专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）是一元二次方程，则m= ． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】 （22-23九年级上·江苏·期中）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣3，0 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程2x2＝2x﹣3的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0 （1）若此方程为一元一次方程，求k的值． （2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．，， B．，，0 C．3，，0 D．3， 1．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（a、b、c为常数） 2．（22-23九年级上·天津西青·期中）将一元二次方程化成的形式则 ． 3．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （22-23九年级上·浙江台州·期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)己知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．1，-1 B．1，-4 C．-1，-4 D．-1，4 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）（五四）一元二次方程化为一般形式后，常数项为（   ） A．6 B． C．5 D．1 5．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）若方程x|a|＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ． 7．（22-23九年级上·四川雅安·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 8．（22-23九年级上·广东潮州·阶段练习）若xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 9．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 . 10．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则常数项为： ． 11．（22-23九年级上·全国·课后作业）一元二次方程化为一般形式后为，试求的值． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 14．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：有代数式①；②；③；④．若从中随机抽取两个，用“=”连接． (1)写出能得到的一元二次方程； (2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程． 15．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判定，注意不是最简形式的方程，要化成最简形式．一元二次方程的定义是，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ②含有x、y两个未知数，故本选项错误； ③分母中含有未知数，故本选项错误； ④符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ⑥原方程化简后为，含未知数的项的次数是1，故本选项错误． ∴一元二次方程有①④⑤，共3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握化简后的方程符合一元二次方程的定义． 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列方程为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断． 【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确； B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误； C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误； D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键． 2．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）是一元二次方程，则m= ． 【答案】4 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则，然后选出合适的值即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，， 或0，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①是整式方程，是一元二次方程；②是整式方程，是一元三次方程；③是整式方程，是一元一次方程；④是整式方程，是一元四次方程；⑤不是整式方程. 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．只含有未知数的整式的方程叫整式方程.分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 【详解】解：①两边都是整式，所以是整式方程，是一元二次方程； ②两边都是整式，所以是整式方程，是一元三次方程； ③分母中不含未知数，所以是整式方程，是一元一次方程； ④两边都是整式，是整式方程，是一元四次方程； ⑤分母中含有未知数，不是整式方程. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】 （22-23九年级上·江苏·期中）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣3，0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答． 【详解】解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别是2，﹣3． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）一元二次方程2x2＝2x﹣3的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】A 【分析】先化为一般形式，从而得出答案． 【详解】解：∵2x2＝2x﹣3， ∴2x2﹣2x+3＝0， ∴一次项系数是﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0 （1）若此方程为一元一次方程，求k的值． （2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围． 【答案】(1) k=;(2)﹣1≤k＜或＜k≤2． 【详解】试题分析：（1）因为方程为一元一次方程，所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0，令二次项系数1－2k＝0求出k的值即可； （2）令△≥0，二次项系数不等于0，被开方式大于等于0进行解答即可． 试题解析： （1）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程， 得1﹣2k＝0， 解得k＝； （2）由(1﹣2k)x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得 △＝(2)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0，且1﹣2k≠0，k＋1≥0， 4k＋4＋4(1﹣2k)≥0， ﹣4k≥﹣8， k≤2， 即﹣1≤k＜或＜k≤2， 此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围﹣1≤k＜或＜k≤2． 点睛：本题考查了一元二次方程，二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，二次项系数不等于零是一元二次方程，根的判别式大于或等于零时方程有实数根． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．，， B．，，0 C．3，，0 D．3， 【答案】C 【分析】首先把方程化成一般形式，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 二次项系数是、一次项系数是、常数项是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项系数；叫做一次项系数；叫做常数项． 1．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（a、b、c为常数） 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、、、为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（22-23九年级上·天津西青·期中）将一元二次方程化成的形式则 ． 【答案】1 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 3．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少． 【答案】0 【分析】常数项为零即m2﹣m＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝0， 即m的值为0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （22-23九年级上·浙江台州·期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：． 1．（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，理解方程的解的概念是解题关键．联立方程计算求解． 【详解】解：∵方程和有一个根相同， ∴，即， 解得 又∵， ∴， 此时． 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)己知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)两个实数根分别是，4； 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，是分式方程，不符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，整理可得，为一元一次方程，故不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题关键是要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．1，-1 B．1，-4 C．-1，-4 D．-1，4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是-1，-4． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）（五四）一元二次方程化为一般形式后，常数项为（   ） A．6 B． C．5 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，把原方程化为：，其中是常数项，从而可得答案． 【详解】解：， ， ， 该方程常数项为， 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为40，小正方形的面积为16，则m和n的值分别是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得，小正方形边长为，故得的正数解为， 即，， 故选：C． 6．（22-23七年级上·湖北黄冈·阶段练习）若方程x|a|＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝ ． 【答案】±1 【分析】利用一元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：∵方程x|a|+3=0是关于x的一元一次方程， ∴|a|=1， 解得：a=±1， 故答案为：±1 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 7．（22-23九年级上·四川雅安·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 8．（22-23九年级上·广东潮州·阶段练习）若xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1或-3 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m（m+2）﹣1＝2，继而即可得出m的值． 【详解】解：∵xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m（m+2）﹣1＝2， 整理，得：m2+2m﹣3＝0， 解得m＝1或m＝﹣3， 故答案为：1或﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 9．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知是方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则常数项为： ． 【答案】5 【分析】移项并整理，然后根据一次项系数列方程求出a的值，再求解即可． 【详解】解： 整理得：， ∵一次项系数为4， ∴，解得：， ∴常数项：， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确得出a的值是解题关键． 11．（22-23九年级上·全国·课后作业）一元二次方程化为一般形式后为，试求的值． 【答案】 【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案． 【详解】解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0， 由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1， 解得：a＝2，b＝1，c＝−2， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解可得出，将其代入的化简结果中即可求出答案． 【详解】解：∵x是一元二次方程的实数根， ∴． ， ∴代数式的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）． 【答案】（1），1，， （2），3，1， 【分析】（1）利用完全平方公式首先去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数； （2）去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数. 【详解】解：（1）去括号，得． 移项、合并同类项，得． ∴它的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． （2）去括号，得． 移项、合并同类项，得． ∴它的二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确化简得出一般形式是解题关键． 14．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：有代数式①；②；③；④．若从中随机抽取两个，用“=”连接． (1)写出能得到的一元二次方程； (2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程． 【答案】(1)①；②；③； (2)①；②；③ 【分析】(1)  根据一元二次方程的定义，把所有情况列举出来判断即可得到答案； (2)从中选取一个直接解方程即可得到答案. 【详解】解：(1)  抽取到①②组合为：=，故不是一元二次方程； 抽取到①③组合为：=，故不是一元二次方程； 抽取到①④组合为：=，故不是一元二次方程； 抽取到②③组合为：=，即：，故是一元二次方程； 抽取到②④=，即，故是一元二次方程； 抽取到③④组合为：=，即，故是一元二次方程； (2)选取一元二次方程②③组合：=进行求解， = 解：化简得： 十字相乘法分解因式为：， 解得：； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念以及求解，掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的多项式是一元二次方程是解题的关键. 15．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； (2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：将化为一般形式为： ， 则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （3）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （4）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （5）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （6）将化为一般形式为： 则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$