第5章 拓展课1 关联速度与小船渡河（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第二册（人教版2019）

拓展课1　关联速度与小船渡河 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.运用运动的合成与分解方法解决实际问题，能根据效果对物体的运动进行分解。 2．建立小船渡河问题模型。 3．掌握小船渡河问题的分析方法。 能运用合成和分解的思想分析 “关联速度”模型。 应用所学知识解释身边的一些现象，提高学习物理的兴趣。 [对应学生用书P9] 探究点一 关联速度问题 1．“关联”速度问题：物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题。 2．“关联”速度的分解规律 (1)模型特点 ①物体的实际运动是合运动。物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向一般取沿绳(杆)方向和垂直于绳(杆)方向。 ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同。 (2)思路方法 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v 分速度→ 提醒：v1与v2的合成、分解遵循平行四边形定则。 (3)常见的速度分解情形 甲：v物＝　乙：v物cos α＝v物′cos β 丙：v物sin θ＝v物′cos θ　丁：vB＝v物cos θ 【例1】 如图所示，有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，且均可看成质点。开始时轻绳水平伸直，A、B静止，由静止释放B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，B沿着竖直杆下滑的速度为v，则A的速度为(　　) A．v B．v C．v D．v D　解析：A、B的速度分解如图所示，B沿轻绳方向上的分速度v1＝v cos 60°，A沿轻绳方向上的分速度vA1＝vAsin 60°，因为v1＝vA1，则vA＝v＝v，D正确，A、B、C错误。 【例2】 (多选)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　) A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等 B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等 C．vA＝vBtan θ D．vA＝vBsin θ BC　解析：当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ。当θ＝45°时，vA＝vB。 解关联速度问题的一般步骤 (1)确定合运动，即物体的实际运动。 (2)确定合运动的两个实际效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向)。将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。 (3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。 (4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。 [练1] 如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小vB＝ 。 答案： 解析：A、B两物体通过绳子相连接，它们沿绳子方向的分速度大小相等，A物体向左运动时，B物体向右运动，将A、B两物体的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的速度，可得v cos α＝vBcos β，解得vB＝。 探究点二 小船渡河问题 1．船的合运动与分运动 (1)船的合运动：小船在河流中实际的运动，合速度为相对岸(地面)的速度v。 (2)船的分运动 ①船相对水的运动，即船在静水中的运动，对应的速度为v船，它的方向与船头的指向相同； ②船随水漂流的运动，该分运动的速度等于水的流速v水，它的方向与河岸平行。 如图甲所示，v水表示水流速度，v船表示船在静水中的速度。 　　 2．小船渡河问题有渡河时间和航程两类问题 (1)渡河时间问题 ①如图甲所示，将船的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，v∥＝v船cos θ，v水－v船cos θ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v船sin θ为船在垂直于河岸方向的运动速度。 ②渡河时间t＝(d为河宽，如图乙所示)，由v船垂直于河岸的分量v⊥决定，与v水无关。 ③渡河时间最短的条件：船头垂直于河岸。当sin θ＝1，即v船垂直于河岸时，船在垂直河岸方向的速度最大，如图乙所示，渡河所用时间最短，最短时间t＝。 (2)渡河位移问题 ①渡河位移：x＝，其中α为v合(渡河速度)与河岸上游的夹角。 tan α＝＝，其中θ为v船与河岸上游间的夹角。 ②渡河的最小位移：一般考察v水＜v船的情况，此时渡河的最小位移即河的宽度d。 条件：合速度v垂直于河岸，如图丙所示。此情境下渡河所用时间t＝。 【例3】 如图所示，一条宽为d的大河，小明驾着小船从码头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。 (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ (2)小船如何渡河才能使时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ 答案：(1)见解析　(2)船头垂直于河岸航行才能使渡河时间最短　　　(3)见解析 解析：(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同；船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行，如图甲所示 则有t短＝，此时船渡河的位移x＝。 (3)第一种情况：船速大于水速，最短的位移为河宽d，此时合速度垂直于河岸，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图乙所示 所用时间t＝ 第二种情况：船速小于水速，如图丙所示 以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短，由图可知 sin α＝ 最短航程x＝＝d 此时船头指向与上游河岸夹角满足 cos θ′＝ 故当船速大于水速时，船头与上游河岸夹角满足v船cos θ＝v水时，渡河位移最小，为d；当船速小于水速时，船头与上游河岸夹角满足 cos θ′＝时，渡河位移最小，为d。 处理小船渡河问题的步骤 第一步：依据情境，建构物理模型。由情境“小船渡河”，建构小船渡河模型。 第二步：依据模型特点进行解题。 (1)“小船的船头始终正对对岸行驶”，这说明船垂直于河岸的分速度的大小等于船在静水中的航速； (2)“小船到达河的正对岸”，这说明小船的实际位移大小等于河宽。 [练2] (2024·河北张家口高一统考期末)如图所示，在宽度一定的河中的O点固定一标杆，经测量该标杆到两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m， 水流的速度平行河岸向右，速度大小为v0＝8 m/s，甲、乙两艘快艇在静水中的速度大小分别为v1＝16 m/s，v2＝10 m/s，分别从M、N两点同时向O点运动。则下列说法正确的是(　　) A．甲快艇先到O点 B．乙快艇先到O点 C．甲、乙同时到O点 D．条件不足，不能确定 A　解析：甲快艇过河速度v甲＝＝8 m/s，到达O点的时间t甲＝＝ s，乙快艇过河速度v乙＝＝6 m/s，到达O点的时间t乙＝＝2 s，t甲<t乙，甲先到达O点。 [练3] (2024·江苏扬州高一检测)京杭大运河贯穿宝应县南北，在宝应境内长40.5 km，渡口曾是运河两岸重要的交通枢纽。某个渡口，河宽为120 m，水流速度恒为3 m/s，船在静水中的速度为5 m/s，一条渡船恰好沿直线从A点驶向对岸的B点。已知AB与河岸垂直，则(　　) 　 A．船头与河岸恰好垂直 B．过河时间为24 s C．只提高船在静水中的速度，船将不能沿AB方向航行 D．只改变船头方向，仍可以使船沿AB方向航行 C　解析：船在静水中的速度与水流速度的矢量和沿AB方向，所以船头一定朝向AB左侧，A错误；根据平行四边形定则可知船的合速度大小v＝＝4 m/s，所以渡河时间t＝＝30 s，B错误；由于水流速度大小和方向一定，所以无论是只提高船在静水中的速度，还是只改变船头方向，速度平行四边形的一条边一定变化，所以对角线也一定变化，则两种情况下都不能使船在静水中的速度与水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船将不能沿AB方向航行，C正确，D错误。 探究点三 解决实际问题 [练4] (生活情境)如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为(　　) A．v0 B．v0cos θ C．v0cos2θ D． A　解析：如图所示，将车的速度v0分解为沿绳子方向的速度v绳和垂直于绳子方向的速度v1，将货物的速度v货分解为沿绳子方向的速度v绳′和垂直于绳子方向的速度v2，有v0cos θ＝v绳，v货cos α＝v绳′，由于两段绳子相互垂直，所以θ＝α，联立解得v0＝v货，即货物的速度等于小车的速度，A正确。 [练5] (生活情境)全国山地自行车冠军赛在甘肃天水举行。若某一路段车手正在骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速也是4 m/s，则车手感觉到的风速是多大？方向如何？ 答案：4 m/s　东北风 解析：以人为参考系，气流水平方向上有向西的v1＝4 m/s的速度，向南有v2＝4 m/s的速度，所以合速度v＝＝4 m/s，方向为西南方向，如图所示。由图可知骑车的人感觉到风速方向为东北风。 [练6] (生活情境)(2024·江苏南京高一检测)如图所示，一条小船位于d＝200 m宽的河中心A点处，从这里向下游100 m处有一个危险区，当时水流速度v1＝5 m/s。 (1)若小船在静水中的速度v2＝4 m/s，则小船到岸的最短时间是多少？ (2)若小船在静水中的速度v2＝4 m/s，则小船以最短的位移到岸，船头与河岸夹角及所用时间是多少？ (3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？ 答案：(1)25 s　(2)37°　41.7 s　(3)2.5 m/s 解析：(1)当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，则最短时间t＝＝25 s。 (2)因水速大于船速，所以小船不能垂直过河，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为β，则航程x＝ 则β角越大，航程越短，当β角最大时，航程最短，船头指向如图所示 根据几何关系可知sin β＝＝，则β＝53° 则船头的方向与上游河岸成37°角，此时，航行的位移 x＝＝125 m 船航行的速度v合＝＝3 m/s 所用时间t＝≈41.7 s。 (3)小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为α，即有tan α＝ 则α ＝ 30°，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小，为 vmin＝v1sin α＝2.5 m/s。 [对应学生用书P13] 1．(2024·浙江宁波高一期中)宁波市某高中进行了防溺水安全教育后，小明和几位同学就如何以最短时间救人进行了讨论，一致认为救援者以一定的速度面部始终垂直于河岸游去时间最短。若河中各处水流速度相等，对救援者游过的路程、过河所用的时间与水速的关系，下列同学的说法正确的是(　　) A．同学甲：水速大时，路程长，时间长 B．同学乙：水速大时，路程长，时间短 C．同学丙：水速大时，路程长，时间不变 D．同学丁：路程、时间与水速无关 C　解析：救援者的运动可分解为垂直于河岸方向的分运动和沿河岸方向的分运动，根据分运动的独立性，水速增大时，垂直于河岸方向的分运动不受影响，所以渡河时间不变，但合速度的方向变化，即实际运动轨迹发生变化，路程变长，C正确。 2．(2023·湖北武汉第一中学高一检测)小船渡河，设河水流速及船在静水中速度均恒定，河两岸平行。当船头指向正对岸航行时，渡河过程中所通过的路程是河宽的倍，若该船要以最短位移过河，则其最短位移是河宽的(　　) A．1.5倍 B． 倍 C．2倍 D． 倍 C　解析：当船头指向正对岸航行时，如图甲所示，由于渡河过程中所通过的路程是河宽的倍，所以＝＝，又v＋v＝v，解得v水＝2v船， 所以小船不能到达正对岸，若该船要以最短位移过河，如图乙所示，小船的合速度与船速垂直时过河位移最短，则sin θ＝＝＝，解得s′＝2d。故选C。 3．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度v2＝5 m/s，求： (1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ 答案：(1)36 s　90 m　(2)朝上游与河岸成60°角 24 s 解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直于河岸方向。当船头垂直于河岸时，如图甲所示， 合速度为倾斜方向，垂直河岸分速度v2＝5 m/s。 t＝＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s x＝v合t＝90 m。 (2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直于河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。如图乙所示，由v2sin α＝v1，得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短。 x＝d＝180 m t′＝＝＝ s＝24 s。 4．(2024·海南海口高一期末)南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人员为了营救在对岸落水的儿童，立即驾驶救援艇出发，如图所示。已知该救援艇在静水中的航行速度大小为12.5 m/s，该段水流速度大小为3.5 m/s，救援人员以最短时间过江用时12 s。则(　　) A．河流宽度为150 m B．河流宽度为192 m C．船以最短时间过江时，在正对岸靠岸 D．船以最短时间过江时，在正对岸下游50 m处靠岸 A　解析：河流宽度d＝v水tmin＝12.5×12 m＝150 m，A正确，B错误；船以最短时间过江时，沿水流方向的位移x＝v水tmin＝3.5×12 m＝42 m，即在正对岸下游42 m处靠岸，C、D错误。 5．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与离一侧河岸的距离d的关系如图乙所示，求： (1)小船渡河的最短时间？ (2)小船以最短时间渡河的位移？ 答案：(1)100 s　(2)100 m 解析：(1)由图像可知，v船＝3 m/s，河宽d＝300 m，船头正对河对岸，则渡河时间最短，故tmin＝＝100 s。 (2)当小船船头正对河对岸行驶时，d＝v船tmin 结合图像可知v水先随时间线性增大，后随时间线性减小 垂直河岸分位移x1＝d＝300 m 沿河岸方向分位移x2＝2··＝200 m 总位移x＝＝100 m。 学科网（北京）股份有限公司 $$