专题16 椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题16 椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 椭圆定义及辨析 考点二 椭圆定义的应用 （一）判断椭圆的方程 （二）根据椭圆的方程求参数 考点三 求椭圆的标准方程 考点四 根据椭圆方程求相关量 考点五 求椭圆上点的坐标 考点六 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 考点七 椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题 考点八 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 考点九 椭圆的焦点三角形问题 （1） 求焦点三角形的内角或边长 （2） 求焦点三角形的周长 （3） 求焦点三角形的面积 （4） 焦点三角形的内切圆问题 （5） 与焦点三角形有关的最值问题 （6） 焦点三角形的综合问题 考点十 与椭圆有关的轨迹问题 （1） 直接法 （2） 定义法 （三）相关点法 知识点1：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点2：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 解题策略 1．椭圆定义的应用 (1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算． (2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决． 注：（1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． ②定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． ③常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． （2）椭圆定义的应用技巧 ①椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. ②直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. ③涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 2.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　 3.求椭圆标准方程的方法 (1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程． (2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”． 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． 　 4．椭圆标准方程的两种应用 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标． (2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化． 5．椭圆的焦点三角形问题 解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等． 注：（1）椭圆中焦点三角形的解题策略 在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： ①由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a. ②利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|. 但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用． （2）焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L＝2a＋2c. ②在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2. ③焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2＝b2tan. 6.求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解． (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程． (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤如下： ①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)． ②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式 ③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程，并把所得方程化简即可． 考点一 椭圆定义及辨析 1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 2．（2023秋·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 3.（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 4．（2023秋·高二课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（　　） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 5.（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 6.（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 7．（2024·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 考点二 椭圆定义的应用 （一）判断椭圆的方程 8.【多选】（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 9．（2024·高二课时练习）设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）根据椭圆的方程求参数 11.（2023·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 12．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 13．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是__________． 14．（2024·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2024·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 16.（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 18．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 考点三 求椭圆的标准方程 19．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在y轴上； (2)，. (3)经过点，两点； (4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. 20．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）若椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________． 22．（2023秋·高二课时练习）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________． 27．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 28．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点四 根据椭圆方程求相关量 29．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 30．（2023春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 31.（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 32.（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 33．（2023秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 考点五 求椭圆上点的坐标 34．（2024·新疆·统考一模）已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为___________. 35．（2024·全国·高三对口高考）已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有________个． 36．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ . 37．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的点满足，求点的坐标． 38．（2023秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左､右焦点，P为椭圆上一点，且垂直x轴，以为圆心的圆与直线相切于点T，则T的横坐标为（    ） A． B． C． D． 考点六 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 40.（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 41.（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 42.（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 43.（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 44.（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ． 考点七 椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题 45.（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 46.（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 47.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 48.（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 49.（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 考点八 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 50.（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ． 51.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 52.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 53.（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 54.（2023·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 55.（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 考点九 椭圆的焦点三角形问题 （1） 求焦点三角形的内角或边长 56．（2023春·广西南宁·高二校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，已知，则（    ） A． B． C． D． 57．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 58．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B．4 C．7 D． 59．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D． 60．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 61．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． （2） 求焦点三角形的周长 62．（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 63．（2024·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 64．（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 65．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．不能确定 66．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 67．（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（    ） A．14 B．15 C．18 D．20 （3） 求焦点三角形的面积 68．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（    ） A．3 B． C．3或 D．3或 69．（2023秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 70．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 71．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 72．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 73．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 74．（2024·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 75．（2024·全国·高三专题练习）已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 （4） 焦点三角形的内切圆问题 76．（2024·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 77．（2023秋·安徽淮南·高二淮南第二中学校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ） A．1 B． C． D．2 78．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 79．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为(    ) A． B． C． D．1 80．（2024·北京·高三强基计划）已知椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则（    ） A． B．2 C． D．以上答案都不对 81．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（    ） A． B． C． D．不确定 （5） 与焦点三角形有关的最值问题 82．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 83．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （6） 焦点三角形的综合问题 84．【多选】（2023秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上一点满足为直角三角形，且，则椭圆方程可能为（    ） A． B． C． D． 85．（2024·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 86．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（    ） A．点在第一象限 B．的面积为 C．的斜率为 D．直线和圆相切 87．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 88．【多选】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（    ） A．的面积的最大值为 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．恒成立 D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为 考点十 与椭圆有关的轨迹问题 （一）直接法 89．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 90．（2024·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C．D． 91.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程； （二）定义法 92．（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 93.（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 94．（2024·高二课时练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 95.（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 96．（2023秋·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________． 97.（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 98.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 99．（2023秋·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________. 100．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 101．（2024·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （三）相关点法 102.（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 103．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 104．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 105．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为 A． B． C． D． 106．（2023秋·全国·高三专题练习）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（        ） A． B． C． D． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题16 椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 椭圆定义及辨析 考点二 椭圆定义的应用 （一）判断椭圆的方程 （二）根据椭圆的方程求参数 考点三 求椭圆的标准方程 考点四 根据椭圆方程求相关量 考点五 求椭圆上点的坐标 考点六 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 考点七 椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题 考点八 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 考点九 椭圆的焦点三角形问题 （1） 求焦点三角形的内角或边长 （2） 求焦点三角形的周长 （3） 求焦点三角形的面积 （4） 焦点三角形的内切圆问题 （5） 与焦点三角形有关的最值问题 （6） 焦点三角形的综合问题 考点十 与椭圆有关的轨迹问题 （1） 直接法 （2） 定义法 （三）相关点法 知识点1：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点2：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 解题策略 1．椭圆定义的应用 (1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算． (2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决． 注：（1）对椭圆定义的三点说明 ①椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． ②定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． ③常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． （2）椭圆定义的应用技巧 ①椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. ②直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. ③涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 2.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　 3.求椭圆标准方程的方法 (1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程． (2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”． 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． 　 4．椭圆标准方程的两种应用 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标． (2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化． 5．椭圆的焦点三角形问题 解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等． 注：（1）椭圆中焦点三角形的解题策略 在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： ①由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a. ②利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|. 但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用． （2）焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L＝2a＋2c. ②在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2. ③焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2＝b2tan. 6.求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解． (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程． (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤如下： ①设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)． ②求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式 ③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程，并把所得方程化简即可． 考点一 椭圆定义及辨析 1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹. 【详解】因为，，所以， 所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选：A. 2．（2023秋·高二课时练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（　　） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 【答案】C 【分析】由，作出判断即可． 【详解】因为， 所以，知点C的轨迹是线段AB． 故选：C. 3.（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【答案】C 【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以， 当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆； 当 时，，此时动点 的轨迹是线段． 故选：C． 4．（2023秋·高二课时练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（　　） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 【答案】B 【分析】根据为定值，且定值大于时轨迹才是椭圆，从而得到答案. 【详解】当为定值时， 若定值大于时，点M轨迹是椭圆，若定值等于，点M轨迹是线段，若定值小于，则轨迹不存在； 当点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆时，必为定值； 所以，但，故p为q的必要不充分条件． 故选：B 5.（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆， 故选：B 6.（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【答案】B 【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即， ∴点的轨迹为椭圆. 故选：B. 7．（2024·全国·高二专题练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】的几何意义为点与点间的距离， 同理的几何意义为点与点间的距离， 且 又由为大于零的常数，可知， 当且仅当，即时取等， 故， 即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于， 所以动点的轨迹为椭圆， 故选：C. 考点二 椭圆定义的应用 （一）判断椭圆的方程 8.【多选】（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确； 对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：AD. 9．（2024·高二课时练习）设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果. 【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立； 反例：当时，表示的是圆，即不成立； 即p是成立的充分不必要条件， 故选：A. 10．（2023秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B （二）根据椭圆的方程求参数 11.（2023·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件． 【答案】必要不充分 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 12．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必要不充分条件定义即可求解. 【详解】若方程表示椭圆，则有 因此且， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B 13．（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是__________． 【答案】答案不唯一 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 14．（2024·全国·高二专题练习）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 15．（2024·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 16.（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得. 易知当时，，当时未必有， 所以是的充分但不必要条件. 故选：B. 17．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析运算. 【详解】由题意可得且， 若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 18．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，得. 故答案为： 考点三 求椭圆的标准方程 19．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在y轴上； (2)，. (3)经过点，两点； (4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. 【答案】(1)； (2)或 (3) (4) 【分析】（1）（2）根据已知条件，结合求出和，再根据焦点位置写出椭圆标准方程； （3）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，然后写出椭圆的标准方程； （4）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或. （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （4）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上 因为，所以， 故设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去) 所以椭圆的标准方程为. 20．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）若椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知两点坐标代入求出后即得． 【详解】由已知，解得，所以椭圆方程为． 故选：A. 21．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为___________． 【答案】 【分析】待定系数法求椭圆的标准方程. 【详解】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 22．（2023秋·高二课时练习）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 23．（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上,代入椭圆方程求出即可. 【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上. 将,代入椭圆方程得: , 解得, 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 24．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 25．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案 【详解】因为的周长为，所以，则， 又,的中点为 ，所以M的坐标为， 故，则， 结合，，解得， 所以椭圆C的标准方程为， 故选：A 26．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________． 【答案】 【分析】不妨设点位于第一象限，且，由题意得到，解得，结合椭圆的定义，求得，得到，即可求得椭圆的方程. 【详解】不妨设点位于第一象限，且， 因为 是面积为的正三角形，可得，解得， 所以， 由椭圆的定义得， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：.      27．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得. 【详解】   由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：， 由题意，， 所以，，，， 所以椭圆方程为：， 当椭圆焦点在轴上时，同理可得：， 故选：B 28．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案. 【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形， 所以，得. 又因为，所以四边形为矩形，设， 则，所以得或； 则，则， 椭圆的标准方程为. 故选:C. 考点四 根据椭圆方程求相关量 29．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】AD 【分析】由椭圆的标准方程中即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距为，则， 当焦点在轴上时，， 由，即，解得； 当焦点在轴上时，， 由，即，解得. 故或. 故选：AD. 30．（2023春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 31.（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得. 故选：D. 32.（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【详解】焦距为2，即. 当焦点在上时，，得； 当焦点在上时，，得； 综合得或. 故选：D. 33．（2023秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 考点五 求椭圆上点的坐标 34．（2024·新疆·统考一模）已知F为椭圆的右焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为___________. 【答案】 【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与距离范围为，结合已知即可确定P的坐标. 【详解】由题设，，则，， 所以椭圆上点与距离范围为，又， 所以是椭圆的右顶点，即P的坐标为. 故答案为： 35．（2024·全国·高三对口高考）已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有________个． 【答案】2 【分析】根据题设及向量数量积的坐标表示求得轨迹方程为圆，结合椭圆性质判断轨迹圆与椭圆的交点个数. 【详解】不妨设，，，则， 所以轨迹方程为，以原点为圆心，为半径的圆， 而椭圆中，，故轨迹与椭圆交于短轴顶点， 所以在C上满足的点有2个. 故答案为：2 36．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知椭圆的焦点为F1，F2，第一象限的点为椭圆上的动点，当为直角三角形时，点的横坐标是_________ . 【答案】或 【分析】分类讨论与两种情况，利用圆的性质可得点的轨迹方程，联立椭圆方程解之即可解. 【详解】因为椭圆，所以，则，不妨设，如图， 因为为椭圆上的动点，所以， 又因为为直角三角形，点在第一象限， 所以当时，易知，即点的横坐标是； 当时，由圆的性质可知，点落在以为直径的圆在第一象限的弧上，此时圆心为，半径为， 故点的轨迹方程为， 联立，解得或（舍去），即点的横坐标是； 综上：点的横坐标是或； 故答案为：或. . 37．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的点满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程． （2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值． 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 因为， ， 所以，即， 又因为c=2，所以， 又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， 所以该椭圆的标准方程为. （2）设， 因为，所以，即， 又，所以，即. 所以 38．（2023秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案. 【详解】设，由椭圆，则，，即，故，， ，，，整理可得， 联立可得，解得，故点的坐标有，，，， 故选：D. 39．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左､右焦点，P为椭圆上一点，且垂直x轴，以为圆心的圆与直线相切于点T，则T的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出P点坐标，从而得到直线的方程，根据垂直关系求出直线的方程，联立后求出T的横坐标. 【详解】不妨设P为第一象限内一点，由题意得：，， 故P点横坐标为1，将代入椭圆方程，得到， 所以， 直线， 根据相切可得：，故直线， 联立，解得： 则T的横坐标为 故选：A 考点六 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 40.（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为， 因为的中点为，的中点为，所以， 又由，可得. 故选：B. 41.（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 42.（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得： ①， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 在中可得：②， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 由①②得：， 由椭圆方程可得：，即， 由椭圆定义可得：， 所以，. 故选：A. 43.（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故选：C． 44.（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ． 【答案】28 【详解】设椭圆的另一个焦点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为. 考点七 椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题 45.（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 . 【答案】或 【详解】设点，则到轴的距离为， 因为，， ， 当或时， 则，得， ，即到轴的距离为． 当时， 则， ， ， ， 由（1）（2）知：到轴的距离为或， 故答案为：或． 46.（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 【答案】 【详解】如图，由椭圆可得 , 所以, 则, 所以在中，， 因为, 且,所以 , 设的坐标为, 且，即，解得， 所以点到轴的距离为. 故答案为：. 47.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：设， ， ， ， 当时，取得最大值， 故答案为： 48.（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【详解】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， 49.（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为，其中， 由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 考点八 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 50.（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】设椭圆的左焦点为， ，当共线且在中间时等号成立. 故答案为： 51.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【详解】   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 52.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最小值时， 即最小， 如图所示：，当，，共线时取得最小值． 的最小值为：﹒ 故答案为：. 53.（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为. 又,，， 故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为. 故选：C. 54.（2023·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外， 由椭圆的定义得，因此， ，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”， 所以的最小值为1. 故答案为：1 55.（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图， 由为椭圆上任意一点，则， 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为， 当共线时，最大，如下图所示：， 最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为： 考点九 椭圆的焦点三角形问题 （1） 求焦点三角形的内角或边长 56．（2023春·广西南宁·高二校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程可得，由椭圆定义可求得结果. 【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义可得：，. 故选：C. 57．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算. 【详解】   由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理：， 于是. 故选：A 58．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解. 【详解】由＝1可知，， 所以， 所以F1(－3,0)，F2(3,0)， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ∴可设P(3,m)， 把P(3,m)代入椭圆＝1，得. ∴|PF1|＝，|PF2|＝. ∴. 故选：C 59．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设.利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出和，即可求解. 【详解】设. 因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且， 所以，所以， 所以. 故选：B 60．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：由题意，椭圆方程，可得， 所以焦点， 又由椭圆的定义，可得，因为，所以， 在中，由余弦定理可得, 所以，解得， 又由，所以. 故选:C． 61．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设可得，联立椭圆方程可得点P坐标，即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，则， 由题意可知，由中位线定理可得， 设可得，联立方程， 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，， 所以. 故选：C. （2） 求焦点三角形的周长 62．（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 【答案】B 【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距， 依题意，的周长为. 故选：B 63．（2024·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，    则的周长为， 故选：C. 64．（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】将三角形周长整理并结合椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长， 又过的直线交椭圆于A、B两点， 故的周长 ， 故选：D 65．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．不能确定 【答案】C 【分析】由图形结合椭圆定义可得答案. 【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为. 故选：C 66．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得，，再结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】 设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理， 所以. 故选:C 67．（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（    ） A．14 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案. 【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，， 则为平行四边形， 的周长为， 当，为椭圆上下顶点时等号成立. 故选：C （3） 求焦点三角形的面积 68．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（    ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据椭圆定义和勾股定理，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】由于是椭圆上一点，∴， 两边平方可得，即， 因为是直角三角形， 当时，，∴根据勾股定理可得， 综上可解得，∴的面积等于； 当时，，∴根据勾股定理可得，结合 ,计算可得,∴的面积等于； 当时，，∴根据勾股定理可得，结合 ,计算可得,∴的面积等于. 故选:. 69．（2023秋·广西玉林·高二校联考期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可. 【详解】解：设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，， 由椭圆的定义可知， 又因为， 在中由余弦定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 70．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 71．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得. 【详解】由椭圆的方程可得，，，则， 所以 ， 当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大， 此时，. 故选：C. 72．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积. 【详解】解：因为，所以， 设，，在中， 由余弦定理得， 即，所以， 根据椭圆定义有：，所以， 所以， 因为， 因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得， 因为，所以， 所以直线， 联立，可得 ， 显然，则，因为，所以， 所以 ． 故选：C 【点睛】思路点睛：该题考查直线与椭圆的综合问题，属于中难题，关于焦点三角形问题的思路有： （1）设出两个焦半径为，求得； （2）先由余弦定理建立等式； （3）再由椭圆定义建立，两式联立可得； （4）再根据等面积法，即可求得点坐标. 73．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，， 即. 设，所以由椭圆的定义可得：①. 因为，所以由数量积的公式可得： ，所以. 在中， 所以由余弦定理可得：②， 由①②可得：，所以. 故选：A. 74．（2024·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案. 【详解】由题意，，，即，， 整理可得，，则，解得. 故选：A. 75．（2024·全国·高三专题练习）已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由于为定值，所以当点到的距离最大时，面积取得最大值，即当与短轴的一个端点重合时，面积的最大 【详解】由，得， 所以， 由椭圆的性质可知当与短轴的一个端点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为 ， 故选：A （4） 焦点三角形的内切圆问题 76．（2024·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解. 【详解】解：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以， 在中，由余弦定理得：， ， 解得 ， 所以 ， ， 解得， 故选：D 77．（2023秋·安徽淮南·高二淮南第二中学校考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径. 【详解】解：椭圆中，，，则，∴，， ∴．∵，，∴， ∵，∴， 解得． 故选：C． 78．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求和的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解. 【详解】因为，且，所以，， ，，则等腰三角形底边上的高， 所以, 设的内切圆半径为，则， 所以. 故选：B 79．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式，在利用韦达定理求的最大值即可. 【详解】由题知a＝2，c＝1，设，，设△内切圆半径为r， 则， ∴，即，∴. 设的方程为：，代入椭圆方程可得：(， ∵，∴， ∴， 设则， 时，该表达式对应的函数是减函数，∴时，取得最大值3，∴最大值为. 故选：C. 80．（2024·北京·高三强基计划）已知椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切圆圆心为I，半径为1，则（    ） A． B．2 C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用焦点三角形面积公式可求，故可求的值. 【详解】设椭圆的两个焦点分别为，根据题意，的周长为16， 而其内切圆半径为1，因此的面积为8． 根据椭圆的焦点三角形面积公式，有， 因此． 故选：C. 81．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】计算出，，计算出的内切圆的半径为，结合等面积法可求得点的坐标，即可得解. 【详解】由得，，所以，. 由椭圆的定义知，，. 因为的内切圆的周长等于，所以内切圆的半径为， ， 设点，则，所以，， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 所以，点的坐标为或或或， 因此，满足条件的点的个数为. 故选：B. （5） 与焦点三角形有关的最值问题 82．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 又由椭圆的定义可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 83．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求得范围即可. 【详解】设，，则，，又，所以当时，，当时，. 故选：C. （6） 焦点三角形的综合问题 84．【多选】（2023秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上一点满足为直角三角形，且，则椭圆方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分类讨论为直角顶点、为直角顶点与为直角顶点三种情况，利用三角形面积公式或勾股定理，结合椭圆的定义即可求得结果. 【详解】因为为直角三角形， 所以当为直角顶点时，则， 由解得，所以； 由对称性可知当为直角顶点时，结论相同，即； 当为直角顶点，则，即， 由，得，即，则； 对于A，由得，则，所以，满足其中一种情况，故A正确； 对于B，由得，则，所以，，两种情况都不满足，故B错误； 对于C，由得，则，满足， 又，，故是方程的两根， 由可知方程有两个不等实根，即存在，故C正确； 对于D，由得，则，满足， 又，，故是方程的两根， 由可知方程无实根，即不存在，故D错误. 故选：AC. 85．（2024·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 86．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（    ） A．点在第一象限 B．的面积为 C．的斜率为 D．直线和圆相切 【答案】BCD 【分析】对于A，设椭圆的上顶点为，，即可解决；对于B，求得为等腰三角形即可解决；对于C，由，即可解决；对于D，过作于，求得即可解决； 【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，， 所以，， 所以， 所以，故B正确； 因为的中点为， 所以，过作于，，故D正确； 因为， 所以为中点，，故C正确； 设椭圆的上顶点为，， 所以点在第二象限，故A错误； 故选：BCD 87．【多选】（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（    ） A．若点的横坐标为2，则 B．的最大值为9 C．若为直角，则的面积为9 D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离； 对B，最大值为 对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积； 对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断. 【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴ 对A，时，代入椭圆方程得，，，A错； 对B，的最大值为，B对； 对C，为直角，设，则，则有， 则的面积为，C对； 对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对. 故选：BCD 88．【多选】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（    ） A．的面积的最大值为 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．恒成立 D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为 【答案】BCD 【分析】对A，根据面积表达式得到点位于上下顶点时三角形面积最大，对B，利用几何法即可判断直线与圆的关系，对C，设，写出向量数量积的表达式即可判断，对D，分类讨论即可. 【详解】对A，，则， 由图得， 显然当点位于椭圆上下顶点时，的面积的最大值，最大值为，故A错误； 对B，以线段为直径的圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确； 对C，设，则，且，则， ，， 则 ，故C正确； 对D，由C选项知， 则，则， 若，令，则有，解得， 同理若，令，则有，解得，故D正确. 故选：BCD. 考点十 与椭圆有关的轨迹问题 （一）直接法 89．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解. 【详解】设， 因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为， 所以，即， 整理得， 故选:C. 90．（2024·高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】设动点P的坐标为，依题意得到方程，整理即得轨迹方程； 【详解】解：设动点P的坐标为，则由条件得．即． 所以动点P的轨迹C的方程为． 故选：B． 91.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程； 【答案】. 【详解】 设，则，，， ，. ，即， 的轨迹为的方程为. （二）定义法 92．（2023春·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】依题意可得点为以点、为焦点的椭圆，即可求出、、，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点、的距离之和为， 即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆， 且，，所以，所以椭圆方程为. 故答案为： 93.（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】因为M到顶点和的距离的和为， 所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（）， 则，，所以，， M的轨迹方程为. 故答案为：. 94．（2024·高二课时练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D. 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件. 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B. 95.（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故方程为. 96．（2023秋·青海西宁·高二期末）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案. 【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，， 所以，所以圆心的轨迹为椭圆. 其中，，故， 因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：. 故答案为：. 97.（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 98.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【详解】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：， 两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 99．（2023秋·福建泉州·高二统考期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答. 【详解】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图， 有，则， 因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长， 所以点Q的轨迹方程为. 故答案为： 100．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】延长，与的延长线交于点，连接，由角平分线、中位线性质得，，再根据椭圆定义得，即可得轨迹. 【详解】 延长，与的延长线交于点，连接， 由是的外角的角平分线，且， 在中，且为线段的中点 又为线段的中点，由三角形的中位线：， 根据椭圆的定义得：，则， 点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，点的轨迹方程：. 101．（2024·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理化角为边，从而可得，再结合题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，即可得解. 【详解】解：在中，因为， 所以， 又，则， 所以，即， 由于， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分， 由， 所以顶点的轨迹方程是. 故选：A. （三）相关点法 102.（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 【答案】； 【详解】 设，，则，， 由得.因为在C上，所以. 因此点P的轨迹为. 103．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程； 【详解】设，,，则,． 为线段的中点， ，即，． 又点在圆上， ，即． 故点的轨迹方程为． 故选：A 104．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】设出点的坐标，利用进行转化，利用可得答案. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以，即， 所以，整理得，其轨迹是椭圆. 故选：B. 105．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B. 106．（2023秋·全国·高三专题练习）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得，再结合圆的方程求解即可. 【详解】设 ,则由得 ,因为 所以,即. 故选：D. $$