山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题

2023-2024学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2，则＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 2．（5分）下列函数的求导正确的是（　　） A． B．（sinx）′＝﹣cosx C． D．（xex）′＝（1+x）ex 3．（5分）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（　　） A．7 B．12 C．18 D．24 4．（5分）已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 5．（5分）（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A．30 B．40 C．60 D．120 6．（5分）随机变量X的概率分布为： X 1 2 4 P 0.4 0.3 a 则E（5X+4）等于（　　） A．5 B．15 C．45 D．与a有关 7．（5分）已知函数f（x）＝ex（x2﹣4x﹣4）+，x＝﹣2是f（x）的唯一极小值点，则实数k的取值范围为（　　） A．[﹣e2，+∞） B．[﹣e3，+∞） C．[e2，+∞） D．[e3，+∞） 8．（5分）已知实数a，b分别满足ea＝1.02，ln（b+1）＝0.02，且，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列函数在定义域上为增函数的有（　　） A．f（x）＝ex+x B．f（x）＝xex C．f（x）＝x﹣sinx D．f（x）＝x2﹣lnx （多选）10．（6分）下列排列组合数中，正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）11．（6分）已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为 　 　． 13．（5分）若32024﹣8×1011+a（a∈N*）能被64整除，则正整数a的最小值为 　 　． 14．（5分）已知实数x1，x2满足，则x1x2＝　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 16．（15分）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）求X的均值和方差． 17．（15分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求n的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 18．（17分）已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求f（x）的极值． 19．（17分）已知函数 f（x）＝e2x+（1﹣2a）ex﹣ax（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2023-2024学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2，则＝（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】根据导数的定义进行计算即可得到结果． 【解答】解：由题意， 可知 ＝ ＝ ＝（﹣4﹣h） ＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题主要考查导数的定义计算，属基础题． 2．（5分）下列函数的求导正确的是（　　） A． B．（sinx）′＝﹣cosx C． D．（xex）′＝（1+x）ex 【分析】根据求导公式，结合选项判断即可． 【解答】解：对于A，∵，故A错误， 对于B，∵（sinx）′＝cosx，故B错误， 对于C，∵，故C错误， 对于D，∵（xex）′＝ex+xex＝（1+x）ex，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查导数的基本运算，属基础题． 3．（5分）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（　　） A．7 B．12 C．18 D．24 【分析】根据题意，结合分步计数原理即可求解． 【解答】解：从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为4×3＝12种． 故选：B． 【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题． 4．（5分）已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（A∩B）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用条件概率计算公式直接求解． 【解答】解：∵P（B|A）＝，P（A）＝， ∴P（A∩B）＝P（A）P（B|A）＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查概率的运算，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（5分）（x2+2x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A．30 B．40 C．60 D．120 【分析】将三项分解成二项，（x2+2x+y）5＝[（x2+2x）+y]5利用通项公式求解展开式中x5y2的项，即可求解其系数． 【解答】解：由（x2+2x+y）5＝[（x2+2x）+y]5， 通项公式可得：Tr+1＝•（x2+2x）5﹣r•yr； ∵要求x5y2的系数； 故r＝2，此时（x2+2x）3＝x3•（x+2）3；其对应x5的系数为：•x2•21＝6． ∴x5y2的系数为：×6＝60． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的灵活运用，将三项分解成二项，利用通项公式依次分解，讨论满足题意存在性，即可求解其系数．属于中档题． 6．（5分）随机变量X的概率分布为： X 1 2 4 P 0.4 0.3 a 则E（5X+4）等于（　　） A．5 B．15 C．45 D．与a有关 【分析】先根据分布列求出E（X），再根据期望的性质可求得答案． 【解答】解：由题意得0.4+0.3+a＝1．得a＝0.3， 所以E（X）＝1×0.4+2×0.3+4×0.3＝2.2， 所以E（5X+4）＝5E（X）+4＝5×2.2+4＝15． 故选：B． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的数学期望，属于基础题． 7．（5分）已知函数f（x）＝ex（x2﹣4x﹣4）+，x＝﹣2是f（x）的唯一极小值点，则实数k的取值范围为（　　） A．[﹣e2，+∞） B．[﹣e3，+∞） C．[e2，+∞） D．[e3，+∞） 【分析】对函数求导可得f'（x）＝（x+2）[ex（x﹣4）+k]，因为x＝﹣2是f（x）的唯一极小值点，所以ex（x﹣4）+k≥0恒成立，即﹣k≤ex（x﹣4），令g（x）＝ex（x﹣4），则g'（x）＝ex（x﹣3），易知当x＜3时，g（x）单调递减；当x＞3时，g（x）单调递增，所以，所以﹣k≤﹣e3，即k≥e3，故而得解． 【解答】解：由题可知，＝（x+2）[ex（x﹣4）+k]， ∵x＝﹣2是f（x）的唯一极小值点，∴ex（x﹣4）+k≥0恒成立，即﹣k≤ex（x﹣4）， 令g（x）＝ex（x﹣4），则g'（x）＝ex（x﹣3）， 当x＜3时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）单调递增， ∴， ∴﹣k≤﹣e3，即k≥e3． 故选：D． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，还用到了构造法，将原函数的极值问题转化为新函数的恒成立问题是解题的关键，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题． 8．（5分）已知实数a，b分别满足ea＝1.02，ln（b+1）＝0.02，且，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【分析】构造函数y＝ex﹣x﹣1，y＝lnx﹣x+1，求导可证明ex≥x+1，lnx≤x﹣1，从而可判断a、b与0.02的大小，而，比较可得b最大，从而确定答案． 【解答】解：由函数y＝ex﹣x﹣1得，y'＝ex﹣1， 当x＜0时，y'＜0，当x＞0时，y'＞0， 所以函数y＝ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 且当x＝0时，y＝0，所以ex≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）， 所以ea＝1.02＞a+1，所以a＜0.02， 由函数y＝lnx﹣x+1得，， 当0＜x＜1时，y'＞0，当x＞1时，y'＜0， 所以函数y＝lnx﹣x+1在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 且当x＝1时，y＝0，所以lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时取等号）， 所以ln（b+1）＝0.02＜b+1﹣1，所以b＞0.02， 而， 所以a、b、c三者中b最大． 故选：D． 【点评】本题考查了利用函数单调性比较大小，考查了函数思想，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）下列函数在定义域上为增函数的有（　　） A．f（x）＝ex+x B．f（x）＝xex C．f（x）＝x﹣sinx D．f（x）＝x2﹣lnx 【分析】利用导数研究函数的单调性一一判断选项即可． 【解答】解：由f（x）＝ex+x，得f′（x）＝ex+1＞0， ∴f（x）在R上是增函数，故A正确； 对于函数f（x）＝xex⇒f′（x）＝（x+1）ex， 当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0， 所以f（x）在定义域R上不是增函数，故B错误； 函数f（x）＝x﹣sinx的定义域为R，f′（x）＝1+cosx≥0， 所以f（x）在定义域R上是增函数，故C正确； ， 定义域为， ∴f（x）在定义域内不是增函数，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题． （多选）10．（6分）下列排列组合数中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解． 【解答】解：＝4+12+24+24＝64，故A错误； ＝＝，故B正确； 左边＝＝＝＝右边，故C正确； ＝＝， ＝＝＝，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题． （多选）11．（6分）已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D． 【分析】先根据题意画出图形，由函数＝y＝lnx和函数y＝ex是互为反函数，知函数y＝lnx及函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称，y＝﹣x+2也是关于直线y＝x对称，然后由直线y＝﹣x+2与函数＝y＝lnx及函数y＝ex的图象的交点A（x1，y1），B（x2，y2）也关于直线y＝x对称，得出x2＝y1，再根据A（x1，y1）在y＝﹣x+2上，逐一判断即可． 【解答】解：画出图形，如图，由于函数y＝lnx和函数y＝ex是互为反函数， 故函数＝y＝lnx及函数y＝ex的图象关于直线y＝x对称， 从而直线y＝﹣x+2与函数＝y＝lnx及函数y＝ex的图象的交点A（x1，y1），B（x2，y2） 也关于直线y＝x对称，∴x2＝y1，x1＝y2， 又A（x1，y1）在y＝﹣x+2上，即有x1+y1＝2，故x1+x2＝2，故选项A正确； ＞2＝2＝2e，故B正确； 将y＝﹣x+2与y＝ex联立可得﹣x+2＝ex，即ex+x﹣2＝0， 设f（x）＝ex+x﹣2，则函数为单调递增函数， 因为f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（）＝+﹣2＝﹣＞0， 故函数f（x）的零点在（0，）上，即0＜x1＜，由x1+x2＝2得，1＜x2＜2， x1lnx2+x2lnx1＝x1lnx2﹣x2ln＜x1lnx2﹣x2lnx2＝（x1﹣x2）lnx2＜0，故C正确． 记g（x）＝2﹣x﹣lnx，则g（1）＝1＞0，g（）＝2﹣﹣＝＜0， 则1＜x2＜，又x1x2＝（2﹣x2）x2＝x2lnx2， 易知函数y＝xlnx在（1，e）上单调递增， 故x1x2＝x2lnx2＜＝，故选项D错误． 故选：ABC． 【点评】本小题主要考查函数对称性的应用、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为 　12　． 【分析】根据题意，由排列数公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，原来的三个节目顺序不变，有4个空位可用， 在其中任选2个，安排2个新节目，有＝12种安排方法． 故答案为：12． 【点评】本题考查排列组合的应用，注意排列数公式的应用，属于基础题． 13．（5分）若32024﹣8×1011+a（a∈N*）能被64整除，则正整数a的最小值为 　55　． 【分析】利用表达式，构造二项式定理，结合整除，求解a的值即可． 【解答】解：32024﹣8×1011+a＝（8+1）1012﹣8×1011+a ＝81012+81011+81010+…+82+8+﹣8×1011+a ＝81012++81011+81010+…+82+9+a 若32024﹣8×1011+a能被64整除，则需9+a能被64整除，所以正整数a的最小值为55． 故答案为：55． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，整除知识的应用，属于基础题． 14．（5分）已知实数x1，x2满足，则x1x2＝　e6　． 【分析】令t＝lnx2﹣3，则，，由tet+3＝e6得tet＝e3，构造函数f（x）＝xex，求导可判断f（x）单调递增，故方程xex＝0只有一个解，可得x1＝t，即可求得x1x2的值． 【解答】解：由条件得x1＞0，， 令t＝lnx2﹣3，t＞0，则，由可得tet+3＝e6， 令f（x）＝xex，（x＞0）， 则f'（x）＝（x+1）ex，显然当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 由x1ex1＝e3，tet＝e3可得，x1＝t＝lnx2﹣3， ∴x1x2＝x2（lnx2﹣3）＝e6． 故答案为：e6． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在方程解的个数判断中的应用，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式直接求解． （2）利用条件事件的概率公式直接求解． 【解答】解：（1）设这个人患流感为事件A， 则P（A）＝6%×+5%×+4%×＝0.051． （2）设此人选自A地区为事件B， 则P（B|A）＝＝＝， ∴此人选自A地区的概率为． 【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式，条件事件的概率公式等基础知识，是中档题． 16．（15分）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）求X的均值和方差． 【分析】（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，进而得到X的分布列； （Ⅱ）利用期望公式和方差公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）设挑选的2台电脑中，A品牌的台数为X， 则X的可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝， 故X的分布列为： X 0 1 2 P （Ⅱ）E（X）＝0×＝， 所以D（X）＝＝． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题． 17．（15分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． （1）求n的值； （2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得． （2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解． 【解答】解：（1）依题意，展开式的通项公式， 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得n＝7， 所以n的值为7． （2）由（1）知，当k＝0，3，6时，对应的项是有理项， 当k＝0时，展开式中对应的有理项为； 当k＝3时，展开式中对应的有理项为 当k＝6时，展开式中对应的有理项为 所以展开式中有理项的系数之和为128+560+14＝702． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 18．（17分）已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求f（x）的极值． 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程即可； （2）先判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求极值即可． 【解答】解：（1）f（x）＝x2+x﹣3lnx的定义域为（0，+∞）， f'（x）＝2x+1﹣， 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝0， 因为f（1）＝1+1﹣0＝2，所以切点为（1，2）， 所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为y＝2． （2）f'（x）＝2x+1﹣＝＝，定义域为（0，+∞）， 当x＝1时，f'（x）＝0； 当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增； 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减， 所以极小值为f（1）＝2，无极大值． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，熟练掌握导数的几何意义，函数的单调性与导数之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19．（17分）已知函数 f（x）＝e2x+（1﹣2a）ex﹣ax（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【分析】（1）求导可得f'（x）＝（2ex﹣a）（ex+1），分a≤0，a＞0两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解； （2）由（1）可知，当a≤0时，f（x）在R上单调递增，所以f（x）至多有一个零点，当a＞0时，求出f（x）的最小值，使f（x）min＜0可求解a的范围． 【解答】解：（1）因为f（x）＝e2x+（1﹣2a）ex﹣ax，所以f'（x）＝2e2x+（1﹣2a）ex﹣a＝（2ex+1）（ex﹣a）， 当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增； 当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝lna， 由f'（x）＜0，得x＜lna，由f'（x）＞0，可得x＞lna， 所以f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． （2）由（1）可知，当a≤0时，f（x）在R上单调递增，所以f（x）至多有一个零点； 当a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 所以当x＝lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（lna）＝a﹣a2﹣alna＝a（1﹣a﹣lna）， 令h（a）＝1﹣a﹣lna，a∈（0，+∞），则h′（a）＝﹣1﹣＜0， 所以h（a）在（0，+∞）上单调递减， 又h（1）＝0，所以要使f（x）min＜0，即h（a）＜0，则a＞1． 又因为f（﹣1）＝++a＝＞0， 所以f（x）在（﹣∞，lna）上有一个零点， 又f（ln（3a））＝3a2+3a﹣aln（3a）＝a[3a+3﹣ln（3a）]＝a[（3a﹣1）﹣ln（3a）+4]， 令g（x）＝x﹣1﹣lnx，x∈（3，+∞），则g'（x）＝1﹣＝＞0， 所以g（x）在（3，+∞）上单调递增， 因为a＞1，所以3a＞3，所以g（3a）＝3a﹣1﹣ln（3a）＞g（3）＞0， 所以f（ln（3a））＝a[3a+3﹣ln（3a）]＞a[g（3a）+4]＞4a＞0， 所以f（x）在（lna，+∞）上也有一个零点． 综上所述，要使f（x）有两个零点，则a的取值范围是（1，+∞）． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$