数轴上动态问题（一）讲义2023-2024学年北师大版数学七年级上册

数轴上动态问题（一） 【知识整理】 （1）数轴上点的移动规律：左减右加 一个点在数轴上表示的数为，向左运动个单位长度后表示的数为 一个点在数轴上表示的数为，向右运动个单位长度后表示的数为 （2）数轴上数和数两点间的距离： （3）数轴上数和数的中点表示的数： （4）表示动点的三要素：①初始位置；②运动方向；③运动速度 【例1】 如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=12． （1）写出数轴上点A，B表示的数： ， ； （2）动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒. ①求数轴上点P，Q表示的数（用含的式子表示）； ②为何值时，点P，Q相遇，并计算相遇的位置所表示的数； ③为何值时，点P，Q相距6个单位长度； ④为何值时，点P，Q到原点O距离相等； ⑤为何值时，点P到A的距离为点Q到点B距离的3倍； ⑥为何值时，原点O、与P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点. 【例2】 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点16个单位长度，点B在原点的右边. （1）求A，B两点所表示的数. （2）若数轴上点A以每秒6个单位长度出发向右运动，同时点B以每秒2个单位长度向左运动，在点C处相遇，求点C的表示的数. （3）若点M从A点出发以每秒6个单位的速度向右运动，点P从原点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从B点出发以每秒2个单位的速度向右运动，若三个点同时出发，求多长时间后，点P到点M，N的距离相等？ 【例3】 （嘉祥期末压轴） 如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示b，a、b满足，点O是数轴原点. （1）若点A与点C之间的距离为AC，点B与点C之间的距离为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，求点C在数轴上表示的数为多少？ （2）现有动点P、Q，点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动；同时点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距5个单位长度？ （3）若动点P、Q都从B点同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，点Q以每秒3个单位长度的速度向左移动，同时点G从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向左移动.若P、Q的中点为M，P、G的中点为N，问M、N会重合吗？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 【例4】 （育才半期） A在数轴上所对应的数为-2. （1）点B与点A相距4个单位长度，则点B所对应的数为_________. （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到-6所在的点处时，求A、B两点间的距离. （3）如图2，若点B对应的数是10，现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒.在运动过程中，P到B的距离、B到Q的距离以及P到Q的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时t的值，若没有，请说明理由. 【例5】 （天府七中半期） 已知如图，数轴上有A、B两个点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且. ①求线段AB的长度； ②数轴上P点从A出发以2个单位每秒向右运动，同时数轴上另一点Q从B出发以4个单位每秒向左运动，设运动的时间是t秒，点M是AQ的中点，点N是PM的中点，求线段AN的长度. ③在②的条件下，在点P、Q运动的同时，点R从点N开始沿数轴以8个单位每秒的速度向右运动，是否存在t值使BQ=PR，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由. 【例6】 （成外半期） 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边. （1）请直接写出A、B两点所对应的数； （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数； （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求所有满足条件的t的值. 【例7】 已知：数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，点O为原点，且a、b、c满足（a﹣6）2+|b﹣2|+|c﹣1|＝0． （1）直接写出a、b、c的值； （2）如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M、N、R同时出发，设运动的时间为t秒，t为何值时，点N到点M、R的距离相等； （3）如图2，若点P从点A出发以每秒1个单位的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒3个单位的速度向左运动，点P，Q同时出发开始运动，点K为数轴上的一个动点，且点C始终为线段PK的中点，设运动时间为t秒，若点K到线段PC的中点D的距离为3时，求t的值． 课后练习 练习一 如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B在点A左边，且AB=18，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. （1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发. ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数； 练习二 如图，A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发） （1）数轴上点B对应的数是　 　. （2）t 秒之后M表示的数为_______，N表示的数为________（用含t的代数式表示） （3）经过几秒，点M、点N到原点O的距离相等？ （4）经过几秒，恰好使AM=2BN？ 练习三 （石室月考）如图，数轴上点A、C对应的数分别是a、c，且a、c满足，点B对应的数是－3. （1）求数a、c； （2）点A，B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t秒，在运动过程中，点A、B到原点O的距离相等时，求t的值； （3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由. 练习四 如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-2，点B对应的数是10.现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒. （1）A、B两点之间的距离为________； （2）当t=1时，P、Q两点之间的距离为__________； （3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由. 练习五 如图，A在数轴上所对应的数为﹣2． （1）点B与点A相距4个单位长度，则点B所对应的数为　　 （2）在（1）的条件下，如图1，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离 （3）如图2，若点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．在运动过程中，P到B的距离、B到Q的距离以及P到Q的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$