4.4对数函数及其性质（4知识点+12题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

4.4对数函数及其性质 明确学习目标 课标要求 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题． 3.掌握对数函数的图象和性质． 4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 5.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 6.了解反函数的概念和图象特点． 重点难点 1.会求与对数函数有关的定义域问题． 2.掌握对数函数的图象和性质． 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 4.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 对数函数的概念 1.对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.概念的理解 (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 3.对数函数的判断 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 4.对数函数的定义域 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1. 知识点2 对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 2.性质的理解 (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 3.过定点问题：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标． 4.对数型函数的图象变换 ①作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． ②作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． ④y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 知识点3 对数函数单调性的应用 1.利用单调性比较对数值的大小 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 2.利用单调性解对数不等式 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 3.与对数函数有关的定义域(值域)问题 (1)求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围． (2)把函数f(x)＝ln g(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解． 知识点4 反函数 1.反函数的概念 一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数． 2.反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； (2)若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； (3)互为反函数的两个函数的单调性相同； (4)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； (5)单调函数必有反函数． 提升学科能力 题型一 对数函数的判断 例1．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟踪训练1 1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 3．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 题型二 求对数函数解析式 例2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝log2x 跟踪训练2 1．若对数函数的图象过点，则当时， ． 2．函数（且），若它的图象经过，，则 ． 3．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 题型三 对数（型）函数定义域 例3．函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 跟踪训练3 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是 ． 3．函数的定义域是 ． 题型四 对数函数的图像问题 例4．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．  B．  C．  D．   跟踪训练4 1．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 3．函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 题型五 对数函数过定点问题 例5．函数且恒过定点（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．函数过定点（        ） A． B． C． D． 2．函数（且）恒过定点 ． 3．函数（且）的图像经过定点 ． 题型六 对数函数单调性 例6．求函数的单调区间 跟踪训练6 1．求函数的单调区间． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ． 题型七 已知单调性求参数 例7．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 题型八 利用单调性解不等式 例8．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 跟踪训练8 1．不等式的解集为 ． 2．不等式的解集为 ． 3．不等式的解集为 ． 题型九 利用单调性比较大小 例9．设，，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十 对数函数的值域 例10．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练10 1．函数的值域为 . 2．函数的值域为 . 3．已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 题型十一 反函数及其应用 例11．已知函数． (1)求反函数； (2)在同一坐标系上画出函数和反函数的图像． 跟踪训练11 1．函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 2．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 3．已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 题型十二 指对数方程 例12．求方程的实数解． 跟踪训练12 1．方程的解集是 ． 2．方程的解是 ． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 3质量检测评价 一、单选题 1．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 3．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C．D． 4．函数 的值域为（    ） A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 5．函数过定点（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若已知，， ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在定义域内是增函数，且，若的反函数为，则（    ） A． B．在定义域上是增函数 C． D．在定义域上是减函数 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，其中若，则的取值范围是 . 13．已知函数的反函数，则 ． 14．函数的单调递增区间是 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 16．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 17．已知函数. (1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4对数函数及其性质 明确学习目标 课标要求 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题． 3.掌握对数函数的图象和性质． 4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 5.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 6.了解反函数的概念和图象特点． 重点难点 1.会求与对数函数有关的定义域问题． 2.掌握对数函数的图象和性质． 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用． 4.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题． 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 对数函数的概念 1.对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.概念的理解 (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数与指数函数的范围相同． (4)对于函数y＝2log2x等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 3.对数函数的判断 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 4.对数函数的定义域 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于零且不等于1. 知识点2 对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象和性质 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) 当x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与的图象关于x轴对称 2.性质的理解 (1)函数图象只出现在y轴右侧． (2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 3.过定点问题：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标． 4.对数型函数的图象变换 ①作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称． ②作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可． ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． ④y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称． 知识点3 对数函数单调性的应用 1.利用单调性比较对数值的大小 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 2.利用单调性解对数不等式 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 3.与对数函数有关的定义域(值域)问题 (1)求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围． (2)把函数f(x)＝ln g(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解． 知识点4 反函数 1.反函数的概念 一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数． 2.反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； (2)若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； (3)互为反函数的两个函数的单调性相同； (4)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； (5)单调函数必有反函数． 提升学科能力 题型一 对数函数的判断 例1．下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数的概念分析可得答案. 【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 跟踪训练1 1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 2．给出下列函数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是 ．（将符合的序号全填上） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据对数函数的定义判断． 【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x． 故答案为：（1）（2）（3）． 3．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 题型二 求对数函数解析式 例2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝log2x 【答案】D 【分析】先设出函数解析式，再把点的坐标代入，求出底数，即可得解 【详解】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16， 得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D. 【点睛】本题考查对数函数的求解以及对数式与指数式的互化．属基础题 跟踪训练2 1．若对数函数的图象过点，则当时， ． 【答案】3 【分析】求出函数解析式，再代入求出函数值. 【详解】由对数函数的图象过点，得，解得，则， 所以当时，. 故答案为：3 2．函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【答案】8 【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出. 【详解】因为的图象经过，所以， 所以，因为，所以， 所以， 因为点在函数图象上，所以. 故答案为：8 3．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】结合对数函数的定义即可得出. 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 题型三 对数（型）函数定义域 例3．函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意列出不等式组解出即可. 【详解】由题意得，∴或， 故定义域为或， 故选：D. 跟踪训练3 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数式的真数大于零、分式的分母不为零，求解出的取值范围可得答案. 【详解】因为，所以或，所以函数的定义域为：， 故选：C. 2．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域. 【详解】因为函数, 所以解得且，即函数的定义域为. 故答案为：. 3．函数的定义域是 ． 【答案】或 【分析】利用对数函数的性质得真数大于0，即可求解. 【详解】解:由，解得或，故答案是或． 题型四 对数函数的图像问题 例4．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 跟踪训练4 1．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 2．若，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数的图象按和分类讨论． 【详解】对数函数定义域是，A错；C中指数函数图象，则，为减函数，C错；BD中都有，则，因此为增函数，只有B符合． 故选：B． 3．函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在和两种情况下做出函数图象，对比选项可得结果. 【详解】当时，大致图象如图所示；当时，大致图象如图所示. 故选：A. 题型五 对数函数过定点问题 例5．函数且恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质结合条件即得. 【详解】当，即时，， 所以函数恒过定点为. 故选：B. 跟踪训练5 1．函数过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且求解. 【详解】因为且， 所以要求恒过定点，则满足 解得，所以恒过定点. 故选：B 2．函数（且）恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数恒过定点，运算即可. 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 3．函数（且）的图像经过定点 ． 【答案】 【分析】令真数为1，结合恒成立，可得定点点坐标，进而得到答案． 【详解】解：当，即时， 恒成立， 故函数的图象恒过定点， 故答案为：． 题型六 对数函数单调性 例6．求函数的单调区间 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域，是由和复合而成，求出二次函数的单调性以及对数函数的单调性，由复合函数的单调性即可求解. 【详解】由可得或， 所以的定义域为， 设，则是由和复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，而单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，而单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 跟踪训练6 1．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】探讨函数定义域，再利用复合函数的单调性法则求出单调区间作答. 【详解】函数中，，于是该函数的定义域为R， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递减， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与二次函数的单调性及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由条件可得得. 设，易知其图象的对称轴为. ∵函数为减函数，∴要求函数的单调递增区间， 即求函数在上的单调递减区间， 由二次函数性质可得：函数在上的单调递减区间为， 故选：D. 3．的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】由已知得，， 在上单调递增， 在上单调递减， 又是增函数，在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：；. 题型七 已知单调性求参数 例7．已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性同增异减，可得在区间上单调递增，由对数函数的性质，真数恒大于0，可得，再利用二次函数的单调性和值域求解即可. 【详解】解析：令． 因为在上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，且恒大于0， 所以对称轴且，所以且， 解得，即a的取值范围为， 故选：D． 跟踪训练7 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 2．若函数对任意都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】由得，在R上是减函数， 则有，解得. 故选：D. 3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，一次函数是增函数，得出，即； 当时，对数函数是增函数，得出； 又因为，解得； 取交集得； 故答案为： 题型八 利用单调性解不等式 例8．（1）已知，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对数函数的单调性和定义域得到不等式，求出的取值范围； （2）分和两种情况，结合单调性得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为函数在上为严格减函数， 所以由得 解得，即的取值范围是． （2）因为，所以． 当时，，所以． 当时，，所以． 所以的取值范围是． 跟踪训练8 1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【详解】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 3．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式可得，求解即可. 【详解】由， 可得， 又在上单调递增， 所以，解不等式组可得， 所以不等式的解集为. 题型九 利用单调性比较大小 例9．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可. 【详解】因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 又因为， 且， 所以，所以，所以； 综上所述，. 故选：A. 跟踪训练9 1．的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以0和1为中间值比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“”分析判断. 【详解】因为，可知：，即； ，可知：，即； ，可知：，即； 综上所述：. 故选：A. 题型十 对数函数的值域 例10．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 跟踪训练10 1．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域. 【详解】由，得， 令，则， 因为，， 所以，因为函数在上单调递增， 所以，所以函数的值域为. 故答案为： 2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用指数的性质求的范围，再根据的单调性求值域. 【详解】由，则，结合对数函数性质有. 又是关于的减函数，即， 所以函数值域为. 故答案为： 3．已知函数． (1)若该函数的定义域为，求实数的范围； (2)若该函数的值域为，求实数的范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）转化为恒成立，求解即可； （2）转化为，计算即可. 【详解】（1）由题意知需使恒成立，只要，得； （2）要使函数的值域是，需真数能取尽一切正数，只要，得或． 题型十一 反函数及其应用 例11．已知函数． (1)求反函数； (2)在同一坐标系上画出函数和反函数的图像． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接求出的反函数即可； （2）画出函数图象即可. 【详解】（1）， 由，得， 所以，的反函数为： ； （2）函数图象如下：    跟踪训练11 1．函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义计算的值域即可. 【详解】∵当时，， ∴函数，的值域为， 又与互为反函数互为反函数， 故的定义域为. 故选：C. 2．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 3．已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 【答案】2 【分析】由反函数与原函数的对称性得出点在函数的图像上，从而得出. 【详解】点在函数的反函数的图像上， 所以点在函数的图像上， 代入得． 故答案为：2 题型十二 指对数方程 例12．求方程的实数解． 【答案】. 【分析】利用换元法，令，则原方程可化为，解一元二次方程组即可. 【详解】令，则原方程可化为， 解得或（舍去），即，所以． 跟踪训练12 1．方程的解集是 ． 【答案】 【分析】令，换元可得方程，求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】令，则， 方程可化为，解得或， 所以，或， 解得或. 所以，方程的解集为. 故答案为：. 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】将原方程化简后换元得，求出，从而可求出的值 【详解】， 即为 令    则有，解得(舍) 所以， 故答案为：． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4)9 (5) 【分析】利用指对数的转化公式，即可求解方程. 【详解】（1）， ， ，. （2），， . （3），， ，∴. （4），， . （5）， ， . 质量检测评价 一、单选题 1．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域. 【详解】由题意可得：，解得， 故选：B. 2．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 3．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可. 【详解】解：由于中的底数，所以为减函数，所以排除BC， 由于中的底数，所以为增函数，所以排除D， 故选：A. 4．函数 的值域为（    ） A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性求值域即可. 【详解】因为， 所以， 所以, 即函数的值域为[3，＋∞). 故选：C 5．函数过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数恒过点，令，即得解. 【详解】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点. 故选：C 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数的值域知，是函数值域的子集，从而得到，解该不等式组即可得出实数的取值范围． 【详解】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意； 当时，则，解得； 当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数函数的值域的应用，解题的关键是对数函数性质的灵活应用． 7．若已知，， ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性结合中间值“”、“2”分析判断. 【详解】因为，且，即； 且，即； 且，即； 所以. 故选：A. 8．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解不等式组可求得答案 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得， 故选：B 二、多选题 9．下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 AB选项，根据幂函数的性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性. 【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数， 又，故在单调递增，B正确； C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误； D选项，，故当时，单调递减，D错误. 故选：AB 10．已知函数在定义域内是增函数，且，若的反函数为，则（    ） A． B．在定义域上是增函数 C． D．在定义域上是减函数 【答案】AB 【分析】根据反函数的性质求解即可. 【详解】解：因为，且在定义域内是增函数 所以由反函数的定义及性质可知，，在定义域上是增函数，所以A，B正确，CD错误. 故选：AB 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．已知函数，其中若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段考虑求解相应的不等式，然后求并集即得. 【详解】依题意，当时，等价于，解得，，故得； 当时，等价于，解得，故得. 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数的反函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反函数的解析式，写出原函数的解析式，再代值求解即可. 【详解】因为，, 所以，, 所以， 故答案为：. 14．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调区间. 【详解】令且，即，则或， 所以定义域为， 由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增， 而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解； （2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）函数有意义，须满足，∴． ∴函数的定义域为． （2）∵不等式有解，∴小于的最大值． ． 令，由于，∴． ∴函数的最大值为， ∴实数的取值范围为． 16．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式，求出定义域，根据复合函数单调性得到单调递增区间； （2）求出，根据对数函数单调性得到，结合，求出不等式解集. 【详解】（1）令，解得或， 所以的定义域为， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递增区间为； （2），故，， 即， 故，所以， 又，故不等式的解集为， 17．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并予以证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． 【详解】（1）要使函数有意义,则， 解得，故所求函数的定义域为； （2）证明：由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数； （3）因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$