第一章 空间向量与立体几何章末测试卷01-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第一章 空间向量与立体几何章末测试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 2．在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 4．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，满足，，给出下列结论： ①；    ②若是锐角，则； ③若是钝角，则是钝角；    ④若且，则是锐角. 其中正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②④ 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 10．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 11．在正方体中，O为面的中心.记直线为，直线BO为，直线与所成角为γ，平面OBD与平面ABCD所成锐二面角为δ，则（    ） A． B． C．与点A关于对称的点在正方体内 D．与点C关于对称的点在正方体外 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 13．如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 14．如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 16．（15分）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 18．（17分）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 19．（17分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第一章 空间向量与立体几何章末测试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 2．在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，令为与所成夹角， 则 . 故选：A 3．给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【详解】①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 4．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以点到直线的距离为. 故选：D 5．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：令，则， ，则.判断错误； 选项B：令，则，， ，则.判断错误； 选项C：令，则，， ，则.判断错误； 选项D：由，得，所以， ， 则成立.判断正确. 故选：D. 6．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 7．在三棱锥中，满足，，给出下列结论： ①；    ②若是锐角，则； ③若是钝角，则是钝角；    ④若且，则是锐角. 其中正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】因为，，所以，， 对于①，， 则 ，故①错误； 对于②，若是锐角，则， ，故②正确； 对于③，若是钝角，则， 若， 则， 此时是锐角，故③错误； 对于④，若且， ， 因为，， 所以，所以是锐角，故④正确. 故选：D. 8．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 【答案】D 【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 【答案】ABD 【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确； 因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 故选：ABD 10．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 【答案】AC 【详解】对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，, ，因为，所以， 所以，即， 又因为点P在正方形内部（含边界）运动，所以，所以点P的轨迹长为，故A正确； 对于选项B，如图，连接，，由正方体的性质知，， 所以四点共面，平面，故B不正确； 对于选项C，如图，取的中点F，连接，设， 连接，则几何体为斜三棱柱， 从而， 在三棱柱中，, 其中, , ∴, 又，故C正确； 对于选项D，通过平移直线可知，直线与，AC均成角，那么只要过点P作直线与平行即可满足与，AC均成角，这样的直线有无数条，故D不正确, 故选：AC. 【点睛】思路点睛：对于选项A，由轨迹可以想到，是否可以把动点的轨迹方程求出，在根据方程得到轨迹，从而求出轨迹长度；对于选项B，判断异面，只需要证明共平面就可以反证出不异面；对于选项C，在求解三棱锥的体积时一般可以通过转换顶点，更换几何体的底面和高求解，也可以将三棱锥的体积转化为几个容易求解的几何体的体积差求解；对于选项D，通过平移找到和，AC均成角直线即可解决问题. 11．在正方体中，O为面的中心.记直线为，直线BO为，直线与所成角为γ，平面OBD与平面ABCD所成锐二面角为δ，则（    ） A． B． C．与点A关于对称的点在正方体内 D．与点C关于对称的点在正方体外 【答案】ABD 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则 ， 则，， 所以， 所以，故A正确； 设平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则， 所以，故B正确； 因为， 则点A到的距离为， 而到正方体的对角面的距离为，即到的距离， 点A关于对称的点在正方体的对角面的另一侧的最远距离即为， 因为，所以点A关于对称的点在正方体外，故C错误； 因为， 则点C到的距离为， 则点C关于对称的点到的距离为， 由对称性可得，点C关于对称的点一侧正方体内的点到的距离小于， 而，所以点C关于对称的点在正方体外，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以. 故答案为：. 13．如图，在一个60°的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为 【答案】 【详解】因为,所以， 由题意，，则， 所以， 因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且二面角大小为60°，所以， 而，，于是, 所以. 故答案为：. 14．如图，在直三棱柱中，，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，由已知，，两两互相垂直， 以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 可得，，，， 设，，， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，， 因为平面，所以, , 又， ，可得， ，， ， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得 （2）依题意可得， 所以 ， 所以，即. 16．（15分）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 18．（17分）如图，在底面边长为2，侧棱长为6的正三棱柱中，一细绳自点绕正三棱柱的侧面一周后到达点，绳子拉紧后与侧棱分别交于点，此时绳子最短． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，以点为原点，为轴的正方向，为轴的正方向，建立直角坐标系． 由于绳子的长度最短，所以侧面展开图中3条折线段必须共线，此时的竖坐标将三棱柱的高三等分； 易得各点的坐标为， 向量， 设直线与所成的角为， 则， 故与所成角的余弦值为． （2）要求异面直线与间的距离，只需求出与都垂直的一个向量， 向量在上的正射影长即为异面直线与间的距离． 由于，所以, 令，解得，因此可得， 向量在上的正射影为． 即异面直线与间的距离为. 19．（17分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$