专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 1．（2024·山东菏泽·一模）一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2024·四川泸州·模拟预测）设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（23-24九年级上·四川乐山·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 1．（2024·山东日照·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 2．（2024·山东聊城·模拟预测）设、是方程的两实数根，则 ． 3．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使该方程的两个实数根、满足，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·四川眉山·期中）已知实数a、b满足，且，则的值（     ） A．0 B． C．4 D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数，定义运算“※”：，例如：，若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ． 3．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 2、（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于方程的两个根说法正确的是（    ） A．有2个负数根 B．1个根为正数1个根为负数且正数绝对值较大 C．有2个正数根 D．1个根为正数1个根为负数且负数绝对值较大 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（    ） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，则代数式的值是 ． 7．（22-23九年级上·江苏·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 9．（2023九年级·全国·专题练习）对于两个非零的实数a，b，定义运算※如下：a※b=．例如：3※4=．若2※（2x–1）=1，则x的值为 ． 10．（2023·四川南充·一模）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中正确的是 （填写序号）． ①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根； ②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同； ③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1； ④如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根． 11．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 12．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】 【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是． （2）当时，则一元二次方程必有一根是． 请判断两个结论的真假，并说明原因． 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 1．（2024·山东菏泽·一模）一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；利用一元二次方程根与系数的关系求得，，再对代数式分解因式，整体代入即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是、， ，， ， 故选：C． 2．（2024·四川泸州·模拟预测）设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系； 首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答． 【详解】方程的两个实数根， ，，， 解得：， ， ， ， 解得：，， ， ． 故答案为：1． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（23-24九年级上·四川乐山·期中）实数分别满足方程和，且，求代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，进而可得是方程的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解． 【详解】解：由可得， ∴是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数关系，用表示两根之和与两根之积，结合已知条件求出关于的一元二次方程，根据公式法即可求出的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式（，）． 3．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程． (1)当k是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值． 【答案】(1)当时，方程有实数根 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合找出关于k的一元一次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出、，结合k的取值范围可得出、均为正数，根据可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【详解】（1）解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 当时，方程有实数根． （2）解：方程的两个实数根为、， ， ， 、均为正数， ，即， 解得： ． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（    ） A．，4 B．，1 C．，4 D．，1 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为． 【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等， ∴， 解得， ∴正根为1， ∵的另一个根为4， ∴， ∴， ∵方程有一个正根为1，设另一个根为m， ∴则， ∴， ∴另一个根为， ∴的两个根分别为1，， 故选：D． 1．（2024·山东日照·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 2．（2024·山东聊城·模拟预测）设、是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系，由、是方程的两实数根，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵、是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使该方程的两个实数根、满足，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)存在实数，使该方程的两个实数根、满足 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，由根与系数的关系列出关于的方程是一种经常使用的解题方法． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴， 解得：且； （2）存在实数，使该方程的两个实数根、满足，理由如下： 若、是的两个实数根，则，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴时，有两个实数根， ∴存在实数，使该方程的两个实数根、满足． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）若a，b满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程  的两边都除以得，进而得出a，为方程的两个实数根，最后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】由题意可知，将方程 的两边都除以得， ∵，， ∴，为方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，将方程 变形，进而得出a，为方程的两个实数根是解题的关键． 1．（22-23九年级上·四川眉山·期中）已知实数a、b满足，且，则的值（     ） A．0 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程的两个不相等实数根，再由根与系数的关系可得，再将进行变形，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴a、b是一元二次方程的两个不相等实数根， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的解、根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 2．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，最后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴原式． 故答案为3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值： （1）先利用因式分解法解方程得到，再由即可得到方程是“2倍根方程”； （2）设方程的两根为，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，进而求出，则； （3）解方程得到，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴方程是“2倍根方程”， 故答案为：是； （2）解：设方程的两根为， ∵一元二次方程是“2倍根方程”， ∴不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵是“2倍根方程”， ∴或， ∴或， ∴或． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵x的方程的两根分别为，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值． 【详解】方程有两个实数根，， ， 解得：； 原方程的两个实数根为、， ，， ， ， ， ， ，且， 整理得，， ∵， ∴， ∵， ∴解得：． 故答案为：，． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解不等式、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关性质及解法是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系，列出不等式求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，从而由题中条件列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 综上所述，的取值范围为且； （2）解：若是方程的根，则， ， ， 整理得：， 解得， ∵且， ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）对于实数，定义运算“※”：，例如：，若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ． 【答案】15 【分析】根据题目中的定义以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】由题意可知：△>0， ∴x1+x2=5,x1x2=3 ∴原式= x1x2 (x1+x2)=3×5=15 故答案为15. 【点睛】此题考查实数的运算，根与系数的关系，解题关键在于掌握其运算公式. 3．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于方程的两个根说法正确的是（    ） A．有2个负数根 B．1个根为正数1个根为负数且正数绝对值较大 C．有2个正数根 D．1个根为正数1个根为负数且负数绝对值较大 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴，， ∵ ∴两根异号， ∵， ∴负数的绝对值更大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为（    ） A．2021 B．2032 C．2022 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可知： ， 又 ，利用它们可以化简   ，然后就可以求出所求的代数式的值． 【详解】由题意可知： 是 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： ， 又， 则 ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握、是的两根，则是解题的关键． 先根据题意得到一元二次方程的解为，再根据根与系数关系得到，从而可对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程（）满足，且有两个相等的实数根， ∴一元二次方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故A、B、C正确，不符合题意； ∵，故D错误，符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及分类讨论思想．分和两种情况讨论，当时，把a、b看成即的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】当时，； 当时，把a、b看成即的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2或． 7．（22-23九年级上·江苏·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】利用是方程的一个实数根，代入可得，整理得，，再利用根与系数的关系即可求出代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 整理得，， 再把代入， ， ，是方程的一个实数根， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系以及把根代入方程，利用降次方法解答． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】23 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，完全平方公式的运用，根据题意可得，，将代数式转化为，代入求值即可. 【详解】解：是方程的两个实数根， ， 即， ， 故答案为：23. 9．（2023九年级·全国·专题练习）对于两个非零的实数a，b，定义运算※如下：a※b=．例如：3※4=．若2※（2x–1）=1，则x的值为 ． 【答案】 【详解】已知等式利用题中的新定义化简得：=1，去分母得：2–（2x–1）=2（2x–1），去括号得：2–2x+1=4x–2，移项合并得：6x=5，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故答案为． 10．（2023·四川南充·一模）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中正确的是 （填写序号）． ①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根； ②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同； ③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1； ④如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根． 【答案】①②④ 【详解】试题解析：①在方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2-4ac， ∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确； ②∵和符号相同，和符号也相同， ∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确； ③、M-N得：（a-c）x2+c-a=0，即（a-c）x2=a-c， ∵a≠c， ∴x2=1，解得：x=±1，错误； ④∵5是方程M的一个根， ∴25a+5b+c=0， ∴a+b+c=0， ∴是方程N的一个根，正确． 故正确的是①②④． 11．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设是的两实数根，求下列代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键． （1）将代数式 变形为，再代入数据即可得出结论； （2）将代数式变形为，再代入数据即可得出结论． 【详解】（1）∵是 的两实数根， ， ∴ ； （2） ． 12．（2023·江西新余·一模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程______（填“是”或“否”）“三倍根方程”； (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求c； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)否 (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值； （3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1） 解：解方程得，， 所以不是“三倍根方程”； （2） 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 解得， ∴； （3） 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 即，， ∴． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读：设一元二次方程(a≠0)的两根分别为x1、x2，当时，有，．理解并解答下列问题： 问题（1）：定义新运算：a※b＝a(1－b)，若a，b是方程(c<1)的两根，求b※b－a※a的值． 问题（2）：已知关于x的方程(m≠0)的两根为α，β． ①用m的代数式来表示； ②当S＝5时，求m的值． 【答案】（1）0；（2）①；② 【分析】（1）先根据a※b＝a(1－b)，将b※b－a※a化简，然后根据根与系数的关系求出a+b的值，代入化简的结果即可； （2）①根据根与系数的关系求出，，把的右边通分，根据完全平方公式变形后代入计算； ②把S＝5代入①中化简的结果求解即可． 【详解】（1）由b※b＝b(1－b)，a※a＝a(1－a) ， 得b※b－a※a， 又， ∴b※b－a※a； （2）①∵，， ∴， ， ②当S＝5时，， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是的解． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， ． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】 【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是． （2）当时，则一元二次方程必有一根是． 请判断两个结论的真假，并说明原因． 【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值． 【答案】（1）结论正确，理由见解析；（2）结论正确，理由见解析；实践探究： 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）将代入，即可判断； （2）将代入，即可判断； 实践探究：由可推出是方程的根，设方程的另外一个根是，根据根与系数的关系可得：，进而得到；将代入可推出是方程的一个根，设方程的另外一个根为，根据根与系数的关系可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）结论正确，理由如下： 令代入得，符合题意； （2）结论正确，理由如下： 令代入得：，即，符合题意； 实践探究： ∵ ， 是方程的根． 设方程的另外一个根是，则， ； 又， 是方程的一个根， 设方程的另外一个根为， 则， ， ． 15．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 学科网（北京）股份有限公司 $$