第一章 空间向量与立体几何 考试真题分类汇编-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第一章 空间向量与立体几何 考试真题分类汇编 题型01 空间向量及其运算 1．（2023-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 4．（2023-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 5．（2023-24高一下·山东淄博·期末）平行四边形中，交于，则等于 ． 6．（2023-24高一下·湖南·期末）如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 题型02空间向量基本定理 7．（2023-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 9．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 10．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 题型03空间向量的坐标表示 11．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2023-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 13．（2023-24高一下·吉林通化·期末）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 14．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为 15．（2023-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 16．（2023-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 题型04空间向量与位置关系 17．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 18．（2023-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 19．（2023-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 20．（2023-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 21．（2023-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 题型05求线线角、线面角、二面角 22．（2023-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（2023-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面． (1)求； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 24．（2023-24高一上·云南曲靖·阶段练习）如图，是块矩形硬纸板，其中为中点，将它沿折成直二面角．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 25．（2023-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 26．（2023-24高三下·湖南娄底·阶段练习）如图，在三棱台.中，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 27．（2023-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 28．（2023-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 题型06已知线面角、二面角求其他条件 29．（2023-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    30．（2023-24高二下·江苏徐州·阶段练习）如下图：已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)，若二面角的余弦值为，求点 到平面的距离． 31．（2023-24高二下·天津·阶段练习）如图，且且且平面 (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 32．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 33．（2023-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，，为线段上的动点. (1)当M为的中点时，证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 34．（2023-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为棱的中点． (1)若与平面所成的角为，求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 题型07空间中的距离问题 35．（2023-24高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 36．（2023-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 37．（2023-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 38．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 39．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 题型08存在性问题 40．（2023-24高二上·天津宁河·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 41．（2023-24高二上·浙江温州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点. (1)求证:直线; (2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为. 42．（2023-24高二上·北京大兴·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别是、的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 43．（2023-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，将等腰直角沿斜边旋转，使得到达的位置，且. (1)证明：平面平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)若在棱上存在点，使得，，在棱上存在点，使得，且，求的取值范围. 44．（2023-24高二上·北京·期中）如图，矩形所在的平面，分别是的中点，且 (1)求证：； (2)平面和平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 1．（2023-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 2．（2023-24高二·全国·课后作业）（多选）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 3．（2023-24高一下·江苏南京·期末）在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． 4．（2023-24高二上·福建福州·期末）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为 ． 5．（2023-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 . 6．（2023-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 7．（2023-24高二上·山东威海·期中）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．（2023-24高一下·河北·期末）在长方体中，为与的交点． (1)用向量表示； (2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 9．（2023-24高三下·河南郑州·阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，该圆台的侧面积为，点为中点，点为中点． (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（2023-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求直线到平面的距离； (2)对于线段上一点，求三棱锥的体积． 11．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 12．（2023-24高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第一章 空间向量与立体几何 考试真题分类汇编 题型01 空间向量及其运算 1．（2023-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在平面内，可知， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 2．（2023-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 3．（2023-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【详解】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 4．（2023-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 【答案】 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：. 5．（2023-24高一下·山东淄博·期末）平行四边形中，交于，则等于 ． 【答案】 【详解】如图所示， 故答案为：. 6．（2023-24高一下·湖南·期末）如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则 . 【答案】 【详解】 因为分别是棱的中点，所以， 则. 因为平面，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，所以. 因为， 所以. 故答案为： 题型02空间向量基本定理 7．（2023-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意. 故选：A 8．（2023-24高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为的中点， ，， 故选:A. 9．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 10．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 题型03空间向量的坐标表示 11．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解：对于A项，，则，则与不平行，故A项错误； 对于B项，， 则， 则不成立，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确， 故选：CD 12．（2023-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以当时取最小值. 故选：D 13．（2023-24高一下·吉林通化·期末）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 14．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、4，则的取值范围为 【答案】 【详解】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.    设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径， 设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合. 所以， 所以 ， 由P在长方体表面上运动，所以，故 所以，即. 故答案为： 15．（2023-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 【答案】3 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 16．（2023-24高二上·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，由，得 则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可） 故答案为：.（答案不唯一） 题型04空间向量与位置关系 17．（2023-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则，所以. 故选：C. 18．（2023-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【答案】C 【详解】由于是平面的法向量，且，不在平面内，则//平面，A正确， 对于B，由于,则四边形为平行四边形，故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 则平面,平面,则平面,故B正确， 对于C, 由于,则四边形为平行四边形，,显然矛盾，故C错误， 对于D，由于,由选项B可得，由于四边形为平行四边形， 故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 由于, 因此,故四边形为矩形， 故选：C    19．（2023-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【详解】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 20．（2023-24高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 21．（2023-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 题型05求线线角、线面角、二面角 22．（2023-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 23．（2023-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面． (1)求； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意得：连接交于点，过做，交于点， 如图所示：由于平面，平面， 所以平面，又平面．平面， 所以平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 故，即， 由于， 所以，则，所以四边形为正方形，所以， 在中，，所以，所以， ； （2）在和中，由可得： ， 满足，所以，又． 又有交于点，所以平面，满足两两垂直， 故以为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是有． 设平面的法向量为，由， 取，又， 故所求角的正弦值为． 24．（2023-24高一上·云南曲靖·阶段练习）如图，是块矩形硬纸板，其中为中点，将它沿折成直二面角．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角，即平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，则∥，所以平面， 因为平面，所以， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以， 所以平面与平面所成二面角的余弦值.    25．（2023-24高二下·四川成都·期末）如图，在斜三棱柱 中， 分别是 的中点. (1)证明: 平面 ; (2)若 ，且 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面． （2）连接OC， ∵，, ∴为正三角形， ∴， ∵，且都在面， ∴平面ABC，而面，故， 由，易知△ABC是等腰直角三角形， ∴， 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，， 由，可得，且，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角正弦值为． 26．（2023-24高三下·湖南娄底·阶段练习）如图，在三棱台.中，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2）解：连接，因为平面，且平面， 平面平面，所以， 因为，所以，所以， 根据棱台的性质，可得， 以为坐标原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    如图所示，则， 又由平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以. 27．（2023-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：直三棱柱中，， 以为顶点建立空间坐标系如图， ，， 点，分别为与的中点， 取中点， ，，， 在△中，， 平面，且，平面， 平面，，且，平面， 平面， 为平面的一个法向量， 而，， ， ， 又平面， 平面； （2）易知，， ，， 设是平面的一个法向量， 则， ， 取，则，， 即， 设与平面所成角为， 则 故与平面所成角的正弦值为． 28．（2023-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面， 因为平面， 所以，又，是的中点， 所以，又因为，平面； 所以平面； （2）因为， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 题型06已知线面角、二面角求其他条件 29．（2023-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    【答案】 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.    设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为， 所以，，，，，，，所以，， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故答案为： 30．（2023-24高二下·江苏徐州·阶段练习）如下图：已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)，若二面角的余弦值为，求点 到平面的距离． 【答案】 【详解】因为底面，且底面为正方形， 所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 31．（2023-24高二下·天津·阶段练习）如图，且且且平面 (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，分别以的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 所以． 设为平面的法向量， 则 令，则． 因为， 所以， 因为直线平面，所以平面． （2）依题意，可得． 设为平面的法向量， 则 令，则， 设为平面的法向量， 则 令，则， 所以， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． （3）设线段的长为，则点的坐标为，可得． 易知为平面的一个法向量， 所以， 由题意得，解得． 所以线段的长为． 32．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.    (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设中点为，连接， 因为，且，故四边形为正方形， 而，，， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，所以，， 设平面的法向量为，则，即，令，所以， 由（1）知，平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以.    33．（2023-24高二下·云南曲靖·阶段练习）如图，在斜三棱柱中，侧面侧面，，为线段上的动点. (1)当M为的中点时，证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， ， 四边形均为含的菱形，为等边三角形， ， 当M为的中点时，有； 又侧面⊥侧面，侧面侧面，侧面， 平面， 平面，从而； 又，平面， 平面， 因为平面，所以. （2）因为为等边三角形，取的中点，则⊥， 又，故⊥， 取的中点，连接， 由（1）知平面，又平面，故， 两两互相垂直， 以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则； 设， 则， 设平面的法向量为， 由，得， 令. 设与平面所成角为， 所以，解得或， ，所以， . 34．（2023-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为棱的中点． (1)若与平面所成的角为，求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由于平面，平面，故， 四边形为矩形，故，而平面， 故平面，平面，则， 又平面，则即为与平面所成的角，且平面， 则，与平面所成的角为，故， 故为等腰直角三角形，E为棱的中点，故， 而平面， 故平面； （2）以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 由于平面与平面夹角的余弦值为， 故，解得， 故. 题型07空间中的距离问题 35．（2023-24高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 36．（2023-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点平面的距离为， 所以线段在平面上的射影的长度为 . 故选：C 37．（2023-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 38．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 39．（2023-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 题型08存在性问题 40．（2023-24高二上·天津宁河·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)存在， 【详解】（1）证明：∵，为的中点  ∴ 又∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面 ∵平面     ∴ （2） 解法1：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形 ∴是直角三角形，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，， 设是平面的一个法向量， 则，即 令，则，，， ∴直线和平面所成角的正弦值等于 解法2：由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵ ∴，， 在中，，， ∴， 设d是底面ABC的高 则， ∴直线和平面所成角的正弦值为. （3）在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（2）知，， ， 是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量，则 即 取，， ∵二面角的大小为 ∴ 即 整理得，    解得，或（舍去） 所以，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 41．（2023-24高二上·浙江温州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,且侧面为等边三角形.为线段的中点. (1)求证:直线; (2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【详解】（1）证明:连接,如图所示: 因为三角形为正三角形,, 又四边形为菱形,且, 所以也是正三角形, 所以, 平面, 平面, 又平面; （2）由平面平面,及可得,平面. 直线两两垂直,以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示, 菱形边长为2,所以可求得 , , 设平面的法向量为, 则, 取, 可得其中一个法向量, 因为是线段上的点, 所以存在实数, 使得, , 设直线与平面所成的角为, 则 , 解得或, 所以线段上存在点满足题意,且为线段的两个三等分点. 42．（2023-24高二上·北京大兴·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，，、分别是、的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)设为与的交点，在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，且 【详解】（1）解：，，则，， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，， ， 因此，直线与平面所成角为. （2）解：易知点，假设在线段上存在点，使得平面， 设，其中， ，， 因为平面，则，解得. 因此，在线段上存在点，使得平面，且. 43．（2023-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图，将等腰直角沿斜边旋转，使得到达的位置，且. (1)证明：平面平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)若在棱上存在点，使得，，在棱上存在点，使得，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点为，连接，. 由题意得，， 在中，因为为的中点，所以，即. 易得与全等，则，即. 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）不妨设，易知OB⊥AC， 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 设平面的法向量为，则得 不妨取，则 因为. 因为. 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）结合（2）可得，， ， ， 因为，所以，得． 即，是关于的单调递增函数， 当时，，故的取值范围是． 44．（2023-24高二上·北京·期中）如图，矩形所在的平面，分别是的中点，且 (1)求证：； (2)平面和平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在中点，理由见解析 【详解】（1）由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设， 则， 所以, 因为，所以，即； （2）易得平面的一个法向量为， 因为，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，即， 则， 由图可得平面和平面所成角为锐角， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）设存在点满足，则，所以， 因为，所以， 因为平面，则，即，解得， 所以存在点，使平面，此时在中点. 1．（2023-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 2．（2023-24高二·全国·课后作业）（多选）已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，    由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 3．（2023-24高一下·江苏南京·期末）在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． 【答案】 / 【详解】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设与平面所成角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题. 4．（2023-24高二上·福建福州·期末）如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】由底面，所以 由底面是正方形，所以， 以D为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立坐标系， 设四棱锥的外接球的半径为r， 由外接球的表面积为，即，所以， ，所以， 所以，又，即， 设，所以， 所以，所以，又， 因为为线段的中点，所以， 设直线上一点， 所以当时，点到直线上任意点的距离的最小，其最小值为. 故答案为： 5．（2023-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 . 【答案】 【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为， 则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 则，解得， 如图，    取的中点为， 则， 显然，当的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为，可求得， 则球心到点的距离， 所以内切球上的点到点的最小距离为， 是的中点，三点共线， ， 在中，边上的高为. . 故答案为： 6．（2023-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 7．（2023-24高二上·山东威海·期中）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且． (1)求证：面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）由面面，则， 又且，可得：面. （2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：， 由可得：，由可得：， 设平面的法向量为：，则， ∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量， ∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为． （3）存在这样的. 由可得：，则， 若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为， ∴，即，可得. ∴存在这样的，使得四点共面. 8．（2023-24高一下·河北·期末）在长方体中，为与的交点． (1)用向量表示； (2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，请写出，四点的坐标及向量的坐标； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)，， (3) 【详解】（1）因为为与的交点， 所以又因为， 所以． （2）根据题意可得． ，． （3）由（2）可得． ，， ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 9．（2023-24高三下·河南郑州·阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，该圆台的侧面积为，点为中点，点为中点． (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）（1）由，，圆台的侧面积为， 可得， 所以， 所以， 连接，，点为中点，点到平面的距离为2， 因为，点为中点，所以，， 的面积． 过点作平面的垂线，垂足为，则点在上，且， 过点作的平行线，与交于点，则，， 且， 所以， 所以的面积． 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 由得，所以， 所以点到平面的距离为． （2）（2）由题知，，，两两垂直， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则有， 得， 取，得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10．（2023-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求直线到平面的距离； (2)对于线段上一点，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，因为，，所以， 又，得到，又面，面，所以面， 故直线到平面的距离也即到平面的距离， 如图建立空间直角坐标系，因为棱长为， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. （2）由（1）知，，， 所以， 在中，取的中点，连接，则， 所以， 因为，由（1）知面， 所以到平面的距离为，故三棱锥的体积为. 11．（2023-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 12．（2023-24高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【详解】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$