第2章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中物理必修第一册（人教版2019）

第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系 1．了解v-t图像围成的面积即物体在相应时间内的位移。 2．能利用v-t图像得出匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 3．能推导出匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2－v＝2ax。 1.体会利用物理图像分析物体运动规律的研究方法。 2．会推导位移与时间的关系式和速度与位移的关系式，体会科学推理的逻辑严密性。 1.能在实际情境中使用匀变速直线运动的位移公式解决问题，体会物理知识的实际应用价值。 2．通过v-t图像的应用，提高应用数学研究物理问题的能力。 [对应学生用书P33] 1．(物理与生活)一辆车加速时的v-t图像如图所示，判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)匀变速直线运动的位移可用图线与坐标轴所围的面积表示。(　　√　　) (2)速度和时间均为正值，汽车的位移也是正值。(　　√　　) (3)匀变速直线运动位移公式的推导利用了控制变量法。(　　×　　) (4)由v-t图像可推导出速度和位移的关系式。(　　√　　) (5)图线与坐标轴所围的面积没有负值，故位移没有负值。(　　×　　) 2．(教材点拨P45)“拓展学习” (1)匀变速直线运动位移公式的推导采用了什么物理方法？ (2)各小矩形的面积之和与匀变速直线运动的位移具有怎样的关系？ 提示：(1)微元法。 (2)数值上相等。一、匀变速直线运动的位移 1．匀速直线运动的位移 (1)公式：x＝vt。 (2)在v-t图像中表示位移：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积。如图所示的阴影图形面积就等于物体0～t1时间内的位移。 2．匀变速直线运动的位移 (1)做匀变速直线运动的物体，其位移大小可以用v-t图像中阴影部分的梯形面积来表示，如图所示。 (2)匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2。 二、速度与位移的关系 1．推导：将速度与时间关系式v＝v0＋at和位移与时间的关系式 ↓ 若把位移与时间的关系式换成x＝(v0＋v)t进行推导更简单 x＝v0t＋at2联立可推导出速度与位移的关系。 2．速度与位移的关系式：v2－v＝2ax。 3．特点：不涉及时间t。 [对应学生用书P34] 探究点一___匀变速直线运动的位移 1．对位移—时间关系式x＝v0t＋at2的理解 (1)适用条件：只适用于匀变速直线运动。 (2)矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。 2．根据v-t图像的物理意义，若图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，物体的位移为正值；同理，若图线在时间轴的下方，表明物体向负方向运动，位移是负值。 注意： (1)t轴以上的面积表示正方向的位移，以下表示负方向的位移； (2)总位移等于各部分位移的代数和； (3)总路程等于t轴上、下面积绝对值的和。 【例1】 沪杭高铁是连接上海和杭州的现代化高速铁路，试运行时的最大时速达到了413.7 km/h。沪杭高速列车在一次运行中由A站开往B站，A、B车站间的铁路为直线。技术人员乘此列车从A车站出发，列车从启动匀加速到360 km/h，用了250 s的时间，再匀速运动了10 min后，列车匀减速运动，经过5 min后刚好停在B车站。 (1)求A、B两站间的距离； (2)画出该高速列车运动的v-t图像。 答案：(1)8.75×104 m　(2)见解析图 解析：(1)高速列车启动过程，初速度为0，末速度为v＝360 km/h＝100 m/s，时间为t1＝250 s，则加速度为 a1＝ m/s2＝0.4 m/s2 减速运动过程，初速度为100 m/s，末速度为0，时间为t3＝5 min＝300 s，则加速度为a2＝ m/s2 ＝－ m/s2 列车的位移为x＝a1t＋vt2＋vt3＋a2t 代入数据得x＝8.75×104 m。 (2)画出该高速列车的v-t图像如图所示。 [练1] 如图所示，在山区或高速公路连续长下坡路段，经常会在行车道外侧增设一条“救命道”——避险车道，以供速度失控的车辆安全减速。一辆货车因连续制动造成刹车失灵，以108 km/h的初速度自坡底冲上避险车道，10 s后恰停于坡道顶端。若货车在避险车道内的运动可视为匀减速直线运动，求： (1)货车在避险车道内减速时的加速度大小； (2)避险车道的总长度。 答案：(1)3 m/s2　(2)150 m 解析：(1)取初速度的方向为正方向，由公式a＝，可得a＝－3 m/s2，即货车在避险车道内减速时的加速度大小为3 m/s2。 (2)避险车道的总长度x＝v0t＋at2＝30×10 m－×3×102 m＝150 m。 探究点二___速度与位移的关系 如图所示，一辆汽车在公路上行驶过程中发生了事故，交警为了判断事故发生的原因，首先测量了事故车辆的刹车距离。 [问题设计] 交警为什么要测量刹车的距离？它与刹车时的速度有什么关系？ 提示：了解刹车时的速度；速度大，刹车的位移大。 　对公式v2－v＝2ax的理解 (1)公式的适用条件：适用于匀变速直线运动。 (2)公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 ①物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。 ②x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。 (3)两种特殊情况 ①当v0＝0时，v2＝2ax(初速度为零的匀加速直线运动)； ②当v＝0时，－v＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)。 【例2】 2024年5月1日，我国第三艘航空母舰福建舰从上海码头解缆起航，赴相关海域展开首次航行实验。福建舰上的舰载飞机采用最先进的电磁弹射系统，帮助飞机在更短的加速距离内起飞。设在静止的航母上某种型号舰载飞机没有弹射系统时匀加速到起飞速度v需要的距离是L0，弹射系统给飞机一个初速度v0之后，匀加速到起飞速度v需要的距离是L，若L＝L0，设飞机两次起飞的加速度相同，则弹射速度v0与起飞速度v之比为(　　) A． B． C． D． C　解析：飞机由静止开始加速，有v2＝2aL0，利用弹射系统时，有v2－v＝2a·L0，解得＝，C正确。 [练2] 京杭大运河始建于春秋时期，是我国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一。一艘游轮在运河上航行，做匀加速直线运动，该游轮的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度变为7 m/s，则它的加速度大小是(　　) A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2 C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2 C　解析：根据位移速度公式2as＝v－v，解得a＝0.4 m/s2，A、B、D错误，C正确。 探究点三___平均速度、中间时刻和中间位置的速度 1．匀变速直线运动的平均速度 由位移公式x＝v0t＋at2和v＝得： v＝＝＝＝。 2．匀变速直线运动的中间时刻速度公式 由v＝v0＋at得： v＝v0＋at＝(2v0＋at)＝(v0＋v)。 3．匀变速直线运动的中间位置速度公式 由v2－v＝2ax和v2－v＝2a·得： v＝。 4．中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度的比较：v≥v。 【例3】 做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则(　　) A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v< B.无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v> C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＝ D．匀加速直线运动时，v<；匀减速直线运动时，v> B　解析：设该段过程的初速度为v0，末速度为v1，加速度为a，则有2a·＝v2－v，2a·＝v－v2，联立可得v2＝。该段过程的平均速度为v＝＝，则有()2＝()2＝<＝＝v2，可得v>，故无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v>，B正确。 [练3] (多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论正确的有(　　) A．物体经过AB位移中点的速度大小为 B.物体经过AB位移中点的速度大小为 C.物体通过AB这段位移的平均速度为 D.物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为 BCD　解析：物体做匀加速直线运动，先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，对于匀变速直线运动，中间位置的速度等于初末速度的方均根，故物体经过AB位移中点的速度大小为；故物体通过AB这段位移的平均速度为v＝；而平均速度等于中间时刻的速度，故物体经过AB中间时刻的速度大小应为；A错误，B、C、D正确。 探究点四___解决实际问题 [练4] (交通情境)据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离)至少是25 m，根据以上提供的信息： (1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度的大小； (2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。 答案：(1)25 m/s　12.5 m/s2　(2)见解析 解析：(1)汽车运动的速度为 v1＝＝ m/s＝25 m/s； 设汽车刹车的最大加速度为a，则 a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2。 (2)汽车行驶速度v2＝108 km/h＝30 m/s 司机看手机时，汽车发生的位移为 x1＝v2t＝30×2 m＝60 m 反应时间内汽车发生的位移的大小为 x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m 刹车后汽车发生的位移 x3＝＝ m＝36 m 所以汽车前进的距离为 x＝x1＋x2＋x3＝111 m＞100 m，所以会发生交通事故。 [练5] (生活情境)根据《中华人民共和国道路交通安全法》第四十七条规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行。无信号灯的人行横道前，“车让人”在桂林已逐渐成为一种普遍现象，“停车礼让斑马线”已成为一种文明新风气。某司机驾车以12 m/s的速度，在平直的城市道路上沿直线行驶。看到车头前方50 m处有人行横道，立即以1 m/s2的加速度轻踩刹车；行驶4 s时，发现前方有行人正准备过马路，同时以4 m/s2的加速度深踩刹车。设最开始刹车时刻为计时起点(即t＝0)。 (1)求前4 s汽车通过的位移大小； (2)通过运算说明，司机能否做到“停车礼让斑马线”。 答案：(1)40 m　(2)见解析 解析：(1)前4 s 汽车的位移大小为x1＝v0t＋a1t2，解得x1＝40 m。 (2)4 s时汽车的速度大小为v＝v0＋a1t，解得v＝8 m/s 假设在人行横道前停下，则0－v2＝2a2x2，解得x2＝8 m 又x1＋x2＝48 m<50 m，说明司机能做到“停车礼让斑马线”。 [练6] (体育情境)(2023·湖南长沙高一调研)2022年北京冬奥会开幕式又一次让中国惊艳世界。其中“五环破冰”寓意打破隔阂，大家互为一体，向世界展示了中国人的浪漫。设定“五环”均为半径r＝3 m的圆环(厚度忽略不计)，上三环的下边缘与下两环圆心在同一水平面上。“五环破冰”的整个过程可简化为如图所示的物理模型：初始时，“五环”位于同一竖直面内，恰藏于“冰”中置于水平地面上，“冰”上下表面均水平，其中上三环上边缘与“冰”上表面齐平，下两环下边缘与“冰”下表面齐平。现使“五环”和“冰”同时以大小相等的加速度a＝0.3 m/s2分别竖直向上、向下做匀加速直线运动，速度达到某同一值后均匀速运动，各自快到达终点时分别以加速度a＝0.3 m/s2做匀减速直线运动直至静止，最终“五环”用时43 s上升12.6 m，悬挂在空中，“冰”的上表面恰好与水平地面融为一体。求： (1)“五环”运动过程中速度的最大值； (2)“五环破冰”(从开始运动到两者分离)所用时间。 答案：(1)0.3 m/s　(2)15.5 s 解析：(1)设“五环”运动过程的最大速度为v，根据题意可知加速和减速过程所用时间相等，且均为t1＝，匀速阶段所用时间为 t2＝43 s－2t1 根据运动学公式可得位移间关系满足 12．6 m＝2×at＋vt2 联立解得t1＝1 s，t2＝41 s，v＝0.3 m/s。 (2)“五环”和“冰”加、减速过程的位移相等且均为 x＝at＝0.15 m “冰”匀速运动过程用时t3＝＝29 s 设“冰”减速前“五环”已离开“冰”，取开始匀速到两者恰好分离用时t4，则有3r－2x＝2vt4 由t4＝14.5 s<t3＝29 s可得 “冰”减速前“五环”已离开“冰”，“五环破冰”所用时间为 t＝t1＋t4＝15.5 s。 刹车类问题的处理思路 实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的思路是： (1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝； (2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解。若t>t刹，则t时刻交通工具已停止运动，不能盲目把时间代入；若t<t刹，则在t时间内交通工具未停止运动，可用公式求解。 [对应学生用书P38] 1．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为(　　) A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2 B　解析：第2 s末的速度v＝v0＋at2，第2 s末的速度是第3 s的初速度，故第3 s内的位移x3＝(v0＋at2)t＋at2，其中t2＝2 s，t＝1 s，x3＝4.5 m，解得a＝1.0 m/s2，B正确。 2．在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平路面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝30t－3t2(x的单位是m，t的单位是s)。则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为(　　) A．25 m B．50 m C．75 m D．150 m C　解析：根据x＝30t－3t2可知，初速度v0＝30 m/s，加速度a＝－6 m/s2。刹车后汽车做匀减速运动的位移为刹车痕迹的长度，即x＝＝ m＝75 m。 3．(2023·山东卷)如图所示，公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　) A．3 m/s B．2 m/s C．1 m/s D．0.5 m/s C　解析：由题知，公交车做匀减速直线运动，且设RS间的距离为x，则根据题意有RS＝＝，ST＝＝，联立解得t2＝ 4t1，vT ＝ vR－10 m/s，再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有，vT＝vR－a·5t1，则at1＝ 2 m/s，其中还有v＝vR－a·，解得vR ＝ 11 m/s，联立解得vT ＝1 m/s，C正确。 4．(2023·广西梧州高一期中)一个做直线运动的质点，若其位移与时间关系可写成x＝2t2＋4t(m)，则关于该质点的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．质点做匀加速直线运动，初速度大小为4 m/s，加速度大小为2 m/s2 B．质点在第2 s末的速度大小为6 m/s C．质点在第2 s内的位移为16 m D．质点在前2 s内的平均速度大小为8 m/s D　解析：根据位移－时间关系x＝v0t＋at2＝2t2＋4t(m)，可得v0＝4 m/s，a＝4 m/s2，A错误；根据速度－时间关系得v2＝v0＋at2＝(4＋4×2) m/s＝12 m/s，B错误；第2 s内的位移为x2＝(v0t2＋at)－(v0t1＋at)＝10 m，C错误；质点前2 s内的平均速度大小等于1 s时瞬时速度大小，即2＝v1＝v0＋at1＝8 m/s，D正确。 5.一个物体做匀变速直线运动的v2-x图像如图所示，L、b、k为已知量，k为图像的斜率，以下说法正确的是(　　) A．物体的初速度为b B．物体的加速度为k C．物体运动位移为L时的速度大小为 D．物体做匀减速运动 C　解析：由题图可知，物体做匀加速直线运动，根据速度与位移的关系式v2－v＝2ax，变形可得v2＝2ax＋v，图线的斜率k＝2a＝，解得a＝，vL＝，纵截距b＝v，解得v0＝，C正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$