第八讲 圆心角定理和圆周角定理 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

圆心角和圆周角定理 【同步知识梳理】 1、圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆旋转后会发生变化吗？ 2、 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。如∠NON′是圆O的圆心角。 3、 把圆心角等分成360份，则每一份的圆心角是1°，同时整个圆也被分成了360份，则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样 1°的圆心角对着 1°的弧; 1°的弧对着 1°的圆心角; n°的圆心角对着的n°的弧; n°的弧对着 n°的圆心角. 归纳性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等 4、如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB＇的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 圆心角定理：1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦 ； 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弧 。 注意：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 5、圆周角定理及其推论 ☆情境引入☆ 问题:足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图(1),甲、乙两名运动员分别在C、D两处,他们争论不休,都说在自己所在位置对球门AB的张角大,如果你是教练,请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大? 图（1） ☆探索新知☆ 【探究活动】 问题1.图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？ 问题2.你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 辩一辩,图中的角是圆周角吗? 问题3.在下图中,同弧BC所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现?大胆说出你的猜想. 问题4.再量一量上图中的圆心角，猜想一下：同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？在说一说圆周角与圆心角的联系和区别? 圆周角定理及推论. 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 2.问题:在第一种情况中,你会发现同弧所对的圆心角和圆周角有什么关系？如何证明呢?另外两种情况如何证明呢? 3.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想:圆弧所对的圆周角相等?(利用圆弧所对的圆心角相等) 4.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 5.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？ 6． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 7．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1、∠C2、∠C3等于多少度呢？从中你发现了什么？ 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 【精题精练精讲】 题型一：定理的辨析 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等； B．这两个圆心角所对的弧相等； C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等； D．以上说法都不对. 【答案】D 2．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B 【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆； B中，等弧所对应的弦相等，故选B C中，圆心角相等所对应的弦可能互补； D中，弦相等，圆心角可能互补； 故选B 题型二：圆心角定理应用 1．已知中，，则弦和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】如图，取的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 故选C. 2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是(　　) A.=2　　　　　　　 B.>2 C.<2 D.不能确定 【答案】A 3.在同圆中,弦AB=2CD ,则两条弧与2的关系是(　　) A.=2　　　　　　　 B.>2 C.<2 D.不能确定 【答案】B 题型三：圆心角定理角度计算 1．如图所示，是的直径，，，则的度数为 ． 【答案】51° 【详解】解：如图，∵，∠COD=34°， ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°， ∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°． 又∵OA=OE， ∴∠AEO=∠OAE， ∴∠AEO=×（180°-78°）=51°． 故答案为：51°． 2．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    【答案】弧的度数为 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即弧的度数为． 3．如图，在中，，，则的度数为_________ 【答案】如图，连接， ，根据等弧对等角， ， 在中，， 是等腰三角形， ， 同理在中，得出：， ， 4．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图， ∵点C、D三等分半圆弧， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∵OC=OD， ∴是等边三角形， ∴∠CDO=60°， ∴∠CDO=∠BOD， ∴CD∥AB， ∴， ∵OE⊥CD， ∴∠COE=∠COD=30°， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 题型四：有关圆心角定理题型的证明 1．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 【答案】解：， ，即， ． 2．如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    【答案】解：连接， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    3．如图，是⊙O的直径，点M是的中点，连接．求证：； 【答案】证明：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 4．如图，在中，，且，是的三等分点，分别交，于点，．求证：． 【答案】证明：如图，连接，． ，是的三等分点， ． ，． 又， ． ，， ． ． ，， ． ． 同理可得． ． 题型五：圆周角的判定 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．故选C． 2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 4．如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【答案】8 【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角． 故答案为8． 题型六：圆周角定理 1．如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数_______    【答案】解：连接，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．    【答案】 【详解】解：连接，    弧、、的长相等， ， 设， ， ， ， 在中，， 解得， ， ． 故答案为：． 3．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为_______ 【答案】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴， ∴DE=BF=6， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， 而CA=AF， ∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=3, 题型七：圆周角定理推论 1．如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是_______ 【答案】解：为的直径， ， ， ， ． 2．如图是的直径，C，D是上的两点，若，则 ．    【答案】 【详解】连接，则， ∵， ∴． ∵如图是的直径， ∴．    故答案为：. 3．如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是_______    【答案】解：连接，    ∵点C为的中点，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 题型八：有关圆周角定理题型的证明 1．如图，的弦、的延长线相交于点外一点，且．求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 2．如图，在中，弦与弦垂直，垂足为点，为中点，延长交于点，求证：． 【答案】证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 为中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，为的直径，，于点，交于，连接．求证：． 【答案】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【能力拓展训练】 1．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，CE＝1，DE＝3，则⊙O的半径是 ． 【答案】 【详解】解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD， ∵AB=CD， ∴OQ=OF， ∵OF过圆心O，OF⊥CD， ∴CF=DF=2， ∴EF=2-1=1， ∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD， ∴∠OQE=∠AEF=∠OFE=90°， ∵OQ=OF， ∴四边形OQEF是正方形， ∴OF=EF=1， 在△OFD中由勾股定理得：OD= 故答案为：． 2．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：法一：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，如图①，连接交于点，此时最小， 在中，∵，，， ∴， ∴． ∴的最小值为2． 故选：B． 法二：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，取中点，连接，，如图②． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在中，（当且仅当在线段上时，取等号）， 故最小值为． 故选：B． 3．如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，∵是直径， ∴， ∴点E在以为直径的弧上运动， 则以为直径作，连接、． ，，， ，，． ，， 、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 4．如图，、、、是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)探究、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)等边三角形，见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【课后知识应用】 1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为______ 【答案】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 2．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是________ 【答案】解：如图，连接， ∵弧度数是， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 3．下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 4．如图，点在上，，则____________ 【答案】解： 点在上，， 5．在中，弦，求证． 【答案】解∶在中， 即 6．如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．    【答案】证明：∵，，， ∴， ∴． 7．如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接、、．求证：． 【答案】证明：是的直径，， ， ， 又， ． ． 8．如图，，C、D是的三等分点，分别交、于点E、F，求证：．    【答案】证明：连接，如图所示：    ∵，C，D是的三等分点 ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD⊥AC，OD与AC交于点E． (1)若∠CAB＝20°，求∠CAD的度数； (2)若AB＝8，AC＝6，求DE的长． 【答案】(1)∠CAD=35°；(2)DE=4-． 【详解】（1）解：∵OD⊥AC， ∴∠AOD=90°-∠CAB=70°， ∵OA=OD， ∴∠OAD==55°， ∴∠CAD=55°-20°=35°； （2）解：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C=90°， ∵AB=8，AC=6， ∴BC= ， ∵OD⊥AC， ∴AE=EC， ∵OA=OB=OD=4， ∴OE=BC=， ∴DE=4-． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　） A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点E在以AB为直径的半⊙O上， 连接CO交⊙O于点E′， ∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值， ∵AB=4， ∴OA=OB=OE′=2， ∵BC=6， ∴OC=， 则CE′=OC﹣OE′=﹣2， 故选B． 11．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 . 【答案】 【详解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC， ∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°， ∴∠BPA=90°， ∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值 ∵AB=6， ∴OB=OP=3， ∵BC=5， ∴OC=, ∴CP=， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆心角和圆周角定理 【同步知识梳理】 1、圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆旋转后会发生变化吗？ 2、 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。如∠NON′是圆O的圆心角。 3、 把圆心角等分成360份，则每一份的圆心角是1°，同时整个圆也被分成了360份，则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样 1°的圆心角对着 1°的弧; 1°的弧对着 1°的圆心角; n°的圆心角对着的n°的弧; n°的弧对着 n°的圆心角. 归纳性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等 4、如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB＇的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 圆心角定理：1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦 ； 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弧 。 注意：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 5、圆周角定理及其推论 ☆情境引入☆ 问题:足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图(1),甲、乙两名运动员分别在C、D两处,他们争论不休,都说在自己所在位置对球门AB的张角大,如果你是教练,请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大? 图（1） ☆探索新知☆ 【探究活动】 问题1.图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？ 问题2.你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? 辩一辩,图中的角是圆周角吗? 问题3.在下图中,同弧BC所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现?大胆说出你的猜想. 问题4.再量一量上图中的圆心角，猜想一下：同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？在说一说圆周角与圆心角的联系和区别? 圆周角定理及推论. 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 2.问题:在第一种情况中,你会发现同弧所对的圆心角和圆周角有什么关系？如何证明呢?另外两种情况如何证明呢? 3.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想:圆弧所对的圆周角相等?(利用圆弧所对的圆心角相等) 4.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 5.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？ 6． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 7．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1、∠C2、∠C3等于多少度呢？从中你发现了什么？ 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径。 【精题精练精讲】 题型一：定理的辨析 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等； B．这两个圆心角所对的弧相等； C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等； D．以上说法都不对. 2．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 题型二：圆心角定理应用 1．已知中，，则弦和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是(　　) A.=2　　　　　　　 B.>2 C.<2 D.不能确定 3.在同圆中,弦AB=2CD ,则两条弧与2的关系是(　　) A.=2　　　　　　　 B.>2 C.<2 D.不能确定 题型三：圆心角定理角度计算 1．如图所示，是的直径，，，则的度数为 ． 2．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．    3．如图，在中，，，则的度数为_________ 4．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为 ． 题型四：有关圆心角定理题型的证明 1．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 2．如图，是的直径，点在上，于，于，且，弧与弧相等吗？为什么？    3．如图，是⊙O的直径，点M是的中点，连接．求证：； 4．如图，在中，，且，是的三等分点，分别交，于点，．求证：． 题型五：圆周角的判定 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    3．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 题型六：圆周角定理 1．如图，是的两条直径，点是弧的中点，连接，若，则的度数_______    2．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．    3．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为_______ 题型七：圆周角定理推论 1．如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是_______ 2．如图是的直径，C，D是上的两点，若，则 ．    3．如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是_______    题型八：有关圆周角定理题型的证明 1．如图，的弦、的延长线相交于点外一点，且．求证：． 2．如图，在中，弦与弦垂直，垂足为点，为中点，延长交于点，求证：． 3．如图，为的直径，，于点，交于，连接．求证：． 【能力拓展训练】 1．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，CE＝1，DE＝3，则⊙O的半径是 ． 2．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D． 4．如图，、、、是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)探究、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【课后知识应用】 1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为______ 2．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是________ 3．下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 4．如图，点在上，，则____________ 5．在中，弦，求证． 6．如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．    7．如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接、、．求证：． 8．如图，，C、D是的三等分点，分别交、于点E、F，求证：．    9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD⊥AC，OD与AC交于点E． (1)若∠CAB＝20°，求∠CAD的度数； (2)若AB＝8，AC＝6，求DE的长． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（　　） A． B．2﹣2 C．2﹣2 D．4 11．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$