精品解析：陕西省宝鸡市渭滨区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷

高一年级数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据复数乘法运算法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 2. 已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出的直观图进行求解. 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 故选：D 3. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ） A. ，5 B. 5，5 C. ，6 D. 5，6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解. 【详解】中位数 ，众数为4，,由题意知，解得， 该组数据的平均数为， 该组数据的方差是， 因为，所以该组数据的60%分位数是6； 故选：C. 5. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线与所成角. 【详解】在平行六面体中，连接，， 则四边形是平行四边形，，于是是异面直线与所成角或其补角， 由，棱两两的夹角均为， 得都是正三角形，即，则， 所以异面直线与所成角为. 故选：C 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】因为的面积为，所以， 又∵，∴，则， 故选:D. 8. 已知三棱锥所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解. 【详解】因为平面BCD， 所以，， ∴， 在中，， ∴， ∴. 如图所示： 三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球， 设球O的半径为R，则， 解得， 所以球O的表面积为， 故选：A. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据的中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的形式可求样本均值，从而可判断A，根据方差的性质可判断C的正误，根据极差和中位数的计算方法可判断BD的正误. 【详解】对于A，因为方差，故，所以这组样本数据的总和等于，故A正确. 对于C，数据，，…，的方差为，故其标准差为，故C正确. 对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错误. 对于D，新样本数据的极差为， 故新样本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误. 故选：AC. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 若非零满足，则与的夹角是 C. 已知不能作为平面内所有向量的一组基底 D. 已知且与夹角为锐角，则且 【答案】CD 【解析】 【分析】由向量的数量积分析选项A不一定正确；设，求出，进而求出，最后由夹角公式求出夹角，判断B不正确；由于，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，C正确；与夹角为锐角，由数量积大于零且不共线求解即可. 【详解】，， 所以，所以不一定有，故A错误； 设，， 所以，， ， 则与的夹角是，所以B错误； ，因为，所以，所以C正确； ，，因为与夹角为锐角， 所以且， 解得且，故D正确. 故选：CD 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 个球都是红球的概率为 B. 个球中恰有个红球的概率为 C. 至少有个红球的概率为 D. 个球不都是红球的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式分析求解 【详解】记事件为从甲袋中摸出一个红球，事件为从乙袋中摸出一个红球，则 ，且事件相互独立， 对于A，个球都是红球的概率为，所以A正确， 对于B，个球中恰有个红球的概率为，所以B正确， 对于C，至少有个红球的概率为为，所以C正确， 对于D，个球不都是红球的概率为，所以D错误， 故选：ABC 12. 已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ） A. 棱台的高为 B. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C. 棱台的表面积为 D. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正三棱台的特征上下底面都是等边三角形，侧面都是等腰梯形，作出三棱台的高，从而根据表面积公式可计算表面积，由线面角、二面角的定义先找出所成的角，然后借助直角三角形代入数据计算即可. 【详解】由题可知，在正三棱台中，, 在平面中，由点向作垂线垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE， 如图，在平面中，由点向AE作垂线，垂足为F，连接DF， 在等腰梯形中，，,，则，， 所以棱台的表面积为：，故C正确； 又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高，所以且都在面内， 所以平面，面，故， 在中，， 在中，， 所以棱台的高为，故A错误； 棱台的侧棱与底面所成角为故D错误； 棱台的侧面与底面所成的二面角为，故B正确 故选：BC 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为____. 【答案】 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量的公式：，带入即可求出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意知： 又向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 15. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得出答案. 【详解】因为点为边上的点，且， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 16. 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为和，从而求出小球的体积. 【详解】解：设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，， 如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，且，设球的半径为R，则，∵，∴，则，，∴，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，∴，故小球的体积. 故答案为： 【点睛】本题考查球的体积公式，考查两圆相切的性质，考查正四棱锥的性质，考查学生数形结合方法的应用，属于中档题. 四､解答题：本题共5小题，共70分.每题14分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）当时，求点的坐标； （2）若，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标运算得出点的坐标； （2）由向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 因为点，所以． 又因为点满足，所以． 当时，，所以， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由点，可得， 因为，且， 所以， 所以． 18. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （1）求的最小值； （2）若，求实数的值； （3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的模长公式求得，再结合二次函数求最值即可； （2）利用复数的几何意义及向量垂直的坐标表示可求解； （3）利用复数的除法运算，结合第一象限点的特点，列关于的不等式，求解即可. 【小问1详解】 ，， 故的最小值为 【小问2详解】 由题设知， ，，解得 【小问3详解】 由题知，解得 所以实数的取值范围是 19. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，． （1）求的值； （2）求这100户居民问卷评分的中位数； （3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率． 【答案】（1）002 （2）77.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件, 由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1, 即可求出的值; （2）结合频率分布直方图的性质, 以及中位数的定义, 即可求解; （3）根据已知条件, 结合分层抽样的定义, 列举法, 以及古典概型的概率公式, 即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得, , 解得 ; 【小问2详解】 由频率分布直方图可得, ， 则中位数在 之间, 设为 , 则 , 解得 , 故中位数为 77.5 分; 【小问3详解】 评分在 对应的频率为 0.1,0.2, 从评分在 和 内的居民中共抽取 6 人, 则评分在 占 2 人, 设为, 评分在 占 4 人, , 从6人中选取 2 人的情况为: , 共15种, 其中这 2 人中恰有 1 人的评分在 的情况为:, 共8种, 故这 2 人中恰有 1 人的评分在 内的概率为: . 20. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值； （2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可知：， 由，故， ∴ ∴， ∴，又， 所以； 【小问2详解】 根据数量积的定义，由，得， 又，在中由余弦定理得： ∵，∴， 所以 21. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. （1）证明：平面平面； （2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知是边长为的正三角形，那么平面直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 4. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ） A. ，5 B. 5，5 C. ，6 D. 5，6 5. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C 外心重心垂心 D. 外心重心内心 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（ ） A B. C. 2 D. 4 8. 已知三棱锥所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的总和等于100 B. 这组样本数据的中位数一定为2 C. 数据，，…，的标准差为3s D. 现有一组新样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 若非零满足，则与夹角是 C. 已知不能作为平面内所有向量的一组基底 D. 已知且与夹角为锐角，则且 11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 个球都是红球的概率为 B. 个球中恰有个红球的概率为 C. 至少有个红球的概率为 D. 个球不都是红球的概率为 12. 已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ） A. 棱台的高为 B. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 C. 棱台的表面积为 D. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，为单位向量，向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为____. 14. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 15. 在中，点为边上的点，且，若，则的值是__________. 16. 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为________. 四､解答题：本题共5小题，共70分.每题14分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）当时，求点的坐标； （2）若，求的值． 18. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （1）求的最小值； （2）若，求实数的值； （3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 19. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，． （1）求的值； （2）求这100户居民问卷评分的中位数； （3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率． 20. 记的内角的对边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，是中线，求的长. 21. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. （1）证明：平面平面； （2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$