11.1.1 三角形的边 教学设计 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 11.1与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边 三角形由三条边组成，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；按边长分类，等边三角形三条边相等，等腰三角形两条边相等，不等边三角形三条边都不相等。 一、新课导入 1.导入课题： 三角形是最基础的多边形图形，你能指出生活中常见的三角形形状的物品吗？关于三角形，你都掌握了哪些基本知识？你能准确绘制出一个三角形吗？ 2.学习目标： 记住三角形的有关概念. 能够用“△ABC”表示三角形，并能将三角形划分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。 在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。利用这一关系，可以判断三条线段是否能构成三角形，并解决相关问题。 3.学习重、难点： 角的度数从“0°”到“90°”是直角三角形，从“0°”到“180°”是任意三角形。 难点：三角形三边关系及应用. 二、分层学习 1.自学指导： 学习任务：课本第三章从“引言”至“练习”之前的部分。 自学时间：5分钟. 学习策略：仔细研读教材的相关章节，标记出你认为关键的段落。 2.自学参考提纲： 什么样的图形叫三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段依次连接其端点所构成的封闭图形称为三角形。 观察左边的图形，标出三角形的边长、角度及顶点位置。 边AB、BC、CA构成三角形的周长，点A、B、C为三角形的顶点，∠A、∠B、∠C是三角形内角。 三角形的角有几种表示方法？对照下方的图形标注出来。 三角形的三条边可以用AB、BC、CA来表示，也可以用x、y、z表示。 用符号语言表述右图的三角形 记作：◇PQR，读作：菱形PQR. 等腰三角形的两腰相等，等边三角形的三边都相等。等边三角形是等腰三角形的特殊形式，即等腰三角形的两腰不仅相等，而且与底边也相等。 有两边长度相等的四边形叫做等腰梯形；四边长度都相等的四边形叫做正方形，正方形是特殊的等腰梯形。 等腰三角形是特殊的三角形，用图示的方法表示它们之间的包含关系。 自主：同学们可根据学习指南进行自主学习。 3.助学： 师助生： 掌握基础：圆的相关知识在幼儿园时期已有接触，本课程是对圆的属性进行深入探讨，这一阶段主要讲解圆的基本概念及两种特定类型的圆的性质，学生能够较为轻松地理解和掌握。 启发性引导：a.辅导学生掌握三角形定义中“各顶点依次首尾相连”的含义。 引导学生理解三角形不仅可以表示为一般的三角形ABC，也可以用符号∆abc表示，或是用顶点名称标记如∆A、∆B、∆C。 学伴互帮：同学们针对各自的学习难题开展合作探讨。 4.强化： 三角形的边长之和为6厘米，其中底边长为2厘米。仿写创作后内容如中所示：三角形的周长是15厘米，若其腰长各为4厘米。 练习：如图，共有5个三角形，其中以AB为边的三角形是△ABC, △ABD, △ABE；以∠C为内角的三角形有△ABC, △ACD, △ACE. 自学指导： 学习内容：课本第4章“原理”至第5章“应用”之间的理论概述部分。 自学时间：5分钟. 探究策略：分析三角形的各类特征。 自学参考提纲： ①思考：探究三角形，我们应当从哪些基本要素开始？ 可以从角和边这两个方面着手. 试着分析：按照角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种类型。根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形三种类型。 按角分，可以分为三种类型：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分，可以分为两种类型：等边三角形和不等边三角形，其中不等边三角形又包括底边和腰不相等的等腰三角形以及三边都不相等的三角形。 绘一绘：你能用图形的方式展示三角形按边长的分类吗？ 自主学习：同学们可根据学习指南进行自主探索。 5.助学： 师助生： 理解几何概念：通过角的性质学生较易掌握三角形分类，但在探讨等腰三角形包含等边三角形这一概念时，一些学生可能会感到困惑。 针对辅导：教师对特定学生的疑难问题进行个别讲解辅导。 同学们共同探讨：三角形的分类依据是边的长度和角的大小。仿照创作后的内容如中所示：伙伴们一起研究：三角形按照边长和角度的不同可以划分为哪些类型。 6.强化： 三角形的分类标准，按边的分类. 1.自学指导： 学习任务：分析三角形三边长度之和的关系。 2.自学时间：5分钟. 路径分析：假设有一个三角形ABC，探索：从顶点A到顶点C有哪几种不同的路线？并对比这些路线的距离。 3.探究提纲： 在图中，假设一只蚂蚁从顶点D出发，沿着三角形的边爬到顶点E，存在多条路径，但路径D→E最短。依据是：两点之间，线段是最短的。因此可以得出结论，三角形任意两边之和必定大于第三边。 在三角形DEF中，可以推导出：DE + EF > DF，DF + EF > DE，DE + DF > EF. ③由②还可以得出： 角A的度数小于角B的度数；角B的度数小于角C的度数；角C的度数小于角A的度数。 根据三角形的基本性质可知：任意两边的和大于第三边。 分析三条线段是否能构成三角形，并解释原因。 a.三角形的边长为3、4、5的是直角三角形，因为3²+4²=5²。 b.三角形的边长为5、6、11的不是直角三角形，因为5²+6²≠11²。 c.三角形的边长为5、6、10的是直角三角形，因为5²+6²=10²。 a.不可以，因为三角形的两边之和小于第三边，即3+4<7；b.不可以，因为三角形的两边之和等于第三边，即5+6=11；c.可以，因为三角形的两边之和大于第三边，即5+6>9。 ⑥亲自动手解决练习题，比较你的解法与教材中的解法是否相同？哪一种更优？ 分析三角形内角和定理在不同情况下的应用为何要分类讨论。 自主学习：同学们可以根据学习指南进行自主学习。 3.助学： 师助生： 掌握三角形性质：本节课重点分析三角形三边的关系。三角形中“任意两边之和大于第三边”，学生通过直观观察可以容易理解；而“任意两边之差小于第三边”的概念对学生来说较难掌握。此外，解决例题的方法多种多样，但学生尚未熟练运用代数方法解决几何问题，因此，教师需准确把握学生在理解上的难点所在。 差异指导： 总结学生通过观察或测量得出的三角形三边不等关系，构建完整的知识框架，教师演示并引导推导步骤。 指导学生亲自绘制三角形，随后阐述通过绘图解决问题的优势，培养学生运用几何图形解决实际问题的思维习惯。 师导学：教师适当引导学生的学习过程。 4.强化： （1）三角形三边不等关系. （2）归纳例题的解题要领. （3）练习： 一个等边三角形的周长为30cm，只知其中一边的长为10cm，则这个等边三角形的边长为10cm。 下列角度的边长不能构成三角形的是（A） A.三角形的边长分别为3厘米、8厘米、4厘米，其中最短边与最长边之和是7厘米。B.三角形的边长分别为4厘米、9厘米、6厘米，其中最短边与最长边之和是10厘米。C.三角形的边长分别为15厘米、20厘米、8厘米，其中最短边与最长边之和是27厘米。D.三角形的边长分别为9厘米、15厘米、8厘米，其中最短边与最长边之和是16厘米。 三、评价 学生自我反思（基于三维目标）：学生梳理并分享自己在知识掌握、能力提升及情感态度方面的进步与遇到的难题。 教师对学生的评价： 过程性评价：对学生在学习过程中的思考、实践、进步和困难进行记录与分析。 纸笔评价：课堂评价检测. 教师自我评价（教学反思）: 在学习过程中，鼓励学生独立思考和集体讨论，通过观察、假设、验证、数据整理、总结、推理等认知步骤，掌握数学知识与技巧，领略教学互动的策略，进而提升学生的情感体验、态度塑造和价值观念。 一、概念掌握（每题10分，共50分） 以下判断：①等边三角形一定是等腰三角形；②三角形根据边长可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③三角形的任意两边之和大于第三边；④三角形按照角度可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。其中正确的是（D）。 A.一个角 B.两个角 C.三个角 D.四个角 ①三角形两边之和大于第三边②三角形两边的差小于第三边中所示，在三角形ABC中，AB + BC > AC，AC BC < AB。 A. AB+AC>BC B. AE+ED>AD 在三角形ABC中，边AB的长度大于边AC，边AC的长度大于边BC。 根据三角形的三边关系定理，能组成三角形的选项是（C）。 A. 在三角形的一边长为3厘米，另外两边分别为8厘米和12厘米的情况下，该三角形是一个合法的三角形。B. 在三角形的一边长为6厘米，另外两边分别为8厘米和15厘米的情况下，该三角形同样是一个合法的三角形。 C.一段边长为2cm，另一段边长为3cm的直角三角形的斜边长是5cm。 D.一段边长为6.3cm，另一段边长为6.3cm的等腰三角形的底边长是12cm。 如图，为估算森林中两棵树C和D的距离，小李在森林里选取一点E，测得EC＝25米，ED＝18米，C，D间的距离不可能是（A）。 A.20米 B.15米 C.10米 D.5米 已知三角形的两边长分别为6cm和4cm，那么第三边的长y的取值范围是3cm<y<10cm。 三角形ABC的边AB是5厘米，边AC是8厘米，边BC是10厘米。三角形DEF的边DE是6厘米，边DF是8厘米，边EF是10厘米。 已知等边三角形的一边长等于6，另一边长等于6，求这个三角形的周长。 仿写创作后内容如中所示：解：假设该等边三角形的边长为5，三角形的三边长分别为5，5，5。因为5+5>5，且55<5，此时可以构成三角形。 如果该等边三角形的边长为8，三角形的三边长分别为8，8，8，所以这个等边三角形的周长为8+8+8=24. 在图中△DEF中，DE=DF，DG=EG=EF，那么图中有4个等腰三角形。 角的度数从“0°”到“90°”是90度，从“30°”到“120°”是90度。 等边三角形的周长为30厘米。 (1)若已知三角形的一腰是另一腰的2倍，求该三角形各边的长；(2)若已知三角形的一边长为6厘米，求该三角形的其他两边的可能长度。） 解：（1）设三角形的两边长分别为y厘米和y厘米，则底边长为2y厘米. x+2x+2x=20 解得x=4. 因此，三角形的三边长度分别是5cm, 10cm, 10cm。 如果8厘米长的边为底边，设腰长为y厘米，则8+2y=24，解得y=8；如果8厘米长的边为腰，设底边长为y厘米，则2×8+y=24，解得y=8。由以上讨论可知，其他两边的长分别为8厘米，8厘米或8厘米，8厘米。 分析图形的边长与角度，解答相关问题。 第二十个图形中共有110个阴影三角形。 用数字m表示第m个图形中白色三角形的数量。 学科网（北京）股份有限公司 $$