4.5.1函数的零点与方程的解（3知识点+8题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

4.5.1函数的零点与方程的解 明确学习目标 课标要求 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 重点难点 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.理解 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 4.求函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2.理解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 3.函数零点存在定理的重要推论 (1)推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． (2)推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4.确定零点区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 知识点3 函数零点个数的问题 1.判断函数零点个数的四种常用方法 (1)方程法：直接求零点，令，利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点． (2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． (4)数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 2.已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； (2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； (3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 提升学科能力 题型一 求函数零点 例1．函数的零点为（    ） A． B． C． D．无零点 跟踪训练1 1．若是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A．3 B．15 C． D． 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 3．下列函数中，存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 题型二 判断零点所在区间 例2．函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．函数的零点所在的区间为(    ) A． B． C． D． 2．函数与图象交点横坐标的大致区间为（    ） A． B． C． D． 3．方程的解所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据零点区间求参数 例7．若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是 . 题型四 比较零点大小 例4．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 题型五 判断零点个数 例5．函数在上的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练5 1．方程的解的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若函数，则关于的方程有（    ）实根． A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 题型六 已知零点个数求参数 例6．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 题型七 零点分布求参数 例7．分别求实数m的范围，使关于x的方程： (1)有两个负根； (2)有两个实根，且一根比2大，一根比2小； (3)有两个实根，且都比1大． 跟踪训练7 1．（1）已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是 ． （2）“一元二次方程有一个正根和一负根”的充要条件是 ． 2．若函数在内有2个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若方程有正数解，则实数的取值范围是 . 题型八 零点之和 例8．已知三个函数，，的零点依次为、、，则（ ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．设方程的解为，，方程的解为，，则 ． 3．已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则 ． 3质量检测评价 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　） A．或 B． C．或 D． 5．已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．函数的零点可以是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．2 D． 9．已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、填空题 10．若是二次函数的两个零点，则= . 11．若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 12．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为 ． 四、解答题 13．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 14．已知函数 (1)若，求实数a的值; (2)若关于x的方程恰有三个解，求实数m的取值范围. 15．已知函数，． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.1函数的零点与方程的解 明确学习目标 课标要求 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 重点难点 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.理解 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 4.求函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2.理解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 3.函数零点存在定理的重要推论 (1)推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． (2)推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4.确定零点区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 知识点3 函数零点个数的问题 1.判断函数零点个数的四种常用方法 (1)方程法：直接求零点，令，利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点． (2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． (4)数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 2.已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； (2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； (3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 提升学科能力 题型一 求函数零点 例1．函数的零点为（    ） A． B． C． D．无零点 【答案】B 【分析】根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】令，解得：或， 所以函数的零点是. 故选：B 跟踪训练1 1．若是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A．3 B．15 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点的定义可知是的两个根，可得的关系式，代入化简，即得答案. 【详解】由题意知是二次函数的两个零点， 故是的两个根， 则，且，则且， 故， 故选：B 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案. 【详解】当时，，解得 当时，，解得 所以函数的零点为： 故选：B 3．下列函数中，存在零点的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】A.，无解，所以不存在零点，故A错误； B.，得，所以函数存在零点，故B正确； C.函数恒成立，所以函数存在零点，故C错误； D.函数，解得：或，所以函数存在2个零点，故D正确. 故选：BD 题型二 判断零点所在区间 例2．函数的零点一定位于下列哪个区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数的单调性，根据零点存在定理，即可求得答案. 【详解】函数定义域为， 由于，在上均单调递增， 故在上单调递增， 又且无限接近于0时，趋近于负无穷，， ，， 则，故函数的零点一定位于区间内， 故选：C 跟踪训练2 1．函数的零点所在的区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为函数在上是连续的曲线，且，， 所以，函数的零点所在的区间为. 故选：B. 2．函数与图象交点横坐标的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将问题转化为求函数的零点的大致区间，然后利用零点存在性定理求解即可. 【详解】根据题意令，则问题转化为求该函数零点的大致区间， 因为，， ，，， 所以， 因为的图象在上连续，所以的零点大致在区间， 即函数与图象交点横坐标的大致区间为， 故选：C 3．方程的解所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由零点存在定理判断区间 【详解】令，则单调递增， 由，， ∴方程的解所在一个区间是． 故选：C． 题型三 根据零点区间求参数 例3．若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理知，代入解不等式即可得解. 【详解】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知，即，解得 所以实数的取值范围是 故选：B 跟踪训练3 1．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求； 当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得. 故选：D. 2．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】探讨函数的单调性，再借助零点存在定理列出不等式求解即得. 【详解】函数f(x)定义域是， 因函数，在上都是单调递增的，而， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点， 于是得当时，函数在上连续且单调， 因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 3．若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性结合条件即得. 【详解】由题可知函数在定义域上单调递增， 又函数的零点在区间(1,+∞)上， ∴，即. 故答案为：. 题型四 比较零点大小 例4．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设，作出函数的大致图象，结合它们的零点，数形结合，可判断出答案. 【详解】由题意：的零点，则， 令，则， 而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到， 故可作出函数的大致图象如图：    由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为， 故B，C，D错误，A正确， 故选：A 跟踪训练4 1．已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象，    如图所示，可知 故选：C 2．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图象以及平移变换，可得答案. 【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标， 令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标， 易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以. 故选：C. 3．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别将三个函数的零点问题转化成图象的交点问题，在同一坐标系中作出图象，数形结合可得答案. 【详解】函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数 的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 在同一直角坐标系内作出函数，， 与的图象如图所示： 由图可知：，，，所以，故选BCD 故选：BCD 题型五 判断零点个数 例5．函数在上的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】时，求导得到单调性，结合零点存在性定理得到存在，使得，并得到，结合指数函数和二次函数的增长速度，得到无零点，从而求出答案. 【详解】画出和的图象， 在上，，故在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理可得，存在，使得， 在上，可以看出，， 又比在上增长速度更快，故上无零点， 在上的零点的个数是3. 故选：D 跟踪训练5 1．方程的解的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】数形结合分析函数与函数的图象交点的个数即可. 【详解】由得， 在同一平面直角坐标系内作出与的图象， 两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解， 故选：C. 2．已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数单调性，借助零点存在性定理判断作答. 【详解】令，当时，在上单调递增， ，则存在，使得，因此函数在上有唯一零点， 当时，，求导得，显然在上递增， 而，则存在，使得， 当时，，当时，，因此函数在上递减，在递增， ，而，则存在，使得， 即函数在上有唯一零点，又函数在上无零点，因此函数在上有唯一零点， 所以函数的零点个数为2，即方程的解的个数是2. 故选：C 3．若函数，则关于的方程有（    ）实根． A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】由，可得或，然后分情况讨论求解即可. 【详解】由，得， 解得或， ①若， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去），或， ②若， 当时，，即，解得，或（舍去）， 当时，，方程无解， 综上，关于的方程的解有，或，或，共3个， 故选：C. 题型六 已知零点个数求参数 例6．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围. 【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点， 因为，当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是. 法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点． 因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为， 所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点， 所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 跟踪训练6 1．关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围. 【详解】 由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点， 设直线的图象与相切于点， 因为， 所以，解得：， 又函数在单调递减，且， 函数在增，且， 所以函数与在所有且只有一个交点， 要使的图象与的图象有三个交点， 则需， 即实数的取值范围是， 故选：D． 2．若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3．函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数形结合思想来求函数的零点问题. 【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图， 结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点， 即函数仅有一个负零点. 故答案为：. 题型七 零点分布求参数 例7．分别求实数m的范围，使关于x的方程： (1)有两个负根； (2)有两个实根，且一根比2大，一根比2小； (3)有两个实根，且都比1大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据判别式与韦达定理列式求解； （2）根据二次函数图像转化求解即可； （3）根据二次函数对称性直接判断. 【详解】（1）若关于x的方程有两个负根， 设两根为， 则， 解得， 所以实数m的范围是； （2）若关于x的方程有两个实根，且一根比2大，另一根比2小， 则，即 令， 由，求得， 综上，实数m的范围是； （3）若关于x的方程有两个实根，且都比1大，则由二次函数的对称轴为可得， 关于x的方程有两个实根，且都比1大是不可能的， 所以m的范围为. 跟踪训练7 1．（1）已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是 ． （2）“一元二次方程有一个正根和一负根”的充要条件是 ． 【答案】 【分析】（1）利用二次方程判断式以及两根的符号，由韦达定理解不等式即可求出m的取值范围； （2）根据根的个数及正负列出需满足的不等式，即可求出. 【详解】（1）设两个正实数根分别为， 则需满足，解得 即实数m的取值范围是. （2）若一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和， 所以，解得， 故答案为：， 2．若函数在内有2个零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接解方程，然后根据解的要求列不等式得结论． 【详解】由，得或． 依题意可得，且，所以，且． 故选：D． 3．若方程有正数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过换元，设，将方程有正数解转化为方程在上有实根．进一步转化为求函数的值域可得解. 【详解】设，由，得， 因为方程有正数解， 所以方程在上有实根． 因为，当时，， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型八 零点之和 例8．已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值. 【详解】令，得出，令，得出， 则函数与函数、交点的横坐标分别为、. 函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直， 如下图所示：    联立，得，则点， 由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则， 由题意得，解得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 跟踪训练8 1．是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的对称性，即可判断. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以函数图象关于轴对称，那么，即有5个实数根，可知其中4个实数根，有两对关于轴对称，另外一个为，所以这些根的和为0. 故选：C 2．设方程的解为，，方程的解为，，则 ． 【答案】10 【分析】在同一坐标系下做出函数、，的图象，设，根据函数与的图象关于对称得点与点、点与点都关于对称，求出的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案. 【详解】由方程得，由方程得， 在同一坐标系下做出函数、，的图象， 不妨设，如下图， 因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称， 由解得，即两直线的交点为，则， 则. 故答案为：. 3．已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则 ． 【答案】-6 【详解】在同一个直角坐标系内分别作出y=f(x)=|x2+3x|与y=a的图象，如图所示 不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由图象y=f(x)的对称性可知：x1+x4=-3，x2+x3=-3， 所以x1+x2+x3+x4=-6. 质量检测评价 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】求出方程的根，即可得答案； 【详解】函数的零点可以转化为方程的根， 所以. 故选：C. 2．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】在上连续且单调递增，，，故函数的零点位于区间内． 故选：B． 3．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数图象的交点个数即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    4．已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，根据函数的单调性，由求解. 【详解】因为函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点， 又因为f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）单调， 所以， 即， 解得或， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，属于基础题. 5．已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：B 6．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：转化成一元二次方程在上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在上有两个交点的问题. 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以解得． 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点． 函数的图像如图，由图可知． 故选：D． 二、多选题 7．函数的零点可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定函数的定义域，解方程可求得函数零点，即得答案. 【详解】函数的定义域为 令，解得或， 故的零点是和， 故选：CD 8．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】BC 【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围. 【详解】如图，画出函数的图象， 若函数有3个零点，即有3个实数根，即函数和有3个交点， 结合图像，可知. 故选：BC. 9．已知函数，则关于的方程根的个数可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABD 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：ABD． 三、填空题 10．若是二次函数的两个零点，则= . 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可得出答案. 【详解】因为是二次函数的两个零点， 所以的两根为， 所以， 所以. 故答案为： 11．若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数在上的零点，分析可知，直线与函数在上的图象无交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，令可得； 当时，，此时函数单调递减， 因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点， 由可得， 所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示： 且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为 ． 【答案】-4 【分析】根据零点含义，以及互为反函数的图象特征进行求解. 【详解】由题意，，，即，； 由，得， 所以是函数分别与函数交点的横坐标， 因为互为反函数，其图象关于对称，由可得交点为，所以. 故答案为：. 四、解答题 13．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意只需对称轴大于1，即可， （2）根据题意只需即可， （3）根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的零点均大于1， 所以，解得， （2）因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1， 所以，解得， （3）因为函数的一个零点在内，另一个零点在内， 所以，解得. 14．已知函数 (1)若，求实数a的值; (2)若关于x的方程恰有三个解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的表达式，即可分类讨论求解， （2）画出函数图象，结合函数的图象即可求解. 【详解】（1）当，，即，解得，均满足条件. 当时，∵，∴无解. 故 （2）在同一坐标系内分别作出和的图象如图所示.    当时，单调递增，; 当时，，则其在上单调递减，在上单调递增，. 故当时，方程恰有三个解，即实数的取值范围是. 15．已知函数，． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为，利用判别式，列出不等式，即可求解； （2）由函数，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （3）根据函数，先分，和三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分，和三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 因为该函数的定义域为，则对任意恒成立， 可得，解得， 即实数的取值范围. （2）由函数，若在上单调递减， 则问题等价于在上恒成立，且在上单调递增， 即，解得，所以实数的取值范围是． （3）当时，，所以当时，， 所以在上没有零点； 当时，，， 若即时，， 此时是函数的一个零点； 若即时，， 此时不是函数的一个零点； 当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数， ①当，即时，，则， 函数在上没有零点； ②当即时，函数有且只有一个零点， 若，由可得，则函数在上没有零点； 若，由可得，则函数在上有1个零点； ③当，即或时，函数有两个零点， 不妨设为且， 当时，，， 所以，则在上没有零点； 当时，，，所以， 当即时，，所以，则，， 所以此时在上有且只有一个零点； 当，即时，对称轴，且， 所以，在上有两个零点， 综上所述： 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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