专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 1．（23-24七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）的相反数是它本身，的相反数是最大的负整数，的绝对值等于3，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 3．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）有理数：，，， （1）将上面各数在数轴上表示出来，并把这些数用“＜“连接． （2）在上面的数中是否有相反数？若有，请写出来． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．和 B．和| C．和| D．和 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 3．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，四个有理数在数轴上分别对应点，，，，若点，表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为10，则点B表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 3．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B．−2或−8 C．8或−8 D．2或−2 2．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 3．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 3．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)用“”连接：0，a，b，c； (2)化简代数式：． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 6．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 9．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 12．（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 13．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 1．（23-24七年级上·天津宝坻·期中）下列说法不正确的是（    ） A．互为相反数的两个数到原点的距离相等 B．所有的有理数都有相反数 C．正数和负数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 互为相反数的两个数到原点的距离相等，正确，故本选项不符合题意； B. 所有的有理数都有相反数，正确，故本选项不符合题意； C. 绝对值相等的正数和负数互为相反数，故错误，符合题意； D. 在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数． 2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）的相反数是它本身，的相反数是最大的负整数，的绝对值等于3，则的值是 ． 【答案】或者2 【分析】利用相反数的定义，最大的负整数为，它的相反数为1，绝对值等于3的数是3或，求出a、b、c的值，代入原式计算即可得到结果； 【详解】解：根据题意得 或， 当时，， 当时，， 故的值是：或者2， 故答案为：或者2． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的定义； （1）根据相反数的定义及确定点表示的数是，点表示的数是，由，得点所表示的数，即可求出； （2）根据数轴上两点间的距离分别得到点，，表示的数，即可求出的值． 【详解】（1）解：点，所表示的数互为相反数，， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， 点所表示的数是， 此时， （2）数轴上点表示的数为，， 点所表示的数是， ， 点所表示的数是， ． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24七年级上·黑龙江牡丹江·期中）下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．与 B．与 C．－|－0.01|与 D．与0.3 【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【详解】解：A．−（＋5）＝−5，＋（−5）＝−5，选项A不符合题意； B．−（＋0.5）＝−0.5，与相等，选项B不符合题意； C．−|−0.01|＝−0.01，−（）＝＝0.01，−0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意； D．与0.3不是相反数，选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义即可求解． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 【答案】3 【分析】根据相反数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，若、互为相反数，则，故本小题正确； ②，，、互为相反数，故本小题正确； ③的相反数是0，若时，无意义，故本小题错误； ④，，、互为相反数，故本小题正确． 综上所述：正确的结论有①②④，共3个， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，在解答此题时要注意0的相反数是0． 3．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）有理数：，，， （1）将上面各数在数轴上表示出来，并把这些数用“＜“连接． （2）在上面的数中是否有相反数？若有，请写出来． 【答案】（1）作图见解析，；（2）有相反数，、互为相反数 【分析】（1）根据数轴的性质作图，即可得到答案； （2）根据数轴和相反数的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）数轴表示如下： ； （2）根据（1）的结论，得、到原点的距离相等，符号相反 ∴、互为相反数． 【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数大小比较、相反数的性质，从而完成求解． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相等，不符合题意； B、，，两数不相等，符合题意； C、，，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各对数中互为相反数的是（　　） A．和 B．和| C．和| D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，绝对值的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， ； ； ； 和互为相反数 故选：． 2．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． （1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2），， ， ； （3），， ， ； （4），， ， ． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可． 【详解】点表示的数为x， 表示的数是， 点和点A表示的数互为相反数， 点所表示的数是， 故选：． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期中）如图，四个有理数在数轴上分别对应点，，，，若点，表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据相反数定义可得原点在、的中点处，进而可得点距离原点最远，因此表示绝对值最大的数的点是． 【详解】解：点，表示的有理数互为相反数， 原点在、的中点处， 图中表示绝对值最大的数的点是． 故选D． 【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． 2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上，若A，B表示互为相反数的两个数且A在B的右侧，并且这两点的距离为10，则点B表示的数是 ． 【答案】-5 【分析】数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等求出即可． 【详解】∵点A，B表示互为相反数的两个数，A在B的右侧，并且这两点的距离为10， ∴点B表示的数为﹣×10＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了数轴和相反数，能熟记知识点（数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等）是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数，请回答下列问题： (1)填空：C表示的数是_________． (2)把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，． (3)将(2)中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相反数的意义，有理数与数轴，根据数轴比较有理数的大小； （1）根据题意确定原点的位置，进而即可求解； （2）先化简，，然后再在数轴上表示各数，即可求解； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”连接起来． 【详解】（1）解：∵直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点、表示的数是互为相反数， ∴点表示是数是，点表示的数是 故答案为：． （2）解：，， 如图所示， （3）解：根据数轴可得， 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在数轴上，下列数表示的点离原点最远的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值的定义，根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 【详解】解：∵， ∴离原点最远的是， 故选：A． 1．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合的整数a的值有（    ） A．5个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 3．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 1．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的值等于（    ） A．8 B．−2或−8 C．8或−8 D．2或−2 【答案】B 【分析】由绝对值得到的值，即可求出答案． 【详解】解：由于，， 故， 当时，符合题意，此时； 当时，，不符合题意； 当时，符合题意，此时； 当时，，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值的计算，熟练掌握绝对值知识点是解题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只是不显示运算，接着再输入整数后则显示的结果，例如：依次输入1，2，则输出的结果是，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，且k的最大值为10，那么k的最小值为 【答案】6 【分析】根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．此题考查了含有绝对值的最值问题，虽然以计算为载体，但首先要有试验观察和分情况讨论的能力． 【详解】解：∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10， ∴设b为较大数字，当时，， 解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 设b为较大数字，当时，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：， 综上所述：k的最小值为6． 故答案为：6 3．（23-24七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8； (2)6或0. (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算、即可求解； （2）解绝对值方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得： 1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：； 故答案为：3，8； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 ∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，， ∴的最小值； ， ∵，， ∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为. 故答案为：． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题，在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号，解题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式 ， ， 故选：． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 3．（23-24七年级上·湖南常德·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．    (1)用“”连接：0，a，b，c； (2)化简代数式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值和有理数大小比较等知识点，能根据数轴得出和是解此题的关键． （1）根据数轴比较即可； （2）根据数轴得出，再去掉绝对值符号，最后求出答案即可． 【详解】（1）从数轴可知：； （2）从数轴可知：， 所以 ． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20． 故选B 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【详解】解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数，数轴和绝对值，根据数在数轴上对应的点在原点左侧，则该数是一个负数，根据该点到原点的距离为个单位长度，则这个数的绝对值是，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵实数在数轴上对应的点在原点左侧， ∴该数是一个负数， ∵该点到原点的距离为个单位长度， ∴这个数的绝对值是， ∴这个数是， 故选：． 3．（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 4．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误， 故选． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 7．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，数轴上两点的距离，解题的关键是以和2为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和2为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知在数轴上有三点，，，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．沿，，三点中的一点折叠数轴，若另外两点互相重合，则点表示的数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握相关概念是解题的关键．先根据偶次方和绝对值的非负性，可得和b的值，再按照三种情况分类讨论：①若沿点折叠，点与点重合，②若沿点折叠，点与点重合，③若沿点折叠，点与点重合，分别求得点表示的数即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，； ①若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ②若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴点表示的数为：； ③若沿点折叠，点与点重合， ∵， ∴， 点表示的数为：； 故答案为：或或． 9．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 12．（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 13．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得解；③由的意义，结合即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【答案】(1)8；12 (2) (3)有最小值，最小值为4 (4)11 【分析】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和，即可； （4）根据题意可得表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和，即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：8；12． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据题意得：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和， ∵， ∴有最小值，最小值为4； （4）解：根据题意得：表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和， ∴当时，有最小值，最小值为． 15．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能求出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)7 (3)4 (4)①；② 【分析】（1）由题意可知，，再解方程即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）①先确定点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后求出时间即可； ②先求出同时都经过这5个点需要运动的次数，然后求出运动的总路程，最后求出时间即可． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）解：∵， ∴， 故答案为：4． （4）解：①∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， ∵点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 【点睛】此题考查了数轴，用数轴上点表示有理数，数轴上两点间距离公式，有理数混合运算，规律探索，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$