圆专题-确定起跑线（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册（人教版）

《圆》专题：确定起跑线 由图可得： （1） 每条跑道都是由2条直跑道和2条弯跑道组成，且两个弯道合起来是一个圆； （2） 每条跑道长度=直道长度×2+圆周长 （3）直道相同，弯道不同（圆周长不同），即：相邻两条跑道的长度差，就是两个圆的周长差。 ( 都是跑400米，为什么运动员在不同起跑线？ 因终点相同，若在同一起跑线上，外圈跑道的运动员跑的路程要长，所以外圈的起跑线的位置应该 往前移 。 )（4）相邻跑道起跑线相差的距离=2π×跑道宽 【推导过程】 设跑道宽度为L，内跑道直径为d，则外跑道直径为d+2L 内跑道圆弧长：πd ( 移多少？ )外跑道圆弧长：π（d+2L） 两跑道长度相差：π（d+2L）-πd=2πL 【例1】：看图填空。 根据下图可知，一条直跑道的长度是（85.96）m，第一条半圆形跑道的直径是（72.6）m，第二条半圆形跑道的直径是（75.1）m，第三条半圆形跑道的直径是（77.6）m，以后每条半圆形跑道的直径都比前一条半圆形跑道的直径大（2.5）m。 【分析】：通过观察图形可知，每条跑道的直道长度是85.96m，已知最内侧，即第一条半圆形跑道直径是72.6m，每条跑道的宽是1.25m，则由内到外每条半圆形跑道的直径比前一条的直径多：1.25×2=2.5m。 所以，第二条半圆形跑道直径：72.6+1.25×2=75.1（m） 第三条半圆形跑道直径：75.1+1.25×2=77.6（m） 【例2】：如右图，小红和小明分别从A、B处出发，沿半圆走到C、D。小红所走的路线半径为10m，她走过的路程是（31.4）m。小明所走的路线半径是（11.2）米，走过的路程是（35.168）米。两人所走的路程相差（3.768）m。 【分析】：由图可得，小红走的是半径为10m的圆周长一半，走过的路程是：2×10π÷2=31.4（m）； 小明所走路线的半径是：10+1.2=11.2（m），走过的路程是：2×11.2π÷2=35.168（m）； 两人所走的路程相差：35.168-31.4=3.768（m）。 【例3】：如图是一个运动场，两头是半圆形，中间是一个长方形的足球场。这个运动场的周长是多少米？面积是多少米？ 【分析】：由图形可知： 图形周长=1个圆周长+2条长方形的长 图形面积=1个圆面积+长方形面积 且圆的直径=50m，长方形的长=125米，据此即可解答。 【解】: 周长：50π+125×2=407（m） 面积：π×（50÷2）²+50×125=8212.5（m²） 答：这个运动场的周长是 407米，面积是8212.5平方米。 【例4】：如图，一条跑道的宽是7.2米，求这条跑道最外侧和最内侧的周长差。 【分析】：求这条跑道最内侧和最外侧的周长差，就是求内外圆的周长之差。 由图可知，内圆直径是50m，外圆直径是50+7.2×2=64.4（m）。 【解】：（50+7.2×2）π-50π=45.216（m） ( 直接套用公式： 两跑道 长度差 =2 π× 跑道宽 即：2 π× 7.2=45.216（m） )答：这条跑道最内侧和最外侧的周长差是45.216米。 【例5】：标准的400米跑道，半圆形跑道半径为36.3米，一段直道长度是多少米？ 【分析】：已知跑道长度=直道长度×2+圆周长，则一段直道长度=跑道长度÷2 - 1个半圆跑道长度，据此即可解答。 【解】：1个半圆形跑道长度：2×36.3π÷2=113.982（m） 一段直道长度：400÷2-113.982=86.018（m） 答：一段直道长度是86.018米。 【例6】：如图所示，实验小学有一个200米的环形跑道，它由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50米，每条跑道宽为1.25米。 （1） 高果沿着第2条跑道（从里向外数）跑了一圈，她跑了多少米？ 【分析】：根据“每条跑道长度=直道长度×2+圆周长”即可解答。 其中：一段直道长50米，半圆形跑道直径=31.85+1.25×2=34.35（m） 【解】：50×2+π（31.85+1.25×2）=207.859（m） 答：她跑了207.859米。 （2） 如果在这个跑道上进行200米赛跑，终点位置相同，请问第4条跑道的起跑线与第1条跑道相差多少米？ 【分析】：根据“相邻跑道起跑线相差的距离=2π×跑道宽”解答，有一点注意，“跑道宽”不能直接套用题中的1.25。第1条跑道和第4条跑道相差3个1.25，即：1.25×3=3.75（m）。 【解】：起跑线相差=2π×1.25×3=23.55（m） 答：第4条跑道的起跑线与第1条跑道相差23.55米。 （3） 若在这个跑道上进行100米赛跑，终点位置相同，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【分析】：若在这个跑道上进行100米赛跑，第1条跑道的同学刚好跑半圆，只经过1个弯道，则相邻跑道外道比内道多：半个圆的圆弧之差，即：（π×跑道宽）米，3.14×1.25=3.925（m） 【解】：3.14×1.25=3.925（米） 答：每相邻两条跑道的起跑线相差3.925米。 【例7】：下图是某小学新建成的400m塑胶跑道。直跑道长85.96m，第一条半圆形跑道的直径为72.6m。每条跑道宽1.2m。 （1） 进行800米比赛时，如果全程不变道，那么在设置起点时，每一道的起跑线比前一道提前多少米？ 【分析】：已知跑道宽1.2米，由于800米赛跑全程不变道，刚好跑2圈，经过4个弯道，相邻跑道外道比内道多：2×圆周长之差，即：2×（2π×跑道宽）米。 【解】：2×2×3.14×1.2=15.072（米） 答：进行800米比赛时，在设置起点时，每一道的起跑线比前一道提前15.072米。 （2） 进行200米比赛时，第四道的起跑线比第一条提前多少？ 【分析】：进行200米比赛，刚好跑半圈，经过1个弯道，相邻跑道外道比内道多：半圆的弧长之差，即：（π×跑道宽）米，而第4跑道和第1跑道相差这样的3个，即：3×（π×跑道宽）米。 【解】；3×3.14×1.2=11.304（米） 答：进行200米比赛时，第四道的起跑线比第一条提前11.304米。 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$