汇编14 2022-2024年中考真题 线段、角、相交线与平行线(湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编14《线段、角、相交线与平行线》 湖南专版 知识点1 直线、线段、角、垂线 一、选择题 1. （2022•衡阳）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________． 二、解答题 1（2024•长沙）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】（1） （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 （3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 知识点2 平行线的性质与判定 一、选择题 1. （2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____． 2. （2022•常德）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 3．（2023•张家界）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．50° C．40° D．140° 4. 【2024长沙】如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 5．（2023•长沙）如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作 AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．（2023•岳阳）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 7．（2023•邵阳）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　） A．40° B．50° C．70° D．130° 8．（2023•永州）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝　100　度． 9．【2022•邵阳】如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则　　． 10. （2024•长沙）如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. （2024•长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 二、解答题 1.【2022•衡阳】 如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 知识点3 角平分线的性质 15．【2022•株洲】如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则　 　度． 【答案】15 【解析】根据角平分线的逆定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，． 知识点4 命题与定理 1. （2022•衡阳）下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 2022-2024年中考数学真题知识点汇编14《线段、角、相交线与平行线》 湖南专版( 解析 ） 知识点1 直线、线段、角、垂线 一、选择题 1. （2022•衡阳）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为_________． 【答案】23 【解析】 【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 二、解答题 1（2024•长沙）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】（1） （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 （3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了线段、角以及二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【小问1详解】 将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． 【小问2详解】 此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． 【小问3详解】 因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 知识点2 平行线的性质与判定 一、选择题 1. （2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线， 所以DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC ∴ ∵S△ADE=2， ∴S△ABC=8 故答案为：8． 【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握． 2. （2022•常德）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是，，点是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D． 【详解】A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE=BC，故A正确； B．∵点F是边AC中点， ∴CF=BF=AF=AC， ∵∠BCA=30°， ∴BA=AC， ∴BF=AB=AF=CF， ∴∠FCB=∠FBC=30°， 延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°， ∴∠BHE=∠DEC=90°， ∴BF//ED， ∵AB=DE， ∴BF=DE，故B正确． C．∵BF∥ED，BF=DE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BC=BE=DF， ∵AB=CF， BC=DF，AC=CD， ∴△ABC≌△CFD， ∴，故C正确； D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°， ∴∠FCG=30°， ∴FG=CG， ∴CG=2FG． ∵∠DCE=∠CDG=30°， ∴DG=CG， ∴DG=2FG．故D错误． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键． 3．（2023•张家界）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．50° C．40° D．140° 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直线平行，内错角相等即可求解． 【解答】解：∵∠1＝40°， ∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG＝∠FEG＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠BEG＝70°． 故选：A． 【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键． 4. 【2024长沙】如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 5．（2023•长沙）如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作 AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠BAC+∠2＝180°，结合已知条件即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵直线m∥直线n， ∴∠1+∠BAC+∠2＝180°， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠1＝40°， ∴40°+90°+∠2＝180°， ∴∠2＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 6．（2023•岳阳）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【分析】由平角的定义可求得∠BEG＝50°，再由平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵EG⊥EF， ∴∠FEG＝90°， ∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠BEG＝50°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 7．（2023•邵阳）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　） A．40° B．50° C．70° D．130° 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．版权所有 【分析】根据对顶角相等，可得∠1＝∠3，又由平行线的性质，求得∠2的度数． 【解答】解：如图所示： ∵a∥b， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠3，∠1＝50°， ∴∠1＝∠2＝50°． 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，注意掌握两直线平行，同位角相等是解此题的关键． 8．（2023•永州）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝　100　度． 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】首先由AB∥CD得出∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80， ∴∠BCD＝∠B＝80°， ∵BC∥ED， ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴∠D＝100°． 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． 9．【2022•邵阳】如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则　　． 【答案】 【解析】等腰三角形中，，．，．四边形是平行四边形，． 10. （2024•长沙）如图，在中，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 11. （2024•长沙）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 二、解答题 1.【2022•衡阳】 如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）先证得：，再证，得到，即可求出答案； （2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， 且， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． 【小问2详解】 设半径为； 则：，得； 在直角三角形中，， ，解得 【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 知识点3 角平分线的性质 15．【2022•株洲】如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则　 　度． 【答案】15 【解析】根据角平分线的逆定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，． 知识点4 命题与定理 10. （2022•衡阳）下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$