2022-2024年中考数学真题知识点汇编15 全等、等腰、直角三角形 湖南专版

2022-2024年中考数学真题知识点汇编15《全等、等腰、直角三角形》 湖南专版 知识点1全等三角形的性质与判定 1. 【2022常德】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　　． 3．【2022•衡阳】如图，在中，，，是边上的点，且．求证：． 4. 【2022常德】在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接． （1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②． （2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明． 5．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 7. （2024•长沙）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 知识点2等腰（等边）三角形的性质与判定 1．【2022•邵阳】如图，是等边的外接圆，若，则的半径是　　 A． B． C． D． 2．【2022•邵阳】如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则　　． 3．（2024长沙）才在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　　，点A2023的坐标为 　 　． 4．【2022•怀化】如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长（结果用含的代数式表示）． 5.（2024长沙）如图，在中，对角线，相交于点O，． （1）求证：； （2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 知识点3 直角三角形的判定与性质及相关计算 1.【2022常德】 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　 ． 3．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） ​ A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 4．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 5（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　 　． 6. 如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 7. 已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编15《全等、等腰、直角三角形》》 湖南专版（解析） 知识点1全等三角形的性质与判定 1. 【2022常德】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D． 【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE=BC，故A正确； B．∵点F是边AC中点， ∴CF=BF=AF=AC， ∵∠BCA=30°， ∴BA=AC， ∴BF=AB=AF=CF， ∴∠FCB=∠FBC=30°， 延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°， ∴∠BHE=∠DEC=90°， ∴BF//ED， ∵AB=DE， ∴BF=DE，故B正确． C．∵BF∥ED，BF=DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BC=BE=DF， ∵AB=CF， BC=DF，AC=CD， ∴△ABC≌△CFD， ∴，故C正确； D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°， ∴∠FCG=30°， ∴FG=CG， ∴CG=2FG． ∵∠DCE=∠CDG=30°， ∴DG=CG， ∴DG=2FG．故D错误． 故选D． 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　　． 【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力． 【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到 ∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC10． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 3．【2022•衡阳】如图，在中，，，是边上的点，且．求证：． 证明：，． 在和中，， ．． 4. 【2022常德】在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接． （1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②． （2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）①证明即可；②连接BG，CG，证明，即可证明； （2）①的结论和（1）中证明一样，证明即可；②的结论，作，证明即可． 【小问1详解】 证明：①证明过程： 四边形ABCD为矩形， 平分 为等腰直角三角形 ②证明：连接BG，CG， G为AF的中点，四边形ABCD为矩形， 平分， 【小问2详解】 作，如图所示 由（1）同理可证： 四边形ABCD为平行四边形 G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得 ， 【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键． 5．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC． （1）求证：△BAE≌△CAE； （2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M． 求证：①AF•MH＝AM•AE； ②GF＝GD． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE； （2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明； ②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， 又∵E在AD上， ∴EB＝EC， 在△BAE和△CAE中， ， ∴△BAE≌△CAE（SSS）； （2）①连接AH， ∵A，H分别是ED和EC的中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴AH∥DC， ∴∠EAH＝∠EDC＝90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， 又∵HG∥AB， ∴∠FAD＝∠AMH， ∴△AFD∽△MAH， ∴， ∴AF⋅MH＝AM⋅AD， ∵AE＝AD， ∴AF⋅MH＝AM⋅AE； ②∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM， ∴∠AHM＝∠ACB， ∴△AMH∽△DAC， ∵A、H分别为ED和EC中点， ∴AH为△EDC的中位线， ∴， ∴AMAD，即M为AD中点， ∵AF∥GH， ∴G为FD中点， ∴GF＝GD． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 6．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的相似；推理能力． 【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； （2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AD＝AE＝6， 在Rt△ACD中，AC10， ∵AB＝AC＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 7. （2024•长沙）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：在与中， ， 所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 知识点2等腰（等边）三角形的性质与判定 1．【2022•邵阳】如图，是等边的外接圆，若，则的半径是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，过点作于E．易知．，．在中，，，解得． 2．【2022•邵阳】如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则　　． 【答案】 【解析】等腰三角形中，，．，．四边形是平行四边形，．． 3．（2024长沙）才在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1；第二次旋转将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为△A1OB1边长的2倍，得到△A2OB2，…．依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023OB2023的边长为 　22023　，点A2023的坐标为 　（22022，﹣22022）　． 【考点】相似三角形的性质；规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．版权所有 【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题． 【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n， ∴△A2023OB2023的边长为22023， ∵2023÷6＝337…1， ∴A2023与A1都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022•）． 故答案为：22023，（22022，﹣22022）． 【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型—点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 4．【2022•怀化】如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长（结果用含的代数式表示）． 解：（1）证明：过点作，交于点，如图所示． 在等边中，． ， ，，. 是等边三角形.. ，. 在和中，， .. （2）是等边三角形，且，. ，. . ，，． 5.（2024长沙）如图，在中，对角线，相交于点O，． （1）求证：； （2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【小问1详解】 证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； 【小问2详解】 解：中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 知识点3 直角三角形的判定与性质及相关计算 1.【2022常德】 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D． 【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE=BC，故A正确； B．∵点F是边AC中点， ∴CF=BF=AF=AC， ∵∠BCA=30°， ∴BA=AC， ∴BF=AB=AF=CF， ∴∠FCB=∠FBC=30°， 延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°， ∴∠BHE=∠DEC=90°， ∴BF//ED， ∵AB=DE， ∴BF=DE，故B正确． C．∵BF∥ED，BF=DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BC=BE=DF， ∵AB=CF， BC=DF，AC=CD， ∴△ABC≌△CFD， ∴，故C正确； D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°， ∴∠FCG=30°， ∴FG=CG， ∴CG=2FG． ∵∠DCE=∠CDG=30°， ∴DG=CG， ∴DG=2FG．故D错误． 故选D． 2．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 　　． 【考点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质．版权所有 【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，由旋转的性质得到 ∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC10． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 3．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） ​ A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长． 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　） A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸 【考点】勾股定理；圆周角定理．版权所有 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长． 【解答】解：依题意得：BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸， 由勾股定理得：． ∴BC的长为24寸． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 5（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　5　． 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解． 【解答】解：连接CM， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB， ∵点M是AB的中点， ∴CMAB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】（1） （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 （3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【小问1详解】 将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． 【小问2详解】 此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． 【小问3详解】 因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$