4.2指数函数（4知识点+11题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

4.2指数函数 明确学习目标 课标要求 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 3.掌握指数函数的图象和性质． 4.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． 5.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式、定义域和值域问题. 重点难点 1.掌握指数函数的图象和性质． 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． 3.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式． 4.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式、定义域和值域问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 指数函数的概念 1.指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的结构特征 (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 3.指数函数的判断方法 (1)底数的值a>0，且a≠1.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 【注意点】 (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2.常见指数函数的图像 函数，，和，，的图象如图所示． (1)当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． (2)在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点 3 指数函数的图象变换 已知指数函数（且） 1.平移变换 ； ； ； ． 规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）． 2.对称变换 ； ； ． 3.翻折变换 ； ． 知识点4 指数函数单调性的应用 1.利用单调性比较大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 2.简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． (3)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (4)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解三、定区间上的值域问题 3.定区间上的值域问题 (1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0<a<1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可． (2)特别地，如果是求最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是单调递减，最值总在端点处取到． 2提升学科能力 题型一 指数函数的判断 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 3．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 题型二 根据概念求参数 例2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 跟踪训练2 1．若函数是指数函数，则（    ） A． B． C．或 D．且 2．函数是指数函数，则的值为 ． 3．若函数(，且)是指数函数，则 ， . 题型三 求指数函数解析式 例3．若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （ ） A． B． C． D．9 2．已知指数函数的图像过点，则 . 3．若函数是指数函数且，则 ． 题型四 指数函数的图像 例4．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C． D． 跟踪训练4 1．已知且，与的图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   2．函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．函数（，且）的图象可能是（    ）. A．B．C．   D． 题型五 指数函数图像过定点问题 例5．函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．函数（且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是（    ） A． B． C． D． 3．函数且所过的定点坐标为 ． 题型六 比较大小 例6．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 题型七 指数型不等式的求解 例7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 3．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 题型八 指数型函数的单调性 例8．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．如果指数函数是上的减函数，则函数的单调递增区间为 ． 3．求函数的单调区间 . 题型九 已知单调性求参数 例9．设函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（1，3） D．（2，3） 2．若函数在实数集上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 3．已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 题型十 指数型函数的值域 例10．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练10 1．函数的值域是（    ） A．R B． C． D． 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．的值域为 D．在上为增函数 3．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为 . 题型十一 指数型函数的奇偶性 例11．函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 跟踪训练11 1．已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 2．若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 3．已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 3质量检测评价 一、单选题 1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 3．函数的图象如图所示，则的图象是（    ） A．B．C． D． 4．下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数的图象过定点，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 7．以下关于数的大小的结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 9．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 三、填空题 10．函数的最大值为 ． 11．定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 12．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 四、解答题 13．（1）已知且，解关于x的不等式：； （2）若，试求实数m的取值范围． 14．已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 15．已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2指数函数 明确学习目标 课标要求 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 3.掌握指数函数的图象和性质． 4.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． 5.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式、定义域和值域问题. 重点难点 1.掌握指数函数的图象和性质． 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题． 3.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式． 4.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式、定义域和值域问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 指数函数的概念 1.指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R. 2.指数函数的结构特征 (1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 3.指数函数的判断方法 (1)底数的值a>0，且a≠1.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 知识点2 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 【注意点】 (1)函数图象只出现在x轴上方． (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)． (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴． (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 2.常见指数函数的图像 函数，，和，，的图象如图所示． (1)当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． (2)在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 知识点 3 指数函数的图象变换 已知指数函数（且） 1.平移变换 ； ； ； ． 规律总结：上加下减（针对函数值），左加右减（针对自变量）． 2.对称变换 ； ； ． 3.翻折变换 ； ． 知识点4 指数函数单调性的应用 1.利用单调性比较大小 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 2.简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． (3)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (4)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解三、定区间上的值域问题 3.定区间上的值域问题 (1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0<a<1两种情况讨论，单调性确定后，根据单调性求最值即可． (2)特别地，如果是求最大值与最小值的和，则不需要讨论，因为无论单调递增还是单调递减，最值总在端点处取到． 2提升学科能力 题型一 指数函数的判断 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 跟踪训练1 1．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 2．下列函数中， 是指数函数． ①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥． 【答案】① 【分析】由题意利用指数函数的定义，得出结论 【详解】根据指数函数的定义形如：(其中为常数，且)，则①为指数函数， 中正负不确定，故其余的都不是指数函数. 故答案为：① 3．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【分析】根据幂函数、指数函数的定义判断可得答案. 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 题型二 根据概念求参数 例2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C 【解析】根据指数函数定义列不等式，解得结果. 【详解】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且. 故选：C 【点睛】本题考查指数函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 跟踪训练2 1．若函数是指数函数，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】由指数函数的定义，得，解得． 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题. 2．函数是指数函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为指数函数，则，解得. 故答案为：. 3．若函数(，且)是指数函数，则 ， . 【答案】 -1 2 【分析】根据指数函数定义求解． 【详解】根据指数函数的定义，得解得 故答案为：；2． 题型三 求指数函数解析式 例3．若函数是指数函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，由此可得结果. 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，. 故选：B. 跟踪训练3 1．函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)= （ ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】把点坐标代入解析式可得可得答案. 【详解】由，解得，所以． 故选：D. 2．已知指数函数的图像过点，则 . 【答案】 【分析】设指数函数，代入点的坐标待定，再代入解析式求值. 【详解】设，且， 由函数的图像过点， 则，又，解得， 所以， 则. 故答案为：. 3．若函数是指数函数且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数是指数函数，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，再利用条件即得. 【详解】因为函数f(x)是指数函数， 所以设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 则， ∴， ∴. 故答案为：. 题型四 指数函数的图像 例4．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 跟踪训练4 1．已知且，与的图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分类讨论判断出图像性质及图像性质即可得. 【详解】对，该函数过定点，且恒成立， 对，该函数过定点， 若，对，， 则在上单调递减， 又，故在上单调递增， 若，对，，则在上单调递增， 又，故在上单调递增， 故排除AB； 对，由且，故在定义域内单调递增， 故排除C. 故选：D. 2．函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，函数的单调性和判断. 【详解】当时，函数单调递增，当时，， 故选：A 3．函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 题型五 指数函数图像过定点问题 例5．函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质判断题设函数所过的定点坐标. 【详解】由题设，当，即时，， 所以函数过定点. 故选：B 跟踪训练5 1．函数（且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令指数为零，求出的值，代入函数解析式可得出函数图象所过定点的坐标. 【详解】对于函数，则，可得，则， 所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为. 故选：C. 2．已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令求得图象恒过点A的坐标,再验证选项中的函数是否过点A. 【详解】函数中,令,解得,, 所以的图象恒过点A(1,2)， 对于A,时,,则函数图象过点A; 对于B,时,,则函数图象过点A; 对于C,时,,则函数图象过点A; 对于D,时,, 则函数图象不过点A. 故选：ABC 3．函数且所过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，令即可求得定点. 【详解】令，即，则， 所过定点坐标为. 故答案为：. 题型六 比较大小 例6．的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质比较大小即可. 【详解】由在R上单调递减， 知， 而， 所以, 故选：B. 跟踪训练6 1．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数的运算性质判断 【详解】因为 所以 故选：B 2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的单调性比较 【详解】，，所以，而， 所以 故选：D 3．已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性，确定这三个数的范围，可比较大小. 【详解】，即； ，即； ，即. 所以有. 故选：B. 题型七 指数型不等式的求解 例7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每一个集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得或， 所以， 由，得，解得， 所以， 所以. 故选：C 跟踪训练7 1．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 2．已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性将原不等式化为，然后解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式，且， 所以，，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为： 3．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）令，则原不等式化为，求出的范围，从而可求出的范围； （2）分和两种情况利用指数函数的单调性求解. 【详解】（1）；令， 所以； 所以（舍）或，即， 所以，所以不等式的解集为． （2）当时，因为，且在R上严格递增， 所以， 即，解得或， 当时，因为， 且在R上严格递减， 所以， 即，解得， 综上：当时，； 当时，． 题型八 指数型函数的单调性 例8．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：B. 跟踪训练8 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意单调递增区间为，再由复合函数的单调性即可得到结果. 【详解】令，可得函数的对称轴为， 则单调递增区间为， 且在定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为. 故选：D 2．如果指数函数是上的减函数，则函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再由复合函数单调性求解即可. 【详解】∵指数函数是上的减函数， ∴，∴， 设（），， 则当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递增， ∴由复合函数的单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为：. 3．求函数的单调区间 . 【答案】增区间为，减区间为 【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可. 【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为. 故答案为：增区间为，减区间为 题型九 已知单调性求参数 例9．设函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与二次函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，列出不等式，即可求解. 【详解】设，可得， 因为函数在定义域上为单调递减函数， 要使得 在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 跟踪训练9 1．若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（1，3） D．（2，3） 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】要使函数在R上单调递增， 只需， 解得：. 故选：B 2．若函数在实数集上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为函数在实数集上是严格增函数， 所以，得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 3．已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，则，则由题意可得在区间上为减函数，为增函数，则，所以得对任意的恒成立，从而可得，进而可求出结果. 【详解】令，则， 由于且，内层函数在区间上为减函数， 所以外层函数为增函数，所以． 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为： 题型十 指数型函数的值域 例10．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的范围后，结合指数函数单调性可求得结果. 【详解】令，则， 在上单调递减，，又， 的值域为. 故选：B. 跟踪训练10 1．函数的值域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则可得,根据函数为单调减函数，结合，即可确定函数的值域，即得答案. 【详解】令，则,且该函数为单调减函数， 而， 所以，即函数的值域是， 故选：. 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．在上为减函数 C．的值域为 D．在上为增函数 【答案】C 【分析】由函数定义域求函数值域即可得A，C选项，根据复合函数增减性质可以判断BD. 【详解】，， 由函数在上单调递增，所以，又，所以的值域为， 故C正确，A错误， 令，由在单调递增，函数在上单调递增， 所以在单调递增，由在单调递减，函数在上单调递增， 所以在单调递减，故B，D错误， 故选：C. 3．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求得幂函数的解析式，再利用指数函数的单调性和换元法即可求得函数的值域. 【详解】设幂函数，则，解之得， 则，则 令，则，令 在单调递减，在单调递增， 则， 则，则. 则函数的值域为. 故答案为： 题型十一 指数型函数的奇偶性 例11．函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，分别判断函数奇偶性以及单调性，即可得到结果. 【详解】令，任取， 则， 因为是上的严格增函数，所以， 则，所以， 则函数是上的严格增函数； 又，即函数为奇函数， 所以函数在定义域上是严格增的奇函数. 故选：A 跟踪训练11 1．已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】的定义域为，是奇函数， 所以， 即， 两边乘以得， 两边乘以得 ， 不恒为，则恒为， 由得恒成立，所以， 由于且，所以. 故选：C 2．若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可. 【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数， 所以， 故， 由，为奇函数，满足题设. 所以. 故选：D 3．已知函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的图象过定点 C．函数在其定义域上有解 D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数 【答案】ACD 【分析】对选项A，利用奇函数的定义即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，令求解即可判断C正确，对选项D，根据指数函数单调性即可判断D正确. 【详解】函数， 对选项A，，定义域为R，， 所以函数是奇函数，故A正确. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，定义域为R，令，解得， 故C正确. 对选项D，当时，，所以和在R上为增函数， 所以函数在R上为单调递增函数，故D正确. 故选：ACD 3质量检测评价 一、单选题 1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 依据指数函数的概念来判断. 【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数； 对于②，函数的底数，故不是指数函数； 对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数； 对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数. 故选：A. 2．函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值 【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 故选：C 3．函数的图象如图所示，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得、两个数一个小于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】解：令，解得、，根据二次函数图象可知，、两个数一个小于，一个大于且小于， ①当，时，则不成立； ②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图象为A. 故选：A 4．下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算法则，结合函数解析式直接判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 5．已知函数的图象过定点，则函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数过定点可得，从而得，可判断二次函数在区间上的单调性，从而可得最值，即得函数的值域. 【详解】函数的图象过定点，所以， 则函数在区间上递增，在区间上递减 所以，又，故， 所以函数在区间上的值域为. 故选：B. 6．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】由得：， 令，则当时，，， ，解得：，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 7．以下关于数的大小的结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用指数函数的单调性及指数幂的运算性质求解. 【详解】∵单调递增，，∴，A正确； ∵单调递减，，∴，B正确； ∵，，∴，C错误； ， ，D错误. 故选：AB. 8．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围． 【详解】由函数是上的增函数， 所以 所以， 故选：CD． 9．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D. 【详解】令，则， 对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确； 对于选项B：因为，的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减， 所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 11．定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得. 【详解】因为函数为奇函数，所以，解得. 设，则，所以， 又为奇函数，所以， 即当时，. 故答案为： 12．已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】，指数函数满足，又当时，，可得，写出一个函数表达式即可. 【详解】由，知且满足该条件； 又当时，，可得，故可以为. 故答案为： 四、解答题 13．（1）已知且，解关于x的不等式：； （2）若，试求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）就幂的底数分两种情况，根据指数函数的单调性即可求得； （2）利用幂函数的单调性将其化简，即可求得参数范围. 【详解】（1）当时，因是增函数，由可得，，解得； 当时，因是减函数，由可得，，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）因函数在上是严格增函数， 故由可得，，解得， 即实数m的取值范围为． 14．已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 【答案】(1)偶函数 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）定义法证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）由的解析式可知，，由的奇偶性和单调性可知，函数在上的值域为，令，可得，利用二次函数的性质求值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3）由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 15．已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；是上的单调递增函数，理由见解析； (2), 【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数经过点， 所以，解得，即， ， 则是上的单调递增函数，理由如下： 任取、，且，则， 则， 所以，即， 所以是定义域上的单调递增函数． （2）因为， 故是奇函数且在上单调递增， 则不等式等价于， 所以，即， 即存在,不等式有解， 即在,上有解， 由,，可得， 由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增， 且，故在的最大值为， 所以，即 所以， 即实数的取值范围是,． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$