6.3.1二项式定理练习-2023-2024学年高二下学期数学 人教A版（2019） 选择性必修第三册

6.3.1　二项式定理 A级必备知识基础练 1.(a+b)2n的展开式的项数是(　　) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1) 2.在(x-)6的展开式中,x3的系数为(　　) A.-40 B.40 C.-40 D.40 3.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　) A.840 B.-840 C.210 D.-210 4.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是(　　) A.-5 B.5 C.-10 D.10 5.使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 6.(多选题)对于+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N*,展开式中有常数项 B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项 7.的展开式中有理项共有　　　项.  8.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　　　.  9.已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示). B级关键能力提升练 10.[2024北京,4]的二项展开式中x3的系数为(　　) A.15 B.6 C.-4 D.-13 11.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.21 12.-2+4-8+…+(-2)n=(　　) A.(-1)n-1 B.(-1)n C.3n D.3n-1 13.在的展开式中,x8的系数为170,则正数a的值为(　　) A. B. C.2 D.1 14.[2024天津,11]在6的展开式中,常数项为　　　　　.  15.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除. 参考答案 1.B　易知(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1. 2.A　由题得,(x-)6的展开式的通项是Tk+1=(-)kx6-k,则x3的系数为(-)3=-40 3.A　由题得(x-y)10的展开式的通项是Tk+1=(-y)kx10-k.令k=4,则(x-y)10的展开式中x6y4的系数为(-)4=840. 4.D　(1-x)5中x3的系数为-=-10,-(1-x)6中x3的系数为-(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10. 5.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B. 6.AD　+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD. 7.4　根据二项展开式的通项Tk+1=当取有理项时,为整数,此时k=0,2,4,6.故有理项共有4项. 8.x4　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4. 9.解 , ∴n=17,Tk+1=2k 令=1,得k=9. ∴T10=x4×29x-3=29x. 故x的系数为29 10.B　Tr+1=x4-r·(-)r=(-1)r,令4-=3,得r=2. x2(-)2=6x3,故选B. 11.B　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3, ∴a2=6. 12.A　∵-2+4-8+…+(-2)n=1-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1. 13.C　由多项式的乘法性质知每个括号里的因式是a,x,-,则x8=x9=x8×1×1,共有2种情况, 则a+x-10的展开式中含x8的项为x9+a2·x8=(-10+45a2)x8. ∵x8的系数为170, ∴-10+45a2=170, 则45a2=180, 即a2=4, 解得a=2. 14.20　∵6的展开式的通项为Tr+1=6-r·r=36-2rx6(r-3),r=0,1,…,6. 令6(r-3)=0,得r=3,∴常数项为30=20. 15.证明 ∵1+2+22+…+-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+…+31+-1=31(31n-1+31n-2+…+),显然31n-1+31n-2+…+为整数, ∴原式能被31整除. 学科网（北京）股份有限公司 $$