第09讲 热点题型精讲 勾股定理-2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第09讲 热点题型精讲—勾股定理 · 学习目标 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 会利用拼图法验证勾股定理； 3. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 4. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； · 思维导图 · 知识详解 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点2：勾股定理的验证方法 用两种不同的方法表示同一种图形的面积，验证勾股定理. 知识点3：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 · 典型例题 题型1 勾股定理与定理验证 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理； 任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则的长为__________． 题型2 勾股定理与解三角形 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 题型3 构造Rt△利用勾股定理 如图，某学校（A点）与公路（直线1）的距离为300米，与车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与学校A及车站D的距离相等． (1)在图中作出点C； (2)求商店C与车站D之间的距离． 题型4 利用勾股定理解决折叠问题 在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 题型5 利用勾股定理解决面积问题 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． (1)求的长度； (2)求的面积． 题型6 利用勾股定理解决实际问题 如图，一根长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离AO为，为中点． (1)当梯子的顶端下滑时，求梯子底端向外滑行的距离？ (2)请判断在木棍滑动的过程中，点到点的距离是否变化，若不变，则求出的长度，若变化，请说明理由； (3)直接写出木棍滑动的过程中面积的最大值___________． 题型7 勾股定理与网格问题 如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 题型8 利用勾股定理解决探究线段平方关系问题 如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且 (1)若，，求四边形的面积. (2)求证：. · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边的距离为（ ） A． B． C．4 D．3 2．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 4．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 5．如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 7．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ） A． B． C． D． 8．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 二、填空题（本大题共10小题） 9．若直角三角形两直角边长为2，，则斜边上的高为 ． 10．如图，在中，，点是上一点．，若，，则 ． 11．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    12．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 13．已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 14．一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 ． 15．我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 第16题 第17题 第18题 17．如图，在直角坐标系中，直线，则s的值是 ． 18．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 三、解答题（本大题共8小题） 19．如图：在中，． (1)在边上找一个D点，使得D点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 20．已知：在中，，于，，．求： (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 21．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 22．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 24．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 25．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 26．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第09讲 热点题型精讲—勾股定理 · 学习目标 1. 掌握勾股定理，能利用勾股定理求直角三角形的边长； 2. 会利用拼图法验证勾股定理； 3. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用该定理判定一个三角形为直角三角形； 4. 能利用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题； · 思维导图 · 知识详解 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点2：勾股定理的验证方法 用两种不同的方法表示同一种图形的面积，验证勾股定理. 知识点3：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 · 典型例题 题型1 勾股定理与定理验证 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理； 任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则的长为__________． 【答案】任务一：见解析；任务二： 【分析】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，勾股定理的应用； 任务一：由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务二：勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：任务一：图1的正方形的面积为， 图3的面积为 ∴ ∴； 任务二：如图所示，连接， 设，则， 在中，， ∴， 在中， 在中， 在中， ∴ 解得： 即， 故答案为：． 题型2 勾股定理与解三角形 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，先证明，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接．   为的垂直平分线， ． 在中，，，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． 的长为． 题型3 构造Rt△利用勾股定理 如图，某学校（A点）与公路（直线1）的距离为300米，与车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与学校A及车站D的距离相等． (1)在图中作出点C； (2)求商店C与车站D之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)商店C与车站D之间的距离为312.5米 【分析】（1）作的垂直平分线，故的垂直平分线与l的交点即为所求点C． （2）作于点B，连接，根据勾股定理求得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1） 点C的位置如图所示 （2） 解：如图，过点A作于点B，则米，连接． ∵点C在线段的垂直平分线上， ∴． 在中，米，米， ∴米． 设米，则米，米． 在中，勾股定理，得， 解得， ∴商店C与车站D之间的距离为米． 题型4 利用勾股定理解决折叠问题 在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 题型5 利用勾股定理解决面积问题 如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有， 即，解得， ∴， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知，，， ∴， 故的面积为15． 题型6 利用勾股定理解决实际问题 如图，一根长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端到地面的距离AO为，为中点． (1)当梯子的顶端下滑时，求梯子底端向外滑行的距离？ (2)请判断在木棍滑动的过程中，点到点的距离是否变化，若不变，则求出的长度，若变化，请说明理由； (3)直接写出木棍滑动的过程中面积的最大值___________． 【答案】(1) (2)点到点的距离不变，等于5 (3)25 【分析】（1）分别求出梯子滑行前后的的长，即可求解； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）利用垂线段最短求出边上的高的最大值，即可求解． 【详解】（1）当梯子的顶端下滑时，， ∵， ∴， 梯子滑动前， 故梯子底端向外滑行的距离为． （2）∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴， ∴点到点的距离不变，等于5． （3）设边上的高为， ∴， ∴的最大值为5， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 题型7 勾股定理与网格问题 如图，在△ABC中，，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．​ (1)请你将的面积直接填写在横线上：______； (2)思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的；并求出它的面积______． (3)探索创新：若三边的长分别为，，，，且）请用以上方法求的面积． 【答案】(1)4.5 (2)图见解析， (3)的面积为 【分析】本题考查勾股定理，割补法求面积，利用网格特征构图是解题的关键． （1）直接利用割补法求面积即可； （2）就是分别以格边为直角边的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，就是一条直角边是格，另一条直角边是格的直角三角形的斜边，据此构图求解； （3）设网格中小长方形的长为，宽为，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，就是由格长和格宽分别作为直角边，构成的直角三角形的斜边，据此构图求解． 【详解】（1）的面积， 故答案为：4.5； （2）如图2中，即为所求， 的面积； （3）如图小长方形的长为n，宽为m，就是符合要求的三角形， 的面积． 题型8 利用勾股定理解决探究线段平方关系问题 如图，在中，，是斜边上的中点，、分别是、边上的点，且 (1)若，，求四边形的面积. (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，在中，，为边的中线，得出，，，继而证明，得出，然后根据即可求解； （2）延长至点，使得，连接，，证明，由，则，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：连接，如图1， 在中，，为边的中线， ，，， 又，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 所以 ， （2）证明：延长至点，使得，连接，，如图， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边的距离为（ ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角形的面积为3，即可得，掌握勾股定理时解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点A到边的距离为， 故选：B． 2．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 【详解】解：连接，    过作于， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ， 故选：C． 3．如图，方格纸中小正方形的边长为，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键． 如解图中的、D，连接，根据勾股定理即可求出和，然后根据三线合一即可求出，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外一个点，然后同理可找出、、、，从而得出结论． 【详解】解：设如下图所示中的两个格点为、D，连接 根据勾股定理可得 ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴此时点即为所求， 过点作的平行线，交如图所示的格点于，根据平行线之间的距离处处相等，此时也符合题意； 同理可得：， ∴点即为所求，过点作的平行线，交如图所示的格点于、，根据平行线之间的距离处处相等，此时、、也符合题意． 满足条件的点C共有6个， 故选：C． 4．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 5．如图是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形，则三块中面积最大的图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，勾股定理．设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为．由此可见，剪痕应是方格的对角线． 【详解】解：设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为． 由此可见，剪痕应是方格的对角线． 如图1，沿各剪一刀，就可以拼成如图2的大正方形． 三块中面积最大的图形的周长为． 故选：A． 6．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 7．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 8．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题） 9．若直角三角形两直角边长为2，，则斜边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理求斜边长，然后利用直角三角形的面积计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长为， 设斜边上的高为， ∵直角三角形的面积 ∴， 即斜边上的高为， 故答案为：． 10．如图，在中，，点是上一点．，若，，则 ． 【答案】3.1 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设，在和中，利用勾股定理列式表示出，然后解方程即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∵， ∴在中，可有， 在中，可有， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3.1． 11．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】 解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 12．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 13．已知三角形三边长分别是8，15和17，则三角形的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是8、15、17， ， ∴这个三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故答案为：60． 14．一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理得实际应用，正确理解题意并熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得，再分别求出，，进而运用勾股定理求解即可； 【详解】如图，由题意知，， 在中，， 它们离开港口半小时后相距， 故答案为：17 15．我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理求出三条边的长，再利用勾股定理逆定理得到，即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 17．如图，在直角坐标系中，直线，则s的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理表示出，，，再根据直线，结合勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， , ， 直线， , 即， 解得， 故答案为：． 18．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 【答案】2或5 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 三、解答题（本大题共8小题） 19．如图：在中，． (1)在边上找一个D点，使得D点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作的角平分线即可； （2）由勾股定理求得，根据角平分线的性质得，即可求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：在中，， 如图，过点D作，垂足为E， 由（1）可得：， ， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴． 20．已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 22．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)千米． 【分析】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可； （）根据勾股定理解答即可； 本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用. 【详解】（1）解：是，理由如下， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路； （2）解：设， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 24．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 25．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． 本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）解：如图②，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 26．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$