专题06 一元二次方程48道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题06 一元二次方程48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 配方法的应用压轴题 题型二 根的判别式压轴题 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题 题型四 换元法解一元二次方程压轴题 题型五 一元二次方程根与系数的关系压轴题 题型六 营销问题压轴题 题型七 与图形有关的问题压轴题 题型八 动态几何压轴题 【经典例题一 配方法的应用压轴题】 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 2．（22-23九年级上·四川内江·期中）若a，b，c满足，则 ； 3．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 5．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【经典例题二 根的判别式压轴题】 1．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 2．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是 ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 4．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 6．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【经典例题三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题】 1．（2024·四川德阳·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 3．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 6．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【经典例题四 换元法解一元二次方程压轴题】 1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2). 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 6．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【经典例题五 一元二次方程根与系数的关系压轴题】 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 2．（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【经典例题六 营销问题压轴题】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 2．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 3．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 4．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 5．（23-24八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【经典例题七 与图形有关的问题压轴题】 1．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 4．（2024·贵州遵义·一模）小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 5．（23-24九年级上·福建三明·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    6．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    【经典例题八 动态几何压轴题】 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？    3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 5．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 配方法的应用压轴题 题型二 根的判别式压轴题 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题 题型四 换元法解一元二次方程压轴题 题型五 一元二次方程根与系数的关系压轴题 题型六 营销问题压轴题 题型七 与图形有关的问题压轴题 题型八 动态几何压轴题 【经典例题一 配方法的应用压轴题】 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 2．（22-23九年级上·四川内江·期中）若a，b，c满足，则 ； 【答案】 【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式，是解题的关键． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．移项后配方，再开方，求出，再求，最后进行检验即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 或， ， 舍去， 即， 方程两边平方得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）利用配方法，将原式变形为，即可解答； （2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答． 【详解】解：（1） ， ，， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； （2） 理由：由题意，得，， ， ，即， . 5．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： (1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值． (2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由． 【答案】(1)当时，代数式存在最小值为 (2)当时，存在最大值，最大值为 【分析】（1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可； （2）设长方形的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴当时，代数式存在最小值为； （2）设长方形的面积为S， 根据题意得：， 而， ∴当时，S存在最大值9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 【经典例题二 根的判别式压轴题】 1．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 2．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是 ． 【答案】没有实数根 【分析】依题意可知，是方程的一个根，代入可求出的值，再根据根的判别式得到原方程的根的情况． 【详解】解：依题意可知，是方程的一个根， ， ， 原方程为， ， 故原方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)有两个实数根，理由见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． （1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可； （2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根． 【详解】（1）解：当时，原方程为，即为， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，，， ∴， ∴原方程有两个实数根． 4．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】（1）证明：∵， ， 无论取何值，， 则， ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程可得， 解得：， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为． 6．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 【经典例题三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题】 1．（2024·四川德阳·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，且． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．解答此题的关键是得出关于k的不等式； （1）方程有实数根，是关于x的一元一次方程和元二次方程两种情况，需分类讨论；当为一元二次方程时，根据判别式的意义得到，建立关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）方程无实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，，，求得k的值； （3）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，，求得k的值； （4）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零． 【详解】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 3．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 5．（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 6．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 【经典例题四 换元法解一元二次方程压轴题】 1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）若实数，满足，求的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， ， 或， 或， ， ，即， 故答案为：3 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解题的关键. （1）先用直接开平方法整体求出，进而求得方程的解； （2）设，则有，然后用因式分解法求得y，进而完成解答. 【详解】（1）解：， ， 所以. （2）解：设，则有， ， ∴， ∵， ∴. 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 5．（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B； （2）解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 6．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 【经典例题五 一元二次方程根与系数的关系压轴题】 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】由，是方程的两个实数根，可得， ，则可得，然后整体代入中求值即可． 本题考查了一元二次方程的根的意义及根与系数的关系．熟练掌握以上知识且利用整体代入法求解是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ， ． 故答案为：2023． 3．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【答案】(1)当时，方程有实数根 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【详解】（1）解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 当时，方程有实数根． （2）解：方程的两个实数根为、， ， ， 、均为正数， ，即， 解得： ． 4．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再把化为，再代入计算即可； （2）由方程的解的含义可得，再根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，， ∴ ∴， ； （2）解：把代入； ∴， 解得：； ∴方程为：， ∵， ∴； 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 6．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题六 营销问题压轴题】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 2．（2024·山东潍坊·三模）在过去的年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应定为元，按每件元销售，每天可卖出件，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件列出等式解答即可． 【详解】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为元． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①30元或80元②八折 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元 【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无解，故不能达到要求． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得： ． 解得：． 答：每千克茶叶应降价30元或80元． ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：元，． 答：该店应按原售价的八折出售． （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得： , 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， 即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 4．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】(1)10%， (2)4元． 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 5．（23-24八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. (3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32 【分析】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案； （3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解． 【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元 由题意得， 解得， ∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得 解得：a=2，a=-4（舍去） ∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x元 由题意得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 x=32或33． 当x=33时，a不是整数， ∴N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解． 【经典例题七 与图形有关的问题压轴题】 1．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】作交于，由勾股定理可得，由等边三角形的性质结合勾股定理可得，，，设，则，，根据，，列出一元二次方程，解方程即可得到的值，再由三角形三边关系判断是否符合题意． 【详解】解：如图，作交于， ， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ， 设，则，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，的长度等于， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的性质、一元二次方程的应用、三角形三边关系，根据面积关系得出一元二次方程是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，构造一元二次方程求解． （1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解； （2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解； （3）作于点，在和中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 4．（2024·贵州遵义·一模）小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作出点C关于直线AD的对称点E，再连接对应线段即可作图，根据轴对称性质可知对应角相等； （2）根据等边对等角证明，结合（1）的结论得出，再由勾股定理即可得出，，根据对称性质得，由此得出结论； （3）同理可得，进而可得，在利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由轴对称性质可知：，，， 故答案为：，， （2）结论：，， ∵点C关于直线AD的对称点是点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）由对称的性质可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别过点C、B作、垂足分别为、， ∴在中，， ∴，， ∴， ∴在中， ， 设， 在中，， ∴，， ∴在中，，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 5．（23-24九年级上·福建三明·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2)，图形见详解； (3)，． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        6．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    【答案】(1)，， (2)； (3)AP的长为4m 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得和，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以或或， ，，； （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 【经典例题八 动态几何压轴题】 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 2．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？    【答案】1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 【详解】解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，，，，点从开始沿边向以每秒的速度移动，点从开始沿边向以每秒的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为秒． (1)求证：当时，四边形是平行四边形； (2)是否可能平分对角线？若能，求出当为何值时平分；若不能，请说明理由； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当秒时，平分对角线 (3)若是以为腰的等腰三角形，的值为 【分析】（1）由题意可得当秒时，两点停止运动，在运动过程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四边形是平行四边形； （2）首先连接交于点，若平分对角线，则，易证得，继而可得四边形为平行四边形，则可得，解此方程即可求得答案． （3）分两种情况：①当时，作于，于，与，如图所示：则，，，得出，，由得出方程，解方程即可； ②当时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 当秒时，两点停止运动，在运动过程中，， ，， 当时，，， 又四边形为等腰梯形， ， 四边形为平行四边形； （2）解：能平分对角线，当秒时，平分对角线． 理由如下： 连接交于点，如图1所示： 若平分对角线，则， ， ，， 在和中， ， ， ， 即四边形为平行四边形， ， 解得，符合题意， 当秒时，平分对角线． （3）解：分两种情况： ①当时，作于，于，与，如图2所示： 则，，， ，， ， ， ， 解得：； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，方程无解； 综上所述：若是以为腰的等腰三角形，的值为． 【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 5．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)t的值为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）中，，， ∴， （2），， 与的面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； （3），， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 6．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$