第6章 第3节 向心加速度（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

第3节　向心加速度 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。 2．能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式。 了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。 通过推导向心加速度，领会数学方法的应用。通过实例分析，应用物理知识解释生活和生产中的现象。 [对应学生用书P43] 一、匀速圆周运动的加速度方向 1．物体做匀速圆周运动时，所受合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心。 二、匀速圆周运动的加速度大小 根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝ ，可得出向心加速度的大小：an＝或an＝ω2r。 (物理与科技)电影《流浪地球》中呈现“领航员号”空间站通过旋转圆形空间站的方法获得人工重力的情形，即让圆形空间站匀速旋转的方法获得“重力”，使航天员感觉跟在地球上一样“重”。判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)航天员的向心加速度方向指向圆形空间站的圆心。(　　√　　) (2)航天员做匀速圆周运动，速度变化量为零。(　　×　　) (3)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化。(　　×　　) [对应学生用书P43] 探究点一 向心加速度的方向 在光滑桌面上，一个小球在细绳的牵引作用下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，细绳被拉紧。 [问题设计] 是什么保证了小球做匀速圆周运动？这个力方向如何？ 提示：绳子的拉力，方向时刻指向圆心。 1．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 2．向心加速度的方向时刻在改变，因此圆周运动是变加速运动。 3．物理意义：描述速度方向变化的快慢。匀速圆周运动加速度大小不变，方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动。 【例1】 转篮球是一项难度较高的技巧，其中包含了许多物理知识。如图所示，假设某转篮球的高手能让篮球在他的手指上(手指刚好在篮球的正下方)匀速转动，下列有关描述该高手转篮球的物理知识正确的是(　　) A．篮球上各点做圆周运动的圆心在手指上 B．篮球上各点的向心加速度是由手指提供的 C.篮球上各点做圆周运动的角速度相等 D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大 C　解析：篮球上的各点做圆周运动时，是绕着转轴做圆周运动，圆心均在转轴上，A错误；篮球上各点的向心力是由其他各质点对其作用力和自己所受的合力来提供，所以篮球上各点的向心加速度是由其他各质点对其作用力和自己所受的合力产生的，B错误；篮球上的各点绕同一转轴做圆周运动，所以篮球上各点做圆周运动的角速度相等，C正确；由于各点转动的角速度相同，根据公式a＝ω2r可知篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小，D错误。 [练1] (多选)某物体做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．在任何时间间隔内，物体运动的平均速度都相同 B．在任何相等的时间间隔内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等 C．该物体的速度大小不变，因而加速度为零，故它处于平衡状态 D．该物体的速度方向改变，因而具有加速度，故它的合力不等于零 BD　解析：做匀速圆周运动物体的速度大小不变。但速度方向时刻改变；平均速度是矢量，不同的时间间隔(或不同过程)内位移大小、方向一般不同，即平均速度的大小、方向不一定相同，A错误。在相等的时间内，连接物体和圆心的半径所转过的角度相等，B正确。匀速圆周运动是变速运动，一定具有加速度，不是处于平衡状态，所以它的合力不等于零，C错误，D正确。 探究点二 向心加速度的大小 1．对向心加速度的理解 (1)向心力产生向心加速度。 (2)a为实际加速度，an为向心加速度。在匀速圆周运动中，a总是指向圆心且a＝an；在非匀速圆周运动中，a不指向圆心，与半径有一个夹角，并且a≠an。 (3)从公式an＝看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比； 从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成正比。 注意：向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。v即为那一位置的线速度。 2．公式拓展：在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下表达式：an＝r，an＝4π2n2r，an＝ωv。 【例2】 如图所示，旋转半径为8 m的离心机像只巨大的铁钳，紧紧夹住旋转舱，在圆形的超重实验室里飞速旋转。航天员进行“胸背正向8G”对抗训练时，所要承受的标准值为8G，即正对胸背指向转轴的弹力是自身正常重力的8倍，g取9.8 m/s2。则此时离心机匀速旋转的角速度约为(　　) A．1.3 rad/s B．3.1 rad/s C．8.9 rad/s D．9.8 rad/s B　解析：根据a＝rω2得ω＝≈3.1 rad/s，B正确。 讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题 (1)皮带传动问题，两轮边缘线速度相等，常选择公式an＝。 (2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。 [练2] (2024·北京房山高一期中)做匀速圆周运动的物体的速度方向时刻在变化，因而它是一种变速运动，具有加速度。图中圆弧是某一个质点绕O点沿顺时针方向做匀速圆周运动的轨迹，若质点在Δt时间内从A点经过一段劣弧运动到B点。 (1)请在图甲中画出质点经过A、B两点时的速度方向； (2)请在图乙中画出质点从A点至B点速度变化量Δv； (3)根据加速度的定义，我们可以求得Δt时间内的平均加速度，当Δt趋近于零时，就可得到该点的瞬时加速度。已知质点做匀速圆周运动的线速度为v，运动半径为r，根据所学知识，推导匀速圆周运动的向心加速度an。 答案：见解析 解析：(1)质点经过A、B两点时的速度方向如图甲v1、v2所示。 (2)根据速度变化量的定义得Δv＝v2－v1，根据三角形定则，可得质点从A点起在时间t内速度变化量Δv如图乙所示。 　　 (3)如图丙所示，设在很短时间t内从A运动到B，此过程中速度变化为Δv，因为△OAB与△CBD相似，可得＝。 t→0时AB＝，则，a＝，则an＝。 探究点三 解决实际问题 [练3] (生活情境)有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示，“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开。当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随盘一起转动(没有滑动)。则这个小孩受到的向心力为多大？这个向心力是由什么力提供的？ 答案：11.8 N　向心力由静摩擦力提供 解析：因角速度ω＝2πn＝ rad/s＝ rad/s， 又r＝1 m，m＝30 kg，则小孩受到的向心力 Fn＝mω2r＝30×()2×1 N≈11.8 N。 对小孩进行受力分析可知，竖直方向上受力平衡，水平方向上仅受静摩擦力，所以小孩做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。 [练4] (生活情境)某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为(　　) A．0.65 m/s2 B．1.3 m/s2 C．2 m/s2 D．6.5 m/s2 A　解析：由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，由公式an＝可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an＝＝0.65 m/s2，A正确。 [练5] (探究情境)一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，圆盘加速转动时，把角速度的增加量Δω与对应时间Δt的比值定义为角加速度β。我们用电磁打点计时器(所接交流电的频率为50 Hz)、复写纸、米尺、纸带来完成下述实验： (1)如图甲所示，将打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔，然后固定在圆盘的侧面，测量出圆盘的直径d为6 cm，当圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上； (2)接通电源，打点计时器开始打点，启动控制装置使圆盘匀加速转动； (3)经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量。 如图乙所示，纸带上A、B、C、…为计数点，相邻两计数点间有四个点未画出，则打下计数点D时，圆盘转动的角速度为 rad/s，纸带运动的加速度大小为 m/s2，圆盘转动的角加速度大小为 rad/s2。(本题计算结果均保留2位有效数字) 答案：13　0.59　20 解析：打下计数点D时纸带的速度vD＝＝ m/s＝0.389 m/s，故此时圆盘的角速度ω＝＝ rad/s≈13 rad/s；纸带运动的加速度a＝＝ m/s2≈0.59 m/s2；由于β＝，ω＝，故角加速度β＝＝ rad/s2≈20 rad/s2。 [对应学生用书P46] 1．某学校开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作“裱花”环节时，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕上每隔4 s均匀“点”一次奶油，蛋糕一周均匀“点”上15个奶油，则下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的周期约为56 s B．圆盘转动的角速度大小为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 m/s D．蛋糕边缘的奶油向心加速度大小约为 m/s2 B　解析：蛋糕一周均匀“点”上15个奶油，共有15个奶油间隔，所以圆盘转动的周期约为：T＝15×4 s＝60 s，A错误；圆盘转动的角速度大小为：ω＝，代入数据得：ω＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油线速度大小约为：v＝ωR，代入数据得：v＝ m/s，C错误；蛋糕边缘的奶油向心加速度大小约为：a＝ω2R，代入数据得：a＝ m/s2，D错误。 2．(2023·北京海淀高一期中)如图为一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图。Q点和P点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是(　　) A．Q、P的线速度大小相等 B．Q、M的角速度大小相等 C．P、M的向心加速度大小相等 D．P、M的向心加速度方向均指向O B　解析：由题图可知Q、P的转动半径不同，根据v＝ωr可知线速度大小不相等，A错误；地球仪上所有的点均做同轴转动，角速度大小相等，B正确；根据a＝ω2r结合A选项分析可知P、M的向心加速度大小不相等，C错误；向心加速度的方向指向圆心，P、M的向心加速度方向均垂直于转轴指向转轴，由题图可知P、M的向心加速度方向不同，D错误。 3．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比(　　) A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8 D　解析：由题意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以va∶vc＝1∶2，A错误；设轮4的半径为r，则aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确；＝＝，B错误。 4．(多选)质点做匀速圆周运动，所受向心力F与半径R的关系图线如图所示，关于a、b、c、d四条图线的描述可能正确的是(　　) A．a表示速度一定时，F与R的关系 B．b表示速度一定时，F与R的关系 C．c表示角速度一定时，F与R的关系 D．d表示角速度一定时，F与R的关系 AC　解析：由向心力公式F＝m可知，速度一定时，F与R成反比的关系，因此a表示速度一定时，F与R的关系，A正确，B错误；由向心力公式F＝mω2R可知，角速度一定时，F与R成正比的关系，因此c表示角速度一定时，F与R的关系，C正确，D错误。 5．(多选)波轮洗衣机中的脱水筒(如图所示)在脱水时，衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。某洗衣机的主要技术参数如表所示。在运行脱水程序时，有一个质量m＝6 g的硬币被甩到筒壁上，随筒壁一起做匀速圆周运动。(　　) 主要技术参数 额定电压、频率 220 V、50 Hz 额定脱水功率 225 W 质量 31 kg 脱水转速 600 r/min 脱水筒尺寸 直径 300 mm 高370 mm 外形尺寸 长 555 mm 宽510 mm 高870 mm A.硬币的角速度大小约为20 rad/s B．硬币的线速度大小约为9.42 m/s C．硬币的向心加速度大小约为60 m/s2 D．筒壁对硬币的弹力大小约为3.55 N BD　解析：根据表格读出脱水桶的转速n＝600 r/min＝10 r/s，由匀速圆周运动的角速度和转速关系可得：ω＝2πn＝20π rad/s≈62.8 rad/s，A错误；匀速圆周运动的半径r＝＝150 mm，则线速度v＝ω·r＝20π×150×10－3 m/s＝3π m/s≈9.42 m/s，B正确；匀速圆周运动的向心加速度a＝ω2r＝(20π)2×150×10－3 m/s2＝60π2 m/s2，C错误；筒壁对硬币的弹力提供匀速圆周运动的向心力，有FN＝ma＝6×10－3×60π2 N＝0.36π2 N≈3.55 N，D正确。 6．如图所示，已知绳长L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。g取10 m/s2，要使绳子与竖直方向成45°角，求：(均保留3位有效数字) (1)小球的向心加速度大小； (2)该装置转动的角速度； (3)此时绳子的张力大小。 答案：(1)10.0 m/s2　(2)6.44 rad/s　(3)4.24 N 解析：小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与小球的重力的合力提供小球做圆周运动的向心力。 (1)对小球，利用牛顿第二定律可得： mg tan 45°＝man， 则小球的向心加速度大小 an＝g tan 45°＝10.0 m/s2。 (2)由an＝ω2r及几何关系r＝L′＋L sin 45°， 联立并代入数据解得 该装置转动的角速度ω＝6.44 rad/s。 (3)在竖直方向根据平衡条件可知此时绳子的张力大小FT＝＝4.24 N。 学科网（北京）股份有限公司 $$