到的火星引力的大小，D错误。 [练1] (多选)2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空。飞船在某段时间内的无动力运动可近似为如图所示的情境，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道，B点为椭圆轨道Ⅱ的近地点，椭圆轨道Ⅱ与圆形轨道Ⅰ相切于A点，设圆形轨道Ⅰ的半径为r，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球的自转周期为T，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，不考虑大气阻力。下列说法正确的是(　　) A．空间站运行的周期与载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为∶ B．载人飞船由B点飞到A点速度逐渐减小 C．载人飞船在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度 D．根据题中信息，可求出地球的质量M＝ AB　解析：设空间站运动的周期为T1，载人飞船运动的周期为T2，根据开普勒第三定律有＝，空间站运行的周期与载人飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为∶，A正确；根据开普勒第二定律可得，载人飞船在远地点A点的速度大小小于在近地点B点速度的大小，B正确；载人飞船在轨道Ⅰ上通过A点时受到的万有引力等于在轨道Ⅱ上运行时通过A点受到的万有引力，由牛顿第二定律可知，它们的加速度相等，C错误；空间站做匀速圆周运动，设空间站运动的周期为T1，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，空间站运动的周期与地球的自转周期T不相等，不可求出地球的质量，D错误。 [练2] (2024·浙江杭州高一期中)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　) A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的4倍 D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍 D　解析：甲、乙两颗人造卫星质量相等，设卫星质量为m，地球质量为M。卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有＝m，可得v＝，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的速度是乙的，A错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心加速度是乙的，B错误；由F＝G可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的向心力是乙的，C错误；由开普勒第三定律＝k可知，由于甲的轨道半径是乙的2倍，则甲的周期是乙的2倍，D正确。 对于卫星围绕天体运动问题，一般采用万有引力提供向心力列方程解答。比较两个天体的相关物理量，采用比值法解答较为简便。 探究点二 天体运行的综合问题 1．天体运动中的追及相遇问题 两颗天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两颗天体相距最近。若两颗环绕天体的运动轨道在同一个平面内，则两颗环绕天体与中心天体在同一条直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近。两颗环绕天体与中心天体在同一条直线上，且位于中心天体的异侧时相距最远。 以地球人造卫星为例。设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两颗卫星与地心连线转过的角度相差2π的整数倍，则两颗卫星又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)；如果经过时间t′，两颗卫星与地心连线转过的角度相差π的奇数倍，则两颗卫星相距最远，即ω1t′－ω2t′＝π。 2．在其他星球上做抛体运动 (1)根据抛体运动规律求出该星球表面的重力加速度，再利用行星运动的规律求解。 (2)根据行星运动的规律求出该星球表面的重力加速度，再利用抛体的运动规律求解。 【例2】 (2024·浙江高一检测)2023年5月发射天舟六号货运飞船和神舟十六号载人飞船，飞船发射后会在停泊轨道(Ⅰ)上进行数据确认，后择机经转移轨道(Ⅱ)完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道(Ⅲ)距地面的高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，下列说法正确的是(　　) A．飞船在转移轨道(Ⅱ)上P点的速度为v＝ B．飞船在转移轨道(Ⅱ)上P点的加速度小于Q点的加速度 C．飞船从P到Q的运动时间至少为 D．空间站内的物品或航天员处于“漂浮”状态，说明此时它们受力平衡 C　解析：飞船在停泊轨道(Ⅰ)上的速度为v＝，飞船从停泊轨道(Ⅰ)上的P点到转移轨道(Ⅱ)上P点要加速，则在转移轨道(Ⅱ)上P点的速度大于v＝，A错误；根据a＝可知，飞船在转移轨道(Ⅱ)上P点的加速度大于Q点的加速度，B错误；设飞船在转移轨道(Ⅱ)上的周期为T2，则根据开普勒第三定律＝解得T2＝T1，飞船从P到Q的运动时间至少为t＝＝，C正确；空间站内的物品或航天员随空间站绕地球做匀速圆周运动，则虽然处于“漂浮”状态，但它们受力不平衡，D错误。 【例3】 (2024·河北张家口高一检测)2020年12月1日，嫦娥五号探测器成功着陆在月球正面预选着陆区。如图甲所示，探测器在月球表面着陆前反推发动机向下喷气以获得向上的反作用力，探测器减速阶段可看作竖直方向的匀变速直线运动。若探测器获得的反作用力大小为F，经历时间t0，速度由v0减速到0，月球半径为R，引力常量为G，探测器质量为m。 (1)求月球表面的重力加速度g的大小； (2)求月球的质量M和密度ρ； (3)如图乙所示，若将来的某天，中国航天员在月球表面做了如图乙所示的实验，将一根长为L的细线的一端固定在O点，另一端固定一小球，使小球在竖直面内恰好做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度大小v是多少？ 答案：(1)　(2)　　(3) 解析：(1)探测器做减速运动的加速度大小为a＝，由牛顿第二定律得F－mg＝ma，解得g＝。 (2)由万有引力等于重力得G＝mg 解得M＝ 月球的密度为ρ＝ 解得ρ＝。 (3)由牛顿第二定律得m′g＝m′ 解得v＝。 [练3] (多选)(2024·云南昆明高一期中)在X星球上大气极其稀薄，将一可看成质点的物体以速度v0竖直上抛，经时间t回到原处，该星球有一颗卫星，卫星在距星球表面高为H处，运行周期为T。忽略该星球的自转，引力常量为G，以上提及的物理量均为已知量，则可求出(　　) A．星球的半径 B．星球的密度 C．卫星的线速度大小 D．卫星的质量 ABC　解析：设该星球表面的重力加速度为g，物体以速度v0竖直上抛，经时间t回到原处，则有v0＝g，可得g＝，卫星在距星球表面高为H处，运行周期为T，则有G＝m(R＋H)，根据黄金代换公式GM＝gR2，可求得该星球半径满足＝，显然，利用已知量可求出该星球半径。星球的密度ρ＝＝＝，卫星的线速度大小v＝，由于星球表面的重力加速度及半径可以求出，故星球的密度及卫星的线速度大小均可求出，利用题中已知量无法求出卫星质量，A、B、C正确，D错误。 [练4] (2024·湖南高一检测)2023年1月21日，农历除夕当晚，中国空间站过境祖国上空，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆向全国人民送来新春祝福。如图所示，中国空间站绕地心做近似圆周运动，轨道半径为r，航天员们在空间站内观察地球的最大张角为θ。已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转。则(　　) A．地球半径为r cos B．航天员所受地球引力几乎为零 C．空间站绕地球运动的周期为 D．航天员的向心加速度为g sin C　解析：由题图，设地球的半径为R，由几何关系可得sin ＝，解得地球半径为R＝r sin ，A错误；因为地球表面物体的重力等于地球的引力，可得G＝mg，可得GM＝gR2＝gr2sin2，设航天员的质量为m′，由万有引力定律可知，航天员所受地球引力为F＝G＝＝m′g sin2，因航天员的质量m′不是零，所以航天员所受地球引力不是零，B错误；空间站受地球的引力提供向心力，可得G＝m″r，解得T＝，C正确；由牛顿第二定律可得G＝m′a，解得航天员的向心加速度为a＝＝sin2＝g sin2，D错误。 探究点三 解决实际问题 [练5] (探究情境)(2022·河北卷)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为(　　) A．2 B．2 C． D． C　解析：地球绕太阳和行星望舒绕恒星羲和做匀速圆周运动过程中，均由万有引力提供其做圆周运动的向心力，可得G＝m，解得行星绕恒星公转的线速度大小为v＝，由题干信息可知恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，行星望舒与地球公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，C正确。 [练6] (航天情境)2022年10月31日，梦天实验舱发射任务取得圆满成功！中国空间站将形成三舱T字形基本构形。假定空间站在距地面450 km高度处做理想的匀速圆周运动，某时刻北斗卫星导航系统中的中轨道卫星A与空间站相距最近，如图所示，该中轨道卫星A距地面高度为2.1×107 m，地球半径为6.4×106 m，卫星A和空间站的运行轨道在同一平面内且运行方向相同，则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置)，在卫星A运行一周时间内，空间站与A相距最近的次数为(　　) A．7次 B．8次 C．9次 D．14次 A　解析：空间站的轨道半径r1＝R＋h1＝6.85×106 m，卫星A的轨道半径r2＝R＋h2＝2.74×107 m，可得＝，根据开普勒第三定律＝k，从而得出二者的周期之比为＝＝，设从图示位置开始经过时间t，二者相距最近，则有t＝2nπ，化简得t＝，在卫星A运行一周时间T2内，n取值，所以共7次相距最近，A正确。 [练7] (实验情境)(2024·河南许昌高一期末)如图甲所示的是北斗七星位置示意图，它们只是宇宙中七颗普通的恒星，而且它们之间没有任何关系。其中天玑星周围还有一颗质量较小的伴星，天玑星和它的伴星绕着它们二者之间连线的某点O做相同周期的匀速圆周运动，如图乙所示。现测得天玑星的质量为M，二者之间连线的长度为L，二者绕O点做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。试求天玑星的伴星的质量。 答案：－M 解析：设伴星的质量为m，天玑星的轨道半径为R，伴星的轨道半径为r 对伴星，有G＝mr 对天玑星，有G＝MR 由题意知R＋r＝L 联立以上各式解得m＝－M。 [对应学生用书P92] 1．(2024·湖南长沙长郡中学高一检测)北斗系统主要由离地面高度约为6R(R为地球半径)的同步轨道卫星和离地面高度约为3R的中圆轨道卫星组成，已知地球表面重力加速度为g，忽略地球自转。则下列说法正确的是(　　) A．中圆轨道卫星的运行周期为12小时 B．中圆轨道卫星的向心加速度约为 C．同步轨道卫星受到的向心力小于中圆轨道卫星受到的向心力 D．因为同步轨道卫星的速度小于中圆轨道卫星的速度，所以卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向前方喷气减速 B　解析：设M表示地球的质量，m表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力G＝m()2r，可得T＝2π，则有＝＝≠，可知中圆轨道卫星的运行周期不等于12小时，A错误；在地球表面为m0的物体，有G＝m0g，中圆轨道卫星ma＝＝，联立可得中圆轨道卫星向心加速度约为a＝，B正确；同步轨道卫星与中圆轨道卫星的质量关系不确定，则不能判断所受的向心力的关系，C错误；因为同步轨道卫星的轨道半径大于中圆轨道卫星的轨道半径，所以卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向后方喷气加速做离心运动，D错误。 2．随着我国航天事业的不断发展，未来某一天，我国航天员降落在某个星球上，他在该星球距地面高H处的地方以初速度v0水平抛出一个物体；在赤道位置，该物体落地时在水平方向上的位移为2x；在极地位置，该物体落地时在水平方向上的位移为x。已知该星球半径为R，引力常量为G，则该星球自转的周期是(　　) A．T＝2π B．T＝2π C．T＝2π D．T＝2π A　解析：在赤道上的物体有－mg1＝mR，在两极有＝mg2，在赤道位置，该物体落地时在水平方向上的位移为2x，则有2x＝v0t，H＝g1t2，联立解得T＝2π，A正确。 3．(多选)(2023·湖南常德高一段考)如图所示，地球半径为R，甲、乙两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，甲离地面的高度为R，乙离地面的高度为2R，下列说法正确的是(　　) A．甲、乙做圆周运动的速率之比＝ B．甲、乙做圆周运动的速率之比＝ C．甲、乙做圆周运动的周期之比＝ D.甲、乙做圆周运动的周期之比＝ AC　解析：根据万有引力提供向心力有G＝m，得v＝，故＝＝，A正确，B错误；又因为G＝mr，得T＝，故＝＝，C正确，D错误。 4．(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(　　) A．所受地球引力的大小近似为零 B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 C　解析：航天员在“天宫二号”中漂浮时，绕地球做圆周运动，此时地球的引力完全用来提供向心力，说明其所受地球引力的大小不为零，A错误；航天员随飞船绕地球做匀速圆周运动，航天员所受地球引力与飞船对其作用力的合力提供向心力，不为零，飞船对其作用力很小，故此时地球对航天员的引力与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等，B错误，C正确；由万有引力公式F＝G可知，由于r表＜r飞，所以在地球表面所受的引力大于在轨道上所受的引力，D错误。 5．(多选)在X星球表面，航天员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其Fv2图像如图乙所示。已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转。则下列说法正确的是(　　) A．X星球的第一宇宙速度v1＝ B．X星球的密度ρ＝ C．X星球的质量M＝ D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T＝4π CD　解析：取竖直向下为正方向，由向心力方程得mg－F＝m，当F＝0时，mg＝m，解得v2＝gR＝b，则该星球表面重力加速度为g＝，该星球第一宇宙速度为v1＝＝，A错误；由万有引力与重力关系可得G＝mg，解得该星球质量为M＝＝，该星球密度为ρ＝＝，B错误；该星球质量为M＝＝，C正确；由万有引力提供向心力可得G＝m，解得卫星周期为T＝＝4π，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$