第1章 丰富的图形世界（单元测试·培优卷）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 丰富的图形世界（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 2．如图可以折叠成的几何体是（　　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 3．下列说法中，正确的有（     ） ①圆锥和圆柱的底面都是圆                    ②棱锥底面边数与侧棱数相等 ③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形    ④正方体是四棱柱，四棱柱是正方体 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列几何体中，棱柱有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图是一个长方体的表面展开图，CD=3，AE=4，AB=18，则长方体的体积为 A．48 B．60 C．72 D．216 6．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（     ） A．发 B．现 C．之 D．美 7．以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　） A．   B．   C．   D．   8．图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   10．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图． 那么构成这个立体图形的小正方体有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如果一根铁丝恰好可以折成长分米、宽分米、高分米的长方体框架模型，那么用这根铁丝折成一个正方体框架模型，它的棱长是 分米． 12．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则可以剪去的小正方形的编号是 ．（只填一个编号即可） 13．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，字母B的对面是 ．（用图中字母表示） 14．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 15．用一个平面截下列几何体：①正方体；②球；③圆柱；④五棱柱，截面可能是圆的是 ．（填写序号即可） 16．如图是由相同大小的小正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，搭这个几何体最多需要用 个小正方体． 17．已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为 ．    18．《2023年中国诗词大会》全新提炼十大主题热词：“欢喜、寻味、燃、寒暑、先生、本来、心动、天下、十年、远方”，绽放穿越寒冬的温暖诗意，讲述对新一年的美好期待与展望．小铭选取“寒暑、十年、远方”三个主题词，写在一个正方体上，使得每个面上都有一个汉字，根据图中该正方体在三种状态所显示的汉字，可推出图中“？”的汉字是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．   (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 20．（8分）如图所示三棱柱，高为，底面是一个边长为的等边三角形． (1)该三棱柱有______条棱，有______个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能是______（填序号）； ①三角形；②长方形；③五边形；④六边形；⑤圆形 (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是______． 21．（10分）如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． (1)请画出这个几何体的主视图和俯视图； (2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为 ； (3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 　种添加方式． 22．（10分）如图所示，图1为一个棱长为8的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题： （1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则______，______． （2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是______（填“x”或“y”或“2”） （3）图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找点M的位置，直接写出图2中△ABM的面积． 23．（10分）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 24．（12分）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点拨】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了三棱柱，根据三棱柱的展开图特点即可得．根据三棱柱的展开图特点即可得． 【详解】解：两个三角形和三个矩形可围成一个三棱柱， 故选：A． 3．C 【分析】此题抓住圆柱、圆锥、棱锥、棱柱的结构特征进行判断． 【详解】解：①由圆柱和圆锥的特征可以得知：圆柱、圆锥的底面都是圆形．故①正确； ②棱锥底面边数与侧棱数相等．故②正确； ③棱柱的上下底面是全等的多边形，则棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形．故③正确； ④正方体是四棱柱，但是四棱柱不一定是正方体．故④错误． 综上所述，正确的说法是：①②③． 故选：C． 【点拨】本题考查了立体图形的认识，熟记常见立体图形的结构特征是解题的关键． 4．C 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：第一个图是四棱柱，第二个图是圆柱，第三个图是圆锥，第四个图是四棱柱，第五个图是球，第六个图是三棱柱，其中棱柱有3个， 故选：C． 【点拨】本题主要考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的概念． 5．C 【分析】通过折叠可知长方体的长宽高，再利用长方体的体积公式计算即可. 【详解】解：由展开图可令AE为长方体的宽，CD为长方体的高，则长方体的长为，故长方体的体积为3×4×6=72，故选择C. 【点拨】本题考查了依据长方体的展开图还原长方体. 6．D 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此特点解答即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以“数”与“美”是相对面． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”和俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟记定义是解题关键．根据主视图和俯视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、从正面看和从上面看都是圆，则此项不符合题意； B、从正面看和从上面看都是正方形，则此项不符合题意； C、从正面看是三角形，从上面看是带有圆心的圆，则此项不符合题意； D、从正面看是长方形，从上面看是圆，则此项符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点拨】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 9．B 【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图 【详解】根据几何体的截面可知， 、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意； 、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；    、球的截面图为圆，此选项不符合题意； 、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意； 故选：． 10．B 【分析】本题考查了三视图的掌握和运用能力，根据图形易得图形一共有2层，俯视图得第一层个数，主视图和左视图得第二层个数，记住口诀：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违规即可解题． 【详解】解：由俯视图可知，图形最底层有4个，第二层有1个正方体， ∴共有个正方体． 故选：B． 11． 【分析】首先根据长方体的棱长总和，求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和，用棱长总和除以即可求出正方体的棱长． 【详解】解： 分米， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了展开图折叠成几何体，关键是掌握长方体、正方体的特征以及它们的棱长总和公式． 12．6/7 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图， 因此减去编号为6或7的小正方形均可， 故答案为：6或7． 13．D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以字母B的对面是D． 故答案为D． 【点拨】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 14．4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 15．②③ 【分析】本题主要考查了截一个几何体．用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆． 【详解】用一个平面去截球，截面是圆，用一个平面去截圆柱，截面可能是圆，但用一个平面去截长方体，五棱柱，截面不可能是圆． 故答案为：②③ 16．7 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，用小正方体搭建几何体，根据所给图形判断几何体的层数以及每层的行数、列数，即可求解． 【详解】解：根据从正面和左面看到的形状图，可知这个几何体有两层，下面一层3列2行，最多有6个小正方体，上面一层仅有1个小正方体， 因此搭这个几何体最多需要小正方体的个数为：， 故答案为：7． 17．368 【分析】本题考查了正方体的特征，正确理解截一个几何体后的图形是本题的解题关键． 根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和，再分析当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少，计算求出即可． 【详解】∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多9，原正方体棱长和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体后， 棱长和为：， 当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少， 由于重合总棱长的和相当于少4个长为7的棱长， ∴最少棱长和为：， 故答案为：368． 18．年 【分析】本题考查学生的空间想象能力和推理能力，通过三个正方体中能看到的数字推出三组相对的数字是完成本题的关键．根据相邻的面判断出相对的面即可． 【详解】解：由图1，2图可知，与寒相邻的面是十，暑，远，方 所以寒与年相对， 由图2，3图可知，与远相邻的是十，方，寒，年 故远与暑是相对面，十与方是相对面， 又十在上面远在右面， 所以年在前面寒在后面， 所以“？”处是年． 故答案为：年． 19．(1)方案一构造的圆柱的体积大，见解析 (2)324π（cm3） 【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可； （2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可． 【详解】（1）方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）． 【点拨】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键． 20．(1)9，5 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查了三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积等知识，熟练掌握三棱柱，截一个几何体，几何体的侧面积是解题的关键 （1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据侧面积为3个相同的，长为，宽为的长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该三棱柱有9条棱，有5个面， 故答案为：9，5； （2）解：由题意知，用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，梯形，五边形， ∴①②③不符合要求；④⑤符合要求； 故答案为：④⑤； （3）解：由题意知，三棱柱的所有侧面的面积之和是， 故答案为：． 21．(1)见解析 (2)16 (3)5 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则． （1）根据从不同位置看简单组合体画出主视图、俯视图即可； （2）三种视图的面积和再加上被挡住的面积； （3）通过左视图和俯视图，在俯视图上标注增加的个数即可． 【详解】（1）解：这个组合体的主视图、俯视图如下： （2）解：主视图的面积为，右视图的面积为，俯视图的面积为， 被挡住的面积为， 因此涂漆部分的面积为， 故答案为：16； （3）解：这个组合体的左视图、俯视图如下： 在俯视图上标注出相应位置增添小立方体的情况， 因此有①第1处增添1块，②第1处增添2块，③第2处增添1块，④第1处增添1块，第2处增添1块，⑤第1处增添2块，第2处增添1块，所以共有5种添加方式， 故答案为：5． 22．（1）12；8（2）2；（3）16或80 【分析】（1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和相等，列式计算即可； （2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案； （3）由点M所在的棱为两个面共用，可以判断得到点M的位置，根据三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵正方体相对面上的两个数字之和相等 ∴， ∴， 故答案为：12；8 （2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“2” （3）因为点M所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下图： 设点M左边的顶点为点D，则 第二种情况如下图： 综上所述，的面积为：16或80 【点拨】本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的关键． 23．(1)C (2)卫 (3)①5；② 【分析】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 故答案为：C； （2）根据题意可得，与“保”字相对的字是卫， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为， 故答案为5； ②． 答：纸盒的容积为． 24．(1)6，6，30 (2) (3)20 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：20； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点拨】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$