专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式 2．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 6．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值：，其中m是方程的根． 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 8．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 9．（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 10．（2024·广东深圳·三模）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24七年级下·广东中山·期中）解方程∶ 12．（23-24八年级下·上海松江·期中）解关于的方程： 13．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解关于x的方程：． 14．（23-24七年级下·广东·期末）用适当的方法解下列方程（组）： (1) (2) 15．（2024·青海果洛·二模）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 17．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 18．（23-24七年级下·山东临沂·期中）计算和求值： (1) (2) 19．（24-25八年级上·上海·假期作业）解方程： (1) (2) (3) (4) 20．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）（1）计算： ① ② ③ （2）解方程： 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 22．（2024·江苏盐城·三模）解方程： 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 24．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）（1）计算：； （2）解方程： ． 25．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 26．（2024·辽宁大连·一模）（1）计算： （2）解方程：． 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）（1）计算： （2）解方程：； 28．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 29．（2024·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）解方程： 30．（2024·辽宁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：． 32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 33．（23-24八年级下·广西梧州·期末）用公式法解方程：． 34．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 35．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：． 36．（23-24八年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 37．（23-24八年级下·北京延庆·期末）解方程： (1)； (2)． 38．（23-24八年级下·山东德州·期末）（1）计算： ；    （2）解方程：. 39．（23-24八年级下·山东临沂·期末）（1）． （2）解方程：． 40．（2024·甘肃武威·二模）（1）计算： （2）解方程： 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 42．（23-24八年级下·云南昆明·期末）解关于的方程：． 43．（23-24九年级上·重庆·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 44．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列一元二次方程 (1) (2) 45．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)． (2) 46．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 47．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）解方程： (1)； (2)． 48．（23-24八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 49．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 50．（23-24九年级上·新疆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据是方程的一个根得出，将化简为，最后将整体代入进行计算即可，根据题意得出是解此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 2．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，根据分式的性质，乘法公式，将代数式化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴ ∴原式． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式，利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 6．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值：，其中m是方程的根． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，完全平方公式；由平方差公式，完全平方公式进行化简，再把结果变形为，由一元二次方程的解的定义可得，再整体代入求值即可； 【详解】解： ， m是方程的根， ， 原式； 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 8．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，可以求得的值，再根据，可以求出答案. 【详解】解：把代入方程，得：， 又 所以，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.也考查了因式分解. 9．（2024·广东·三模）（1）解不等式组：； （2）若（1）中不等式组的整数解是关于x的一元二次方程的一个解，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定其整数解即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． （2）根据方程的解的定义，代入解答即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，方程的解，解方程，熟练进行不等式组，解方程求解是解题的关键． 【详解】解：（1）令， 解不等式①，得，解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为； （2）由（1）知不等式组的整数解为， 将代入中，得， 解得． 10．（2024·广东深圳·三模）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解； （1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24七年级下·广东中山·期中）解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 12．（23-24八年级下·上海松江·期中）解关于的方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·上海闵行·期中）解关于x的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，最后开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得； 14．（23-24七年级下·广东·期末）用适当的方法解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查的知识点是 一元二次方程的解法及二元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握 一元二次方程的解法及二元一次方程的解法． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）联立两式先求出的值，将其代入式子中即可求得的值，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， 得， ， ， 将代入①可得，， 即， 故． 15．（2024·青海果洛·二模）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程； （1）先求出每个不等式的解集，后根据口诀确定不等式组的解集； （2）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①得，得， 解不等式②得，得， 不等式组的解集为． （2）解： ，． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 17．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 18．（23-24七年级下·山东临沂·期中）计算和求值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据绝对值的性质，二次根式性质，二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用直接开平方法即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 或 或 19．（24-25八年级上·上海·假期作业）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程． （1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）， ， 或， ∴； （3）， ， 或， 或， 即：； （4）， ， ， ， 即． 20．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）（1）计算： ① ② ③ （2）解方程： 【答案】（1）① ②7 ③24 （2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算及解一元二次方程，涉及算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，解题关键是掌握相关的运算法则． （1）①先计算算术平方根，再将分数化为小数，然后进行加减计算即可； ②先进行算术平方根，立方根的计算，再进行加减计算即可； ③先化简绝对值，计算平方，算术平方根，然后进行加减计算即可； （2）先移项，然后用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：（1）① ， ② ， ③ ； （2） 移项，得 开平方，得     解得，． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．利用配方法即可求解． 【详解】解： 配方得： 即 或， ，． 22．（2024·江苏盐城·三模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：配方得，即， 开方得， ， ∴，． 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：（配方法解）． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先变形为，然后利用配方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ， 解得，． 24．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）（1）计算：； （2）解方程： ． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程， （1）根据二次根式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可得； （2）利用配方法进行计算即可得； 掌握二次根式的混合运算，解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ， （2） ， ，． 25．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解本题的关键． （1）原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ． 所以， 解得：，． 26．（2024·辽宁大连·一模）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式运算，解一元二次方程知识点．熟练掌握二次根式运算法则和开方知识解方程是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则进行运算； （2）通过移项，合并同类项，运用开方知识解方程． 【详解】解： （１）原式 （2） 移项： 合并同类项： 配方： 开平方：或 解得：， 27．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）（1）计算： （2）解方程：； 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与一元二次方程的解法，熟知二次根式的化简和四则混合运算法则及解一元二次方程的配方法是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）先移项，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 28．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 29．（2024·山西吕梁·一模）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，负整数指数幂，有理数的混合计算： （1）先计算负整数指数幂，再根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）先去括号，然后移项，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 30．（2024·辽宁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 本题考查实数的运算及解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 移项得：， 配方得：， 即， 则， 解得：，． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：， ， ， 方程有两个不等的实数根， 即． 32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 33．（23-24八年级下·广西梧州·期末）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 用公式法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ，． 34．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法即可求解。 【详解】解： ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 35．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 36．（23-24八年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 37．（23-24八年级下·北京延庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）. 解：. . . . ∴原方程的解为，． （2） 解：，，． ． ∴． ∴原方程的解为，． 38．（23-24八年级下·山东德州·期末）（1）计算： ；    （2）解方程：. 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握二次根式的混合运算步骤和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用二次根式混合运算方法和步骤计算即可； （2）利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，，， ∴， ∴，， 即，． 39．（23-24八年级下·山东临沂·期末）（1）． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∴， ∴方程的解为，． 40．（2024·甘肃武威·二模）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） ；（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ∵， ∴ ∴ ∴， 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或 ∴ 42．（23-24八年级下·云南昆明·期末）解关于的方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将方程化简，再根据方程的特点利用因式分解法求解即可． 【详解】解：将方程左边展开，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 分解因式，得：， ，． 43．（23-24九年级上·重庆·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）用因式分解法解方程； （2）用公式法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ∵，，， ， ∴， 即，． 44．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴； （2）解：， 或， ∴． 45．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式形式的式子，分解因式为的方法．其中、、、是常数，且，，．通过寻找合适的数对来实现因式分解． （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：因式分解，得， 则有或， 解得，． （2）解： 则， 或， 解得：，． 46．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查实数的运算，一元二次方程的解法． （1）先算算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可； （2）用因式分解方法解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） ． 47．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的方法； （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 48．（23-24八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）移项，提取公因式，根据解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 49．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算． （1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 或， 所以，． 50．（23-24九年级上·新疆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据因式分解法即可求出答案． （2）根据因式分解法即可求出答案． （3）根据因式分解法即可求出答案． （4）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 或， ， （2）解： ， ， 或， ， （3）解： ， ， 或， ， （4）解： ， 或， ， 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法， （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，（不合题意，舍去）， 则，． （2）设，则 ， ， 当时，，，， 当时，，无解． 故方程的解为，． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】(1)详见解析 (2)0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，， ． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案． 【详解】解：当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 综上所述，方程的解为：． 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 【答案】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：（舍），， 当时，， 解得：，不符合题意， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程的两根，即可得出结果； （2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线上，然后当于点M时，取得最小值． 【详解】（1）解： 解得，， ∴； （2）解： 解得：， ∵， ∴点M在直线l：上， ∴当于点M时，取得最小值． 如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点M、于点H，则，    ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$