精品解析：辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上. 4考试结束，将答题卡和答题纸一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各角中与终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用终点相同的角的概念可解. 【详解】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，. 故选：B. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】运用复数除法运算进行化简，根据几何意义得解. 【详解】. 则在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据求模公式及数量积公式即可求解. 【详解】， , 故选：B 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正四棱台的侧面积求出斜高，再求正四棱台的高，根据四棱台的体积公式求解. 【详解】由为四棱台的斜高. 设四棱台的高为，则， 所以四棱台的体积为：. 故选：C 5. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. 6. 已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【详解】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 7. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得为等边三角形，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由，得为等边三角形， 故过点作交于点，则为中点， 所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反， 由是中点，为中点，有. 故选：C 8. 设集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】运用正切函数的单调性，对称性和周期性可解题. 【详解】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称，则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 在中，为边上一动点，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 当为角的角平分线时， D. 当为中点时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理即可得解；对于B，由A结合正弦定理即可得解；对于C，由计算即可得解；对于D，由两边平方计算即可得解. 【详解】对于A，由题意及余弦定理得， ，故A正确； 对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，故B正确； 对于C，当为角的角平分线时，则由， 得， 所以， 即，故C正确； 对于D，当为中点时，有， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与交于点，则 D. 当时，S为五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线角的概念，构造异面直线缩成的角，求角的三角函数，判断A的真假；根据的长度，确定界面的形状，判断截面的形状，可判断BCD的真假. 【详解】正方体的棱长为为的中点， 对于A，，直线与直线所成角为， 所以，A错误； 对于B，，即为中点，此时，， ，则截面为等腰梯形，B正确； 对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于， 由，得，由是的中点，，得， 因此，C正确； 对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于， 交延长线于点，连接交于点，连接得截面， 过点的平面与正方体的5个表面相交， 因此截面是五边形，D正确 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，且（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件变形为，再利用复数相等，即可求的值. 【详解】，则， 故答案为： 13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________. 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据给定的图形，利用直角三角形边角关系得，再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 结合图形知，，即， 两式平方相加得， 即，所以. 故答案为：. 14. 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值. 【详解】 取中点为,过作交于，则,即为中点. 因平面,所以平面. 因为,所以, 所以，, 所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径. 由 又,当且仅当,等号成立,此时, 所以球半径,故, 该“鞠”的体积最小值为 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在同一平面内的三个向量，若. （1）若，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可. 【小问1详解】 ，，其中， ， 或. 【小问2详解】 与垂直，， 于是，， ， . 16. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数解析式； （2），求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图可得，借助，求出，代入点，求出 即可. （2）运用整体代入求解即可； （3）运用一元二次不等式解法解出，得，再借助三角函数图像性质解函数不等式即可 【小问1详解】 由图可得， 则，因为，且，所以， 所以， 由图可知， 则，解得， 因为，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 设， ， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 由，得， 则，， 解得或， 解得或. 又， 所以. 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）根据余弦定理及基本不等式可得，进而可得面积的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 故， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 在中，由余弦定理可得, 即， 所以，当且仅当时，取得到等号， 此时面积的最大值. 18. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱表面积公式即可求解； （2）根据，，得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，确定当三点共线时取得最小值，求出，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面半径，圆柱的侧面积， 圆柱的底面积为，所以表面积. 【小问2详解】 由题意知平面，又平面， 所以， 而平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面； 【小问3详解】 将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上. 当三点共线时取得最小值，为， ， ， 所以在三角形中，由余弦定理可得：， 所以的最小值等于. 19. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． （1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； （2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 【答案】（1）； （2），增区间为，减区间为，. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义，由直四棱柱的结构特征，分别求出A、处的离散曲率，相加后乘以4即可求得答案. （2）由曲率定义可得，应用三角形面积公式求底面积，根据棱柱体积公式写出体积解析式，再由正弦型函数的性质求单调区间. 【小问1详解】 在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形， 由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等， 所以处曲率为，而处的曲率为，又， 所以、两处曲率和为， 故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和. 【小问2详解】 由题设，处的曲率，故， 所以直四棱柱底面面积为， 故直四棱柱高为1，故体积为， 令，，可得，，即，上递增； 令，，可得，，即，上递减； 所以增区间为，减区间为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷､第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目､试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上. 3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上. 4考试结束，将答题卡和答题纸一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列各角中与终边相同角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 31 4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 5. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2024 D. 2025 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 在中，为边上一动点，则（ ） A. B. 外接圆半径为 C. 当为角的角平分线时， D. 当为中点时， 10. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，S与交于点，则 D. 当时，S为五边形 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，且（其中为虚数单位），则__________. 13. 2002年8月在北京召开国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________. 14. 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在同一平面内的三个向量，若. （1）若，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值. 16. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2），求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围. 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）已知为中点，底边上中线长为时，求面积的最大值. 18. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的表面积； （2）证明：平面平面； （3）若是的中点，点在线段上，求的最小值. 19. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且． （1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和； （2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$