第6章 拓展课4 圆周运动中的多解问题和临界问题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课4　圆周运动中的多解问题和临界问题 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.进一步理解圆周运动的概念； 2．进一步掌握描述圆周运动的物理量间的关系。 1.根据所学的圆周运动的规律推导出临界条件； 2．通过实例分析建立多解运动模型。 通过对圆周运动实例的综合分析，培养学生勇于克服困难的勇气。 [对应学生用书P59] 探究点一 圆周运动中的多解问题 1．问题特点 (1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个(一般做不同运动)物体。 (2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动、匀速圆周运动等)。 (3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式，求解待求物理量。 2．分析技巧 (1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两种运动的联系点。 (2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。 【例1】 如图所示， 竖直平面内有光滑圆弧轨道，半径R1＝0.2 m，其圆心O1正下方为水平圆盘的圆心O2，圆盘的半径R2＝2 m。B与O2之间的距离h＝5 m，可视为质点的小球，其质量m＝1 kg，从A点无初速度释放，刚好击中圆盘边缘的P点。 (1)求小球经过B点的速度。 (2)求小球经过B点时对圆弧轨道的压力。 (3)当小球从B点平抛出来，同时圆盘以某角速度绕着O1O2水平匀速转动，小球击中圆盘边缘Q点(图中未画出)，圆心角∠PO2Q＝90°，计算圆盘转动的角速度？(重力加速度g取10 m/s2) 答案：(1)2 m/s　(2)30 N，方向竖直向下　(3)见解析 解析：(1)根据平抛运动的规律 h＝gt2，R2＝vBt 联立解得vB＝2 m/s。 (2)在B点，根据牛顿第二定律F－mg＝m 解得F＝30 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律可知小球经过B点时对圆弧轨道的压力为30 N，方向竖直向下。 (3)平抛时间不变，t＝1 s，圆盘转动时间不变 ①若圆盘转动的角度θ＝2πn＋，则t＝nT＋＝1 s，可得T＝ s 角速度ω＝＝ rad/s，其中n＝0，1，2，…； ②若转过的角度θ′＝2πn＋，则t′＝nT′＋＝1 s，可得T′＝ s 角速度ω′＝＝ rad/s，其中n＝0，1，2，…。 [练1] 如图所示，直径为d的圆纸筒，以角速度ω绕O轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且Oa、Ob间的夹角为α，则子弹的速度v＝ 。 答案：(n＝0，1，2，…) 解析：子弹通过圆纸筒在水平方向上做匀速直线运动，经历的时间t＝，两个弹孔与圆心连线夹角等于α的条件是：在相同时间内圆纸筒转过的角度θ＝(2n＋1)π－α＝ωt，其中(n＝0，1，2，…)，联立可得子弹的速度v＝(n＝0，1，2，…)。 探究点二 圆周运动中的临界问题 1．与摩擦力有关的临界问题：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是静摩擦力提供向心力，则静摩擦力的方向指向圆心，大小为f＝。 (2)如果除摩擦力外还有其他力，此时的临界条件是静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为0。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 3．解决圆周运动临界问题的一般思路 (1)要考虑达到临界条件时物体所处的状态。 (2)分析该状态下物体的受力特点。 (3)结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程分析求解。 【例2】 (2023·四川内江高一检测)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转轴用细绳相连，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)当转盘的角速度ω1＝时，求细绳的拉力FT1的大小； (2)当转盘的角速度ω2＝时，求细绳的拉力FT2的大小。 答案：(1)0　(2)μmg 解析：(1)由题意可得，当物块刚好只有摩擦力提供向心力时，有μmg＝mω2r，ω＝ 即当角速度小于等于时，摩擦力提供向心力，细绳对物块的拉力为0，即FT1＝0。 (2)由题意可知，ω2>ω，此时由题意有FT2＋μmg＝mωr 解得FT2＝μmg。 【例3】 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一个质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一个光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示) (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s 解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得 mg tan θ＝mωl sin θ 解得ω＝ 即ω0＝＝ rad/s。 (2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan α＝mω′2l sin α 解得ω′2＝ 即ω′＝＝2 rad/s。 [练2] (多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　) A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 B．当ω>，绳子一定有弹力 C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大 D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大 ABD　解析：当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，所以，当ω>时，A、B相对于转盘会滑动，A正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C错误；在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，当0<ω≤时，绳上无拉力，则f＝mω2L，当ω增大时，静摩擦力也增大；当<ω<时，B的摩擦力不变，有fB＋T＝m·2L·ω2，可知随着ω增大，绳上拉力增大，对A有f－T＝mω2L，得f＝mω2L＋T，可知随着ω增大，A所受摩擦力也增大，D正确。 探究点三 解决实际问题 [练3] (探究情境)如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，上面绳长L＝2 m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终伸直？(g取10 m/s2) 答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 解析：两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。 (1)BC恰好拉直，但拉力T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有 Fx＝T1sin 30°＝mωL sin 30° Fy＝T1cos 30°－mg＝0 联立解得ω1≈2.40 rad/s。 (2)AC由拉紧变为恰好拉直，则T1为零，设此时的角速度为ω2，则有 Fx＝T2sin 45°＝mωL sin 30° Fy＝T2cos 45°－mg＝0 联立解得ω2≈3.16 rad/s 可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。 [练4] (探究情境)如图所示的是一种可用于测定子弹速度的装置示意图，纸质圆筒绕中心轴OO′以角速度ω旋转，子弹以一定速度沿与轴线平行的方向从圆筒一个底面上的A点射入，从另一个底面上的B点射出，射出时A、B两点在圆筒上的位置如图中所示。若A点与B点所在半径的夹角为θ，圆筒的长度为l，求子弹的速度大小v。 答案：(n＝0，1，2，…) 解析：设子弹穿过纸质圆筒的时间为t，则有l＝v-t，在这段时间内圆筒转过的角度为θ＋n·2π，则有 θ＋n·2π＝ωt(n＝0，1，2，…) 联立解得子弹的速度大小 v＝(n＝0，1，2，…)。 [对应学生用书P61] 1．(2024·黑龙江大庆高一检测)如图所示，用水平传送带传送一个质量为m的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑。当小物体可被水平抛出时，A轮每秒的转速最小是(重力加速度为g)(　　) A． B． C． D． B　解析：小物体要能被水平抛出，满足向心力仅由重力提供的条件mg＝m，v＝，又因为v＝2πnr，所以n＝，A、C、D错误，B正确。 2．如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两根等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一个质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是(　　) A．当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力 B．AC杆对球的作用力先增大后减小 C．一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定 D．当ω＝时，BC杆对球的作用力为0 C　解析：当ω＝0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mg tan θ＝mω2L sin θ，解得ω＝，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcos θ－FBCcos θ＝mg，则FAC－FBC＝，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。 3．子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)。OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是(　　) A．20 r/s B．60 r/s C．100 r/s D．140 r/s C　解析：根据几何关系可得A与B之间的距离为R，在子弹飞行距离为R的时间内，圆筒转动的角度θ′＝π(n＝1，2，3，…)，由θ′＝ωt得t＝＝(n＝1，2，3，…)。设圆筒的转速为N，由ω＝2πN得时间t＝＝，由题意知R＝v0t，得N＝20(6n－1) r/s，当n＝1时，N＝100 r/s，当n＝2时，N＝220 r/s，C正确。 4．如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，由图乙可知(　　) A．绳长为l＝2 m B．母线与轴线之间夹角θ＝30° C．小球质量为0.6 kg D．小球的角速度为3 rad/s时，小球刚离开锥面 A　解析：当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有F sin θ＝mω2l sin θ，即F＝mω2l，当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为α，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有F sin α＝mω2l sin α，即F＝mω2l，则根据题图乙，结合所得绳子拉力F与ω2的函数关系可知，当小球离开锥面后ml＝1 kg·m，当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向，根据牛顿第二定律有F sin θ－N cos θ＝mω2l sin θ，竖直方向根据平衡条件有F cos θ＋N sin θ＝mg，联立可得F＝ml sin2θ·ω2＋mg cos θ，根据题图乙，结合所得函数关系可得ml sin2θ＝ kg·m，mg cos θ＝4 N，联立解得θ＝37°，l＝2 m，m＝0.5 kg，A正确，B、C错误；根据题图乙可知，当小球的角速度满足ω2＝(rad/s)2，小球恰好要离开锥面，此时角速度为ω＝ rad/s，可知小球的角速度为 rad/s时，小球刚离开锥面，D错误。 5．(2024·浙江杭州高一期中)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能向盘的边缘滑动。如图所示，质量为50 kg的彬彬(视为质点)坐在转盘上与转盘中心相距r＝1 m，转盘的半径R＝3 m，彬彬与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。 　 (1)当转盘的角速度大小为ω1＝1 rad/s时，彬彬未滑动，求此时人受到的摩擦力大小； (2)使转盘的转速缓慢增大，求彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小ω2； (3)当彬彬滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ω3，就可以紧贴着侧壁一起转动而不受到地面支持力，试求角速度ω3的大小。 答案：(1)50 N　(2) rad/s　(3) rad/s 解析：(1)当转盘的角速度大小为ω1＝1 rad/s时，人受到的摩擦力提供向心力，其大小为f1＝mωr＝50 N。 (2)彬彬与转盘刚发生相对滑动时，摩擦力恰好达到最大静摩擦力，则mωr＝μmg，解得ω2＝ rad/s。 (3)当彬彬紧贴着侧壁一起转动而恰好不受到地面支持力时，彬彬受到侧壁的最大静摩擦力与重力大小相等，而此时侧壁对彬彬的弹力提供向心力，则N＝mωR，μN＝mg，解得ω3＝ rad/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$