1.3 集合的基本运算（第2课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.3集合的基本运算（第2课时） 全集、补集及综合运用 导学案 1、 学习目标 1. 了解全集的含义及其符号表示. 2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2、 重点难点 重点： 全集与补集的定义. 难点： Venn图解决一些与集合的运算有关的问题． 3、 导入新知 已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应 用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了． 问题1：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集． 4、 学习新知 问题2　方程的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？ 问题3 若，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 知识点　全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 图形语言 5、 应用新知 例5. 设U={x|x是小于9的正整数}，,求,. 解:根据题意可知,,所以, 变式1:设是小于7的自然数,求. 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形, 求. 变式2:设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,   则___. 6、 能力提升 题型一： 集合的补集运算 【练习1】若集合,当时,___, 跟踪练习1:当时,___. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 反思感悟　求集合补集的方法: (1) 定义法：当集合中元素较少时，可利用定义直接求解． (2) Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3) 数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数轴，需注意端点问题． 题型二：集合的交、并、补集的综合运算 【练习2】 已知集合，则等于(　　) A. B. C. D. 跟踪练习2：已知全集，集合， 求． 反思感悟　解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集. (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出和B再求交集；求时,先求出,再求补集. (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解. 题型三：与补集有关的参数值(范围)问题 【练习3】已知全集,集合或,若,求实数的取值范围. 跟踪练习3：设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅， 求实数m的取值范围． 反思感悟　由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 7、 课堂总结 1．知识清单： (1)全集与补集及性质． (2)交、并、补集的综合运算． (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点．求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． (1)。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩∅=∅，A∪∅＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 8、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P13的练习1~3题； (3)课本P14的习题1.3的4、6题. 选做作业：1.已知全集,则集合等于(　　) A. B. C. D. 选做作业2.设全集,则等于(　　) A. B. C. D. 选做作业：3.已知全集U=R，集合 选做作业：4.已知集合或. (1)当时,求; (2)若,求实数的取值范围. 练习 5. 已知，，，求，. 6. 设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，. 7. 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）；（2）. 习题1.3 综合运用 11. 已知集合，，求，，，. 12. 设集合，，求，． 拓广探索 13. 已知全集，试求集合B. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算（第2课时） 全集、补集及综合运用 导学案 1、 学习目标 1. 了解全集的含义及其符号表示. 2. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2、 重点难点 重点： 全集与补集的定义. 难点： Venn图解决一些与集合的运算有关的问题． 3、 导入新知 已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应 用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了． 问题1：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对的关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”．这就是我们本节课要探究的内容——全集和补集． 4、 学习新知 问题2　方程的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题，你能得到什么启示？ 提示　在有理数范围内，解集为；在实数范围内，解集为．在数学中，很多问题都是在某一范围内进行研究．如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的． 问题3 若，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 提示　集合U是我们研究对象的全体，.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系． 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)包含三层含义：①；②是一个集合，且；③是U中所有不属于A的元素构成的集合． 知识点　全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 图形语言 5、 应用新知 例5. 设U={x|x是小于9的正整数}，,求,. 解:根据题意可知,,所以, 变式1:设是小于7的自然数,求. 【解析】 根据题意可知,,所以. 例6.设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形, 求. 解:根据三角形的分类可知 {x|x是锐角三角形或钝角三角形,{x|x是直角三角形}. 变式2:设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形,   则___. 答案　{x|x是直角三角形} 解析:根据三角形的分类可知,是直角三角形或钝角三角形是直角三角形或锐角三角形,所以 6、 能力提升 题型一： 集合的补集运算 【练习1】若集合,当时,___, 【解析】　当时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由由图知或. 跟踪练习1:当时,___. 【解析】 当时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知． 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 反思感悟　求集合补集的方法: (1) 定义法：当集合中元素较少时，可利用定义直接求解． (2) Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． (3) 数轴法：当集合中的元素无限时，可借助数轴，需注意端点问题． 题型二：集合的交、并、补集的综合运算 【练习2】 已知集合，则等于(　　) A. B. C. D. 【解析】因为 所以， 所以． 跟踪练习2：已知全集，集合， 求． 解　如图所示． , 或, ,或, 故,或, 故,或. 反思感悟　解决集合运算问题的方法 (1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集. (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出和B再求交集；求时,先求出,再求补集. (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解. 题型三：与补集有关的参数值(范围)问题 【练习3】已知全集,集合或,若,求实数的取值范围. 【解析】因为或, 所以, 因为,所以. 当时,即, 所以,满足. 当时,则无解. 故实数的取值范围是. 跟踪练习3：设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅， 求实数m的取值范围． 解　方法一　(直接法)：由,得. 因为,(, 所以,即, 所以的取值范围是. 方法二　(集合间的关系)：由可知, 又, 结合数轴： 得,即. 反思感悟　由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解． (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解． 7、 课堂总结 1．知识清单： (1)全集与补集及性质． (2)交、并、补集的综合运算． (3)利用集合间的关系求参数范围． 2．方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论．正难则反的补集思想、数形结合． 3．常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点．求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍． (1)。 （2）利用数轴或Venn图求交集、并集、补集； （3）性质A∩A＝A，A∪A＝A， A∩∅=∅，A∪∅＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； 。 8、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P13的练习1~3题； (3)课本P14的习题1.3的4、6题. 选做作业：1.已知全集,则集合等于(　　) A. B. C. D. 【解析】 或,则. 选做作业2.设全集,则等于(　　) A. B. C. D. 【解析】 　. 选做作业：3.已知全集U=R，集合 【解析】。 选做作业：4.已知集合或. (1)当时,求; (2)若,求实数的取值范围. 【解析】(1)当时,,又或, 所以或. (2)因为,且,所以,则实数的取值范围为. 练习 5. 已知，，，求，. 【解析】， ， 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题. 6. 设是平行四边形或梯形}，是平行四边形}，是菱形}，是矩形}，求，，. 【解析】由交集定义得：既是菱形又是矩形是正方形 由补集定义得：是邻边不相等的平行四边形或梯形；是梯形 【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到平面几何中平行四边形的分类以及梯形的概念，属于基础题. 7. 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示： （1）；（2）. 【解析】如下图阴影部分所示. 【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题. 习题1.3 综合运用 11. 已知集合，，求，，，. 【解析】因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 12. 设集合，，求，． 【解析】因为 所以 又因为， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 当且且时，所以， 拓广探索 13. 已知全集，试求集合B. 【解析】，， .故. 【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$