汇编11 一次函数、反比例函数及应用 2022-2024年中考数学试题汇编 （湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编11《一次函数、反比例及应用》 湖南专版 知识点1 一次函数的图象与性质、一次函数与方程(组)、不等式的关系 一、选择题 1. (2022娄底)将直线向上平移2个单位,相当于( ) A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位 2. (2022邵阳)在直角坐标系中,已知点,点是直线上的两点,则,的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.(2023•长沙)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是( ) A.y=2x+1 B.y=x﹣4 C.y=2x D.y=﹣x+1 4.(2023 湖南益阳)关于一次函数,下列说法正确的是( ) A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点 C.函数值y随自变量x的增大而减小 D.当时, 知识点2 一次函数的应用 5.(2023郴州)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是( ) A.途中修车花了30min B.修车之前的平均速度是500m/nin C.车修好后的平均速度是80m/min D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 6.(2024长沙)对于一次函数y=2x﹣1,下列结论正确的是( ) A.它的图象与y轴交于点(0,﹣1) B.y随x的增大而减小 C.当时,y<0 D.它的图象经过第一、二、三象限 7.(2023郴州)在一次函数y=(k﹣2)x+3中,y随x的增大而增大,则k的值可以是 3(答案不唯一) (任写一个符合条件的数即可). 8.(2023湘潭)我国航天事业发展迅速,2023年5月30日9时31分,神舟十六号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商机,先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销,进价为50元/件. (1)设每件玩具售价为x元,全部售完的利润为y元.求利润y(元)关于售价x(元/件)的函数表达式; (2)当售价定为60元/件时,该玩具销售火爆,该店继续购进一批该种航天模型玩具,并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动,在成功销售完毕后,资助经费恰好10000元,请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具? 9.(2023株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数单位:支),统计如下表: 日需求量n 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数; (2)当n<16时,日利润y(单位:元)关于n的函数表达式为:y=10n﹣80;当n≥16时,日利润为80元. ①当n=14时,问该花店这天的利润为多少元? ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率. 知识点3 反比例函数的图象与性质 1. (2022衡阳)如图,在四边形中,,,,平分.设,,则关于的函数关系用图象大致可以表示为( ) A. B. C. D. 2.(2023株洲)下列哪个点在反比例函数的图象上?( ) A.P1(1,﹣4) B.P2(4,﹣1) C.P3(2,4) D. 3.(2023永州)已知点M(2,a)在反比例函数的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点4 反比例函数与几何图形结合(含k的几何意义) 1. (2022邵阳)如图是反比例函数y=的图象,点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点,过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则 AOB的面积是( ) A. 1 B. C. 2 D. 2.(2023湘潭)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是反比例函数y(k≠0)图象上的一点,过点A分别作AM⊥x 轴于点M,AN⊥y轴于直N,若四边形AMON的面积为2.则k的值是( ) A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 3.(2023•张家界)如图,矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上,点D在AB上,且ADAB,反比例函数y(k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM.若 ODM的面积为3,则k的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.(2023长沙)如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y(k为常数,k>0,x>0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为B,连接OA.若 OAB的面积为,则k= . 知识点5 反比例函数与一次函数综合 1.(2023怀化)如图,反比例函数y(k>0)的图象与过点(﹣1,0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S ABC=9,那么点C的坐标为( ) A.(﹣3,0) B.(5,0) C.(﹣3,0)或(5,0) D.(3,0)或(﹣5,0) 2. (2022湘潭)已知、是平面直角坐标系中两点,连接. (1)如图①,点在线段上,以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切,求过点的反比例函数表达式; (2)如图②,点是线段上一点,连接,将沿翻折,使得点与线段上点重合,求经过、两点的一次函数表达式. 4. (2022岳阳)如图,反比例函数与正比例函数的图象交于点和点,点是点关于轴的对称点,连接,. (1)求该反比例函数的解析式; (2)求的面积; (3)请结合函数图象,直接写出不等式的解集. 5. (2022衡阳)如图,反比例函数的图象与一次函数的图象相交于,两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式; (2)设直线交轴于点,点,分别在反比例函数和一次函数图象上,若四边形是平行四边形,求点的坐标. 6. (2022常德)如图,已知正比例函数与反比例函数图象交于,两点. (1)求的解析式并直接写出时的取值范围; (2)以为一条对角线作菱形,它的周长为,在此菱形的四条边中任选一条,求其所在直线的解析式. 7.(2023常德)如图所示,一次函数y1=﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B(3,﹣1). (1)求m的值和反比例函数解析式; (2)当y1>y2时,求x的取值范围. 8.(2023湘潭)如图,点A的坐标是(﹣3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将 ABC绕着点B逆时针旋转90 得到 A′BC′. (1)反比例函数y的图象经过点C′,求该反比例函数的表达式; (2)一次函数图象经过A、A′两点,求该一次函数的表达式. 9.(2023岳阳)如图,反比例函数y(k为常数,k≠0)与正比例函数y=mx(m为常数,m≠0)的图象交于A(1,2),B两点. (1)求反比例函数和正比例函数的表达式; (2)若y轴上有一点C(0,n), ABC的面积为4,求点C的坐标. 10.(2023衡阳)如图,正比例函数yx的图象与反比例函数y(x>0)的图象相交于点A. (1)求点A的坐标. (2)分别以点O、A为圆心,大于OA一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D.求线段OD的长. 11.(2023株洲)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上. (1)求k的值; (2)连接BP、CP,记 BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值. 知识点6 反比例函数的应用 1. (2022怀化)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图像于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S BCD=5,则a的值为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2.(2023怀化)已知压力F(N)、压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式:F=PS.当F为定值时,如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是( ) A. B. C. D. 3.(2024湖南)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为 . 4.(2023郴州)在实验课上,小明做了一个试验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0<x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表: 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象. (1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象; (2)观察函数图象,并结合表中的数据: ①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数表达式; ②求y2关于x的函数表达式; ③当0<x≤60时,y1随x的增大而 (填“增大”或“减小”),y2随x的增大而 (填“增大”或“减小”),y2的图象可以由y1的图象向 (以“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到. (3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围. 2022-2024年中考数学真题知识点汇编11《一次函数、反比例及应用》 湖南专版解析 知识点1 一次函数的图象与性质、一次函数与方程(组)、不等式的关系 一、选择题 1. (2022娄底)将直线向上平移2个单位,相当于( ) A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位 【答案】B 【分析】函数图象的平移规律:左加右减,上加下减,根据规律逐一分析即可得到答案. 【详解】解:将直线向上平移2个单位,可得函数解析式为: 直线向左平移2个单位,可得 故A不符合题意; 直线向左平移1个单位,可得 故B符合题意; 直线向右平移2个单位,可得 故C不符合题意; 直线向右平移1个单位,可得 故D不符合题意; 故选B 【点评】本题考查的是一次函数图象的平移,掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键. 2. (2022邵阳)在直角坐标系中,已知点,点是直线上的两点,则,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】因为直线,所以随着自变量的增大,函数值会减小,根据这点即可得到问题解答. 【详解】解:∵因为直线, ∴y随着x的增大而减小, ∵32>, ∴ ∴m<n, 故选:A. 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质,解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用. 3.(2023•长沙)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是( ) A.y=2x+1 B.y=x﹣4 C.y=2x D.y=﹣x+1 【考点】正比例函数的性质;一次函数的性质.版权所有 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可. 【解答】解:在一次函数y=2x+1中, ∵2>0, ∴y随着x增大而增大, 故A不符合题意; 在一次函数y=x﹣4中, ∵1>0, ∴y随着x增大而增大, 故B不符合题意; 在一次函数y=2x中, ∵2>0, ∴y随着x增大而增大, 故C不符合题意; 在一次函数y=﹣x+1中, ∵﹣1<0, ∴y随着x增大而减小, 故D符合题意, 故选:D. 【点评】本题考查了正比例函数的性质,一次函数的性质,熟练掌握这些性质是解题的关键. 4.(2023 湖南益阳)关于一次函数,下列说法正确的是( ) A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点 C.函数值y随自变量x的增大而减小 D.当时, 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质判断即可. 【详解】解:由题意可得:, ∴一次函数经过一、二、三象限,函数值y随自变量x的增大而增大,故A、C错; 当时,, ∴图象与y轴交于点,故B正确; 当时,, ∵函数值y随自变量x的增大而增大, ∴当时,,故D错误; 故选:B. 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质,熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键. 知识点2 一次函数的应用 5.(2023郴州)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是( ) A.途中修车花了30min B.修车之前的平均速度是500m/nin C.车修好后的平均速度是80m/min D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 【考点】一次函数的应用.版权所有 【答案】D 【分析】根据图象即可判断A选项,根据“路程 时间=速度”即可判断B和C选项,进一步可判断D选项. 【解答】解:由图象可知,途中修车时间是9:10到9:30共花了20min, 故A不符合题意; 修车之前的平均速度是6000 10=600(m/min), 故B不符合题意; 车修好后的平均速度是(13200﹣6000) 8=900(m/min), 故C不符合题意; 900 600=1.5, ∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍, 故D符合题意, 故选:D. 【点评】本题考查了一次函数的应用,理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键. 6.(2024长沙)对于一次函数y=2x﹣1,下列结论正确的是( ) A.它的图象与y轴交于点(0,﹣1) B.y随x的增大而减小 C.当时,y<0 D.它的图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数的性质即可作答. 【解答】解:A.当x=0时,y=﹣1,则它的图象与y轴交于点(0,﹣1),故本选项符合题意; B.y随x的增大而增大,故本选项不符合题意; C.当时,y>0,故本选项不符合题意; D.它的图象经过第一、三、四象限,故本选项不符合题意; 故选:A. 7.(2023郴州)在一次函数y=(k﹣2)x+3中,y随x的增大而增大,则k的值可以是 3(答案不唯一) (任写一个符合条件的数即可). 【考点】一次函数图象与系数的关系.版权所有 【答案】3(答案不唯一). 【分析】由y随x的增大而增大,利用一次函数的性质可得出k﹣2>0,解之即可得出k的值,再取其内的任意一值即可得出结论. 【解答】解:∵在一次函数y=(k﹣2)x+3的图象中,y随x的增大而增大, ∴k﹣2>0, 解得:k>2. ∴k值可以为3. 故答案为:3(答案不唯一). 【点评】本题考查了一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键. 8.(2023湘潭)我国航天事业发展迅速,2023年5月30日9时31分,神舟十六号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商机,先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销,进价为50元/件. (1)设每件玩具售价为x元,全部售完的利润为y元.求利润y(元)关于售价x(元/件)的函数表达式; (2)当售价定为60元/件时,该玩具销售火爆,该店继续购进一批该种航天模型玩具,并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动,在成功销售完毕后,资助经费恰好10000元,请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具? 【考点】一次函数的应用.版权所有 【答案】(1)y=1000x﹣50000; (2)4000. 【分析】(1)根据每件的利润 件数=总利润求解即可; (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,根据资助经费恰好10000元,列方程,求解即可. 【解答】解:(1)y=1000(x﹣50)=1000x﹣50000; (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具, (60﹣50)(1000+m) 20%=10000, 解得m=4000, 答:该商店继续购进了4000件航天模型玩具. 【点评】本题考查了一次函数的应用,理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键. 9.(2023株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数单位:支),统计如下表: 日需求量n 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数; (2)当n<16时,日利润y(单位:元)关于n的函数表达式为:y=10n﹣80;当n≥16时,日利润为80元. ①当n=14时,问该花店这天的利润为多少元? ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率. 【考点】一次函数的应用;频数与频率.版权所有 【答案】(1)花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天; (2)①当n=14时,该花店这天的利润为60元; ②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为. 【分析】(1)根据表格求解; (2)把n=14代入求解; (3)把y=70代入求解. 【解答】解:(1)1+1+2=4, 答:花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天; (2)①当n=14时,y=10n﹣80=10 14﹣80=60, 答:当n=14时,该花店这天的利润为60元; ②当n<16时,70=10n﹣80,解得:n=15, 当n=15时,有2天, ∴. 答:该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为. 【点评】本题考查了一次函数的应用,理解题意是解题的关键. 知识点3 反比例函数的图象与性质 1. (2022衡阳)如图,在四边形中,,,,平分.设,,则关于的函数关系用图象大致可以表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先证明,过点做于点,证明,利用相似三角形的性质可得函数关系式,从而可得答案. 【详解】解:∵,∴, ∵平分,∴, ∴,则,即为等腰三角形, 过点做于点. 则垂直平分,,, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵在中,, ∴, 故选D. 【点评】本题考查的是角平分线的定义,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,反比例函数的图象,证明是解本题的关键. 2.(2023株洲)下列哪个点在反比例函数的图象上?( ) A.P1(1,﹣4) B.P2(4,﹣1) C.P3(2,4) D. 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.版权所有 【分析】根据反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可. 【解答】解:A.∵1 (﹣4)=﹣4≠4,∴P1(1,﹣4)不在反比例函数的图象上,故选项不符合题意; B.∵4 (﹣1)=﹣4≠4,∴P2(4,﹣1)不在反比例函数的图象上,故选项不符合题意; C.∵2 4=8≠4,∴P3(2,4)不在反比例函数的图象上,故选项不符合题意; D.∵,∴在反比例函数的图象上,故选项符合题意. 故选:D. 【点评】此题考查了反比例函数,熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键. 3.(2023永州)已知点M(2,a)在反比例函数的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.版权所有 【分析】把点(2,a)代入反比例函数解析式,可得a,由k>0可知a>0,可得点M一定在第一象限. 【解答】解:∵点M(2,a)在反比例函数的图象上, ∴a, ∴k>0, ∴a>0, ∴点M一定在第一象限. 故选:A. 方法二: ∵反比例函数中,k>0, ∴图象的两个分支在一、三象限, ∵点M(2,a)在反比例函数的图象上, ∴点M一定在第一象限. 故选:A. 【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征;用到的知识点为:反比例函数的比例系数大于0,图象的两个分支在一、三象限;关键是得到反比例函数的比例系数的符号. 知识点4 反比例函数与几何图形结合(含k的几何意义) 1. (2022邵阳)如图是反比例函数y=的图象,点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点,过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则 AOB的面积是( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】由反比例函数的几何意义可知,k=1,也就是 AOB的面积的2倍是1,求出 AOB的面积是. 【详解】解:设A(x,y)则OB=x,AB=y, ∵A为反比例函数y=图象上一点, ∴xy=1, ∴S ABO=AB•OB=xy= 1=, 故选:B. 【点评】本题考查反比例函数的几何意义,即k的绝对值,等于 AOB的面积的2倍,数形结合比较直观. 2.(2023湘潭)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是反比例函数y(k≠0)图象上的一点,过点A分别作AM⊥x 轴于点M,AN⊥y轴于直N,若四边形AMON的面积为2.则k的值是( ) A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.版权所有 【分析】依据题意,根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解. 【解答】解:由题意,设A(a,b), ∴ab=k. 又S四边形ANOM=2=ab, ∴k=2. 故选:A. 【点评】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用,解题时要能熟悉题意学会转化是关键. 3.(2023•张家界)如图,矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上,点D在AB上,且ADAB,反比例函数y(k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM.若 ODM的面积为3,则k的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质;中心对称.版权所有 【分析】设B点的坐标为(a,b),根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B,M(,),确定D(,b),然后结合图形及反比例函数的意义,得出S ODM=S AOB﹣S AOD﹣S BDM=3,代入求解即可. 【解答】解:∵四边形OCBA是矩形, ∴AB=OC,OA=BC,设B点的坐标为(a,b), ∵矩形OABC的对称中心M, ∴延长OM恰好经过点B,M(,), ∵点D在AB上,且 ADAB, ∴D(,b), ∴BDa, ∴S BDMBD•ha (b)ab, ∵D在反比例函数的图象上, ∴ab=k, ∵S ODM=S AOB﹣S AOD﹣S BDMabkab=3, ∴ab=16, ∴kab=4, 故选:C. 【点评】本题考查了矩形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积等知识,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 4.(2023长沙)如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y(k为常数,k>0,x>0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为B,连接OA.若 OAB的面积为,则k= . 【考点】反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.版权所有 【分析】由k的几何意义可得,从而可求出k的值. 【解答】解: AOB的面积为, 所以k. 故答案为:. 【点评】本题主要考查了k的几何意义.用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键. 知识点5 反比例函数与一次函数综合 1.(2023怀化)如图,反比例函数y(k>0)的图象与过点(﹣1,0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S ABC=9,那么点C的坐标为( ) A.(﹣3,0) B.(5,0) C.(﹣3,0)或(5,0) D.(3,0)或(﹣5,0) 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.版权所有 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式,然后解析式联立成方程组,解方程组求得点B的坐标,根据S ACD+S BCD=S ABC=9,求得CD的长度,进而即可求得点C的坐标. 【解答】解:把点A(1,3)代入y(k>0)得,3, ∴k=3, ∴反比例函数为y, 设直线AB为y=ax+b, 代入点D(﹣1,0),A(1,3)得, 解得, ∴直线AB为yx, 解,得或, ∴B(﹣2,), ∵S ABC=9, ∴S ACD+S BCD, ∴CD=4, ∴点C的坐标为(﹣5,0)或(3,0). 故选:D. 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了待定系数法求函数的解析式,反比例函数与一次函数的交点的求法,三角形面积,熟练掌握待定系数法是解题的关键. 2. (2022湘潭)已知、是平面直角坐标系中两点,连接. (1)如图①,点在线段上,以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切,求过点的反比例函数表达式; (2)如图②,点是线段上一点,连接,将沿翻折,使得点与线段上点重合,求经过、两点的一次函数表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据的坐标,可得直线的解析式,根据题意点为与的交点,求得交点的坐标,即可求解; (2)设,,根据题意求得,根据轴对称的性质结合图形求得,在中,即可求得的值,进而待定系数法求解析式即可求解. 【小问1详解】 、 设直线的解析式为,则, 解得, 则直线的解析式为, 以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切,则, 点为与的交点, , 解得, 则, 设点的反比例函数表达式为,则, ; 【小问2详解】 设, 将沿翻折,使得点与线段上的点重合, , 、 中, ,, 中, 即 解得 则 设直线的解析式为 则 解得 直线的解析式为. 【点评】本题考查了坐标与图形,切线的性质,勾股定理与折叠,求直线解析式,求反比例函数解析式,求两直线交点,数形结合是解题的关键. 4. (2022岳阳)如图,反比例函数与正比例函数的图象交于点和点,点是点关于轴的对称点,连接,. (1)求该反比例函数的解析式; (2)求的面积; (3)请结合函数图象,直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】(1)把点代入可得的值,求得反比例函数的解析式; (2)根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解. (3)根据图象得出不等式的解集即可. 【小问1详解】 解:把点代入得:, ∴, ∴反比例函数的解析式为; 【小问2详解】 ∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点, ∴, ∵点是点关于轴的对称点, ∴, ∴, ∴. 【小问3详解】 根据图象得:不等式解集为或. 【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题,考查了待定系数法求函数解析式,反比例函数的性质,三角形的面积,数形结合是解题的关键. 5. (2022衡阳)如图,反比例函数的图象与一次函数的图象相交于,两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式; (2)设直线交轴于点,点,分别在反比例函数和一次函数图象上,若四边形是平行四边形,求点的坐标. 【答案】(1)反比例函数解析式为,一次函数解析式为 (2)或 【分析】(1)分别将,代入反比例函数解析式,即可求得,的值,再将,两点坐标代入一次函数解析式,求得,的值; (2)若四边形是平行四边形,则,且,即,由此进行求解. 【小问1详解】 解:将点,代入, 得,解得, 点,反比例函数的解析式为; 将点,代入, 得,解得, 一次函数的解析式为. 【小问2详解】 解:将代入,得, ,. 若四边形是平行四边形, 则,且, 设,, 则, 解得. 或. 【点评】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合,熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键. 6. (2022常德)如图,已知正比例函数与反比例函数图象交于,两点. (1)求的解析式并直接写出时的取值范围; (2)以为一条对角线作菱形,它的周长为,在此菱形的四条边中任选一条,求其所在直线的解析式. 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】(1)由点可求出反比例函数的解析式,根据反比例函数的对称性可求出,从而求解出时的取值范围; (2)由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线的图象上且两个点关于原点对称,从而可求出这两个点的坐标即可求解. 【小问1详解】 解:设, 在反比例函数的图象上, , , 由反比例函数图象的性质对称性可知:A与B关于原点对称,即, 当或时,; 【小问2详解】 如图所示,菱形的另外两个点设为M、N, 由菱形的性质和判定可知M、N在直线的图象上且两个点关于原点对称, 不妨设,则, 菱形AMBN的周长为, , ,, , ,即,, 设直线AM的解析式为:, 则:,解得:, AM的解析式为:, 同理可得AN的解析式为:, BM的解析式为:, BN的解析式为: . 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题,涉及了菱形性质的应用,勾股定理等知识,熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法,菱形性质的灵活应用是解题的关键. 7.(2023常德)如图所示,一次函数y1=﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B(3,﹣1). (1)求m的值和反比例函数解析式; (2)当y1>y2时,求x的取值范围. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.版权所有 【分析】(1)把B(3,﹣1)分别代入一次函数y1=﹣x+m与反比例函数,即可求出m的值和反比例函数的解析式; (2)先求出A点坐标,再根据图象即可得到y1>y2时x的取值范围. 【解答】解:(1)∵一次函数y1=﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B(3,﹣1), ∴﹣1=﹣3+m,﹣1, 解得m=2,k=﹣3, ∴反比例函数的解析式为y2; (2)解方程组,得或, ∴A(﹣1,3), 观察图象可得,当y1>y2时,x的取值范围为x<﹣1或0<x<3. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.也考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,以及利用数形结合思想解不等式. 8.(2023湘潭)如图,点A的坐标是(﹣3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将 ABC绕着点B逆时针旋转90 得到 A′BC′. (1)反比例函数y的图象经过点C′,求该反比例函数的表达式; (2)一次函数图象经过A、A′两点,求该一次函数的表达式. 【考点】待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化﹣旋转;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征.版权所有 【分析】(1)根据旋转的性质得出C′的坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式; (2)作A′H⊥y轴于H.证明 AOB≌ BHA′(AAS),推出OA=BH,OB=A′H,求出点A′坐标,再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式. 【解答】解:(1)∵点A的坐标是(﹣3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点, ∴OA=3,OB=4, ∴BC=2, 将 ABC绕着点B逆时针旋转90 得到 A′BC′, ∴C′(2,4), ∵反比例函数y的图象经过点C′, ∴k=2 4=8, ∴该反比例函数的表达式为y; (2)作A′H⊥y轴于H. ∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90 , ∴∠ABO+∠A′BH=90 ,∠ABO+∠BAO=90 , ∴∠BAO=∠A′BH, ∵BA=BA′, ∴ AOB≌ BHA′(AAS), ∴OA=BH,OB=A′H, ∵OA=3,OB=4, ∴BH=OA=3,A′H=OB=4, ∴OH=1, ∴A′(4,1), 设一次函数的解析式为y=ax+b, 把A(﹣3,0),A′(4,1)代入得,, 解得, ∴该一次函数的表达式为yx. 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式,反比例函数图象上的点的坐标特征,坐标与图形的变化﹣旋转等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 9.(2023岳阳)如图,反比例函数y(k为常数,k≠0)与正比例函数y=mx(m为常数,m≠0)的图象交于A(1,2),B两点. (1)求反比例函数和正比例函数的表达式; (2)若y轴上有一点C(0,n), ABC的面积为4,求点C的坐标. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.版权所有 【分析】(1)分别将点A(1,2)反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案; (2)先求出点B的坐标,过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为E,F,然后根据点A、B、C的坐标表示出AE,BF,OC,最后再根据S ABC=S AOC+S BOC=4即可求出点C的坐标. 【解答】解:(1)将点A(1,2)代入,得:k=2, ∴反比例函数的解析式为:, 将点A(1,2)代入y=mx,得:m=2, ∴正比例函数的解析式为:y=2x. (2)解方程组,得:,, ∴点B的坐标为(﹣1,﹣2), 过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为E,F, ∵A(1,2),B(﹣1,﹣2),C(0,n), ∴AE=BF=1,OC=|n|, ∵S ABC=S AOC+S BOC=4, ∴, 即:|n| 1+|n 1=8, ∴|n|=4, ∴n= 4, ∴点C的坐标为(0,4)或(0,﹣4). 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象,解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式,难点是在解答(2)时,过点A,B向y轴作垂线,把 ABC的面积转化为 AOC和 BOC的面积之和,漏解是解答此题的易错点. 10.(2023衡阳)如图,正比例函数yx的图象与反比例函数y(x>0)的图象相交于点A. (1)求点A的坐标. (2)分别以点O、A为圆心,大于OA一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D.求线段OD的长. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.版权所有 【分析】(1)将正比例函数与反比例函数的解析式联立,组成方程组,解方程组即可求出点A的坐标; (2)设点D的坐标为(x,0).根据线段垂直平分线的性质得出AD=OD,依此列出方程(x﹣3)2+42=x2,解方程即可. 【解答】解:(1)解方程组(x>0), 得, ∴点A的坐标为(3,4); (2)设点D的坐标为(x,0). 由题意可知,BC是OA的垂直平分线, ∴AD=OD, ∴(x﹣3)2+42=x2, ∴x, ∴D(,0),OD. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.也考查了线段垂直平分线的性质. 11.(2023株洲)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上. (1)求k的值; (2)连接BP、CP,记 BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值. 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值;正方形的性质;反比例函数的性质.版权所有 【分析】(1)根据点P(1,2)在函数 的图象上,代入即可得到k的值; (2)根据点A(t,0)在x轴负半轴上得到OA=﹣t,根据正方形的性质得到OC=BC=OA=﹣t,根据二次函数的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)∵点P(1,2)在函数 的图象上, ∴2, ∴k=2, 即k的值为2; (2)∵点A(t,0)在x轴负半轴上, ∴OA=﹣t, ∵四边形OABC为正方形, ∴OC=BC=OA=﹣t,BC∥x轴, ∴ BCP的面积为S(﹣t) (2﹣t)t2﹣t, ∴T=2S﹣2t2=2(t2﹣t)﹣2t2=﹣t2﹣2t=﹣(t+1)2+1, ∵﹣1<0, ∴抛物线开口向下, ∴当t=﹣1时,T有最大值,T的最大值是1. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,正方形的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 知识点6 反比例函数的应用 1. (2022怀化)如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图像于A、B两点,过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,若S BCD=5,则a的值为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】设,由S BCD=即可求解. 【详解】解:设, ∵BD⊥y轴 ∴S BCD==5, 解得: 故选:D. 【点评】本题主要考查反比例函数应用,掌握反比例函数的相关知识是解题的关键. 2.(2023怀化)已知压力F(N)、压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式:F=PS.当F为定值时,如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是( ) A. B. C. D. 【考点】反比例函数的应用.版权所有 【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可. 【解答】解:∵压力F(N)、压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式:F=PS. ∴当F为定值时,压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数, 故选:D. 【点评】此题主要考查了反比例的应用,关键是会判断函数图象. 3.(2024湖南)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为 180 . 【分析】把l=0.9,f=200,代入解析式,即可求出k的值. 【解答】解:当l=0.9,f=200时,200, ∴k=180. 故答案为:180. 4.(2023郴州)在实验课上,小明做了一个试验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0<x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表: 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图所示的y1关于x的函数图象. (1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象; (2)观察函数图象,并结合表中的数据: ①猜测y1与x之间的函数关系,并求y1关于x的函数表达式; ②求y2关于x的函数表达式; ③当0<x≤60时,y1随x的增大而 减小 (填“增大”或“减小”),y2随x的增大而 减小 (填“增大”或“减小”),y2的图象可以由y1的图象向 下 (以“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到. (3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围. 【考点】反比例函数的应用;坐标与图形变化﹣平移.版权所有 【分析】(1)描点作出图象即可; (2)①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式; ②由y2与y1关系,结合①可得答案; ③观察图象可得答案; (3)根据19≤y2≤45可得关于x的不等式,可解得x的范围. 【解答】解:(1)作出y2关于x的函数图象如下: (2)①观察表格可知,y1是x的反比例函数, 设y1,把(30,10)代入得:10, ∴k=300, ∴y1关于x的函数表达式是y1; ②∵y1=y2+5, ∴y2+5; ∴y25; ③观察图象可得,当0<x≤60时,y1随x的增大而减小,y2随x的增大而减小,y2的图象可以由y1的图象向下平移得到; 故答案为:减小,减小,下; (3)∵y25,19≤y2≤45, ∴195≤45, ∴2450, ∴6≤x≤12.5. 【点评】本题考查反比例函数的应用,解题的关键是读懂题意,列出函数关系式. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$