专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 3．（22-23九年级上·广西柳州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·河南周口·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 2．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则常数项为： ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一元二次方程的常数项为，则二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， B．，2 C．3，2 D．， 3．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 5．（22-23八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）一元二次方程的化为一般形式是 ． 7．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ． 10．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 11．（23-24九年级上·新疆塔城·阶段练习）已知方程是一元二次方程，求的值． 12．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 13．（2023八年级下·浙江·专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 14．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 15．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【详解】解：A.满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B.含有2个未知数，故本选项不符合题意； C.含有一个未知数，但含未知数的项的最高次数为3，故本选项不符合题意； D.是分式方程，故本选项不符合题意. 故选：A. 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 3．（22-23九年级上·广西柳州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】m的值为． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由①得，， 由②得，， 所以，m的值为． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】依据一元二次方程的定义即形如求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数，常数项即可． 【详解】解：化成一元二次方程的一般形式为：， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 1．（22-23九年级上·河南周口·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 【答案】B 【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、 一次项系数和常数项． 【详解】解：将左边展开得： ， 移项、合并同类项得：， ∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 2．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则常数项为： ． 【答案】5 【分析】移项并整理，然后根据一次项系数列方程求出a的值，再求解即可． 【详解】解： 整理得：， ∵一次项系数为4， ∴，解得：， ∴常数项：， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确得出a的值是解题关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】见解析 【分析】将方程化为一般形式，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，由此可解． 【详解】解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2 0 3 【点睛】本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】 （23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将各选项的的值代入方程，可得到关于、b的二元二次方程．若此二元二次方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解． 【详解】①把代入方程，得 ，即， 方程无解， ∴不是方程的解． ①符合题意． ②把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ②不符合题意． ③把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ③不符合题意． ④把代入方程，得 即 此方程无解． 所以，一定不是方程的解． ④符合题意． 故①④一定不是方程的实数解， 故选：A． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设是方程的一个根，则，所以． 由题意，也是方程的根，所以， 把代入此式，得，整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（其中为常数）， 所以，． 因此，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，可以求得的值，再根据，可以求出答案. 【详解】解：把代入方程，得：， 又 所以，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.也考查了因式分解. 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 1．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意； B、，当，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、，化简后得，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一元二次方程的常数项为，则二次项系数和一次项系数分别为（    ） A．3， B．，2 C．3，2 D．， 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式可得：， ∴二次项系数、一次项系数分别为：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 3．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义． 根据题意得到，，代入即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 5．（22-23八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1 =x2+2x+1-3x-1 =x2-x =x+1-x =1， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及整体代入思想，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）一元二次方程的化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】把方程化为的形式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是正确理解（，，是常数且）特别要注意的条件，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 7．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可． 【详解】 解：关于x的方程，当时，此方程为一元二次方程． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ． 【答案】2018 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案． 进行求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 10．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 11．（23-24九年级上·新疆塔城·阶段练习）已知方程是一元二次方程，求的值． 【答案】4 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得 解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0， 当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m的值为4． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 13．（2023八年级下·浙江·专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5 (2)，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为 (3)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5； （2）方程整理得：， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为； （3）方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 14．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 15．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$