精品解析：山东省菏泽市牡丹区菏泽外国语学校2024届高三下学期三模数学试题

菏泽外国语学校2023-2024学年第二学期高三第三次模拟考试 数学试卷 2024.5 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 若抛物线焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 6. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的侧面展开图的面积为，上、下底面圆的半径分别为和，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 10. 若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 若复数ω满足，则的最大值为 11. 已知四棱锥的底面是正方形，则下列关系能同时成立的是（ ） A. “”与“” B. “”与“” C. “”与“” D. “平面平面”与“平面平面” 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______． 13. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 14. 数列满足，若，，则数列前20项的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ，，分别为的内角，，的对边.已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 16. 某视力研究中心为了解大学生视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1． （1）求椭圆E的方程； （2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菏泽外国语学校2023-2024学年第二学期高三第三次模拟考试 数学试卷 2024.5 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得. 故选：C. 3. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解. 【详解】， ，, 在上的投影向量为. 故选：A. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质可知：，，由正态分布曲线的对称性可知：，即可得到答案. 【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以， 故选：B. 5. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解. 详解】由题意可得：. 故选：A. 7. 已知圆台的侧面展开图的面积为，上、下底面圆的半径分别为和，则该圆台的高为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆台侧面积的公式求出母线长，再由勾股定理求出圆台的高. 【详解】设圆台的母线长为，所以圆台的侧面展开图的面积为， ，解得：， 设圆台的高为,则. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X，Y满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确； 对于D，由，依题意，，且， 解得，因此，D正确. 故选：BCD 10. 若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 若复数ω满足，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误， 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为， 则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上， 所以，的最大值为，即的最大值为，D错误. 故选：AC 11. 已知四棱锥的底面是正方形，则下列关系能同时成立的是（ ） A. “”与“” B. “”与“” C. “”与“” D. “平面平面”与“平面平面” 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正方形特征可判定A，利用球的特征可判定B，利用面面垂直的性质可判定C，利用反证法可判定D. 【详解】对于A，显然时，而底面是正方形，， 所以不成立，故A错误； 对于B，设底面正方形中心为O，则P在以O为球心，以为半径的球面上时可符合题意，故B正确； 对于C，当平面底面时， 由面面垂直的性质可知平面，平面，显然符合题意，故C正确； 对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面， 如图有，取，作， 垂足分别为B、C，由面面垂直的性质可知， 由线面垂直的性质可知， 又，由线面垂直的判定可知， 若“平面平面”与“平面平面”同时成立， 易知平面平面，可设平面平面，则， 则平面， 易知平面，所以面，则， 则有平面，显然不成立，故D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用角的终边所经过的点求出，再求. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以，； . 故答案为： 13. 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【答案】10 【解析】 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 14. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______． 【答案】210 【解析】 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ，，分别为的内角，，的对边.已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用余弦定理求得，进而求得的周长. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即，又，所以， 所以为锐角，所以， 故 ； 【小问2详解】 因为，， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 所以，， 所以的周长为. 16. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望. 附：. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，无关 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断. （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果. 【小问1详解】 由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人. 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关. 【小问2详解】 男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：. 所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数所有可能取值为. ， 所以的分布列为 0 1 2 即. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）若E为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设Q为AD的中点，连接PQ，证明平面ABCD，得， 从而可证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 设Q为AD的中点，连接PQ， ∵为正三角形，∴， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD ， ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴， 又，，平面PAD ，∴平面PAD； 【小问2详解】 在平面PAD内作，则． ∵平面PAD，平面PAD，平面PAD，∴，． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系． ∵底面ABCD为平行四边形，，∴ABCD为矩形． 设，则，，，，，． ∴， 设平面ACE的法向量为， 由得 取，得平面ACE的一个法向量为． 又，所以点B到平面ACE的距离为， 解得． ∴，，， 设平面ABP的法向量为， 由得 取，得平面ABP的一个法向量为． ∴平面ACE与平面ABP夹角的余弦值为 ． 18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1． （1）求椭圆E的方程； （2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可； （2）设直线l方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可. 【小问1详解】 设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点， 易知，则 ， 显然时， 由题意得解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 因为，所以 所以① 设直线的方程为，联立得，整理得， 由韦达定理得， 把①式代入上式得，得， 解得， 所以直线的方程为：或. 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在处取极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； 【小问2详解】 ， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $