精品解析：四川省泸州市江阳区泸州市第十五中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

四川省泸州市第十五中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 计算的结果是（　　） A. 4 B. C. D. 3. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 将用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 6 6. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（　 　) A. B. C. D. 6 7. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 10. 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）． A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2 11. 设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A. π B. C. D. 12. 设抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，下列结论：①，②，③，④点在抛物线上，若，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____． 15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 16. 若t为实数，关于的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是__________． 三．解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 19. 化简：． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为分），测试结束后，张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生； （2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ； （3）若将不低于分的成绩定为优秀，请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少. 21. 如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； （2）若，，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）． 五.解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，是的外接圆上的一点，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．现批发商为提高利润，准备在每箱50元的基础上提价销售． （1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 六.解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 24. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 25. 如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． （1）求这条抛物线对应的二次函数的解析式； （2）若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； （3）设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市第十五中学2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 计算的结果是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． 根据合并同类项的法则进行计算即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下面四个图标中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据中心对称图形的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 将用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】， 故选：． 5. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：A． 6. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（　 　) A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂径定理求得AC的长，再根据勾股定理即可求得结果. 【详解】∵OC⊥AB，AB=4 ∴ ∴ 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理.解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 7. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”的规律是解题关键．根据向右平移2个单位，自变量减2，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为， 故选：D． 8. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：由关于原点的对称点为，得 ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 9. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 【答案】C 【解析】 【详解】解：是的切线， ， ， 又∵ ， 则． 故选：C． 10. 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）． A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2． 故选D． 11. 设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A. π B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 12. 设抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，下列结论：①，②，③，④点在抛物线上，若，则．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数图象与x轴交点的个数，即可判断①；根据图象得出时，，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即可判断③；不知道点在抛物线上所处的位置，和的大小无法判断，即可判断④． 【详解】解：∵函数与x轴有两个交点， ∴，即， 故①正确； ∵当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，则， ∴． ∴． 故②正确． 由图象可知，当时，， 即， 故③正确； ∵不知道点在抛物线上所处的位置， ∴和的大小无法判断， 故④错误． 故正确的个数有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】考查了正多边形和圆的性质及其应用问题，根据题意画出图形，求出圆心角，得到为等边三角形，即边长为，进而求解即可．解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答． 【详解】如图，为正六边形的一边， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴这个正六边形的周长为． 故答案为：18． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 15. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 16. 若t为实数，关于的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是__________． 【答案】-15 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=t-2，将所求代数式化简代入可得结论． 【详解】解：∵x2-4x+t-2=0的两个非负实数根为a，b， ∴a+b=4，ab=t-2，Δ=16-4（t-2）≥0． 则，解得：2≤t≤6， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=42-2（t-2）=-2t+20， ∴（a2-1）（b2-1）=a2b2-（a2+b2）+1=（t-2）2+2t-20+1=t2-2t-15=（t-1）2-16， ∵2≤t≤6， ∴当t=2时，代数式（a2-1）（b2-1）有最小值， ∴代数式（a2-1）（b2-1）的最小值是(2-1)2-16=-15， 故答案为：-15． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，二次函数的图象与性质，属于中档题，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 三．解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，零指数幂、负指数幂的算法．首先计算零指数，负整数指数幂，二次根式的乘法，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】略 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查分式的混合运算及化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算括号内的分式加法运算，然后计算除法运算即可． 【详解】解： ． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为分），测试结束后，张老师从七年级名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生； （2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 ； （3）若将不低于分的成绩定为优秀，请估计七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少. 【答案】（1），（2）；（3）（人） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图将男生人数和女生人数分别加起来即可 （2）众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数 （3）先计算所抽取的80中优秀的人数有14+13+5+7+2+1+1+1=44人，故七年级名学生中成绩为优秀的学生人数大约是（人） 【详解】解：（1）男生人数：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人） 女生人数：1+1+2+3+11+13+7+1+1=40（人） （2）根据条形统计图，分数为时女生人数达到最大，故众数为27 （3）（人） 【点睛】本题考查了条形统计图，数据的分析，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图表，获取每项的准确数值. 21. 如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的三角形； （2）若，，求点在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，勾股定理，弧长的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别作出、点绕点逆时针旋转的对应点，依次连接即可； （2）根据勾股定理求得，再根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别作出、点绕点逆时针旋转的对应点、，依次连接； 【小问2详解】 解：如（1）图， ，， 故点在旋转过程中所经过的路径长． 五.解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，是的外接圆上的一点，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： ，和为所对的圆周角，和为所对的圆周角 ， 是等边三角形． （2） 证明：如图，在上截取，连接 ， 是等边三角形 ， 是等边三角形 在和中 ， 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等得到，从而根据等边三角形的判定得出结论； （2）在上截取，连接，可证是等边三角形，推出，，从而得到，即可证明，得到，结合即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．现批发商为提高利润，准备在每箱50元的基础上提价销售． （1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是： （1）根据平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱即可列出关系式； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润与销售价之间的函数关系式； （3）依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 由题意得： ； 【小问3详解】 ， 抛物线开口向下． 当时，有最大值． 又，随的增大而增大． 当元时，的最大值为1050元． 当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润． 六.解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 24. 如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得．利用三角形中位线定理判定，即可证明结论； 根据等腰三角形的性质得，三角形内角和定理求得，进一步得，过点B作于M，则，利用勾股定理即可求得，结合面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及圆周定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质、切线的证明、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是数量掌握圆的性质和常见辅助线的添加． 25. 如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点． （1）求这条抛物线对应的二次函数的解析式； （2）若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标； （3）设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）点P的坐标为或 （3）存在，E、F的坐标分别为、或、或、 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识； （1）根据题意分别代入点，分别解出即可求出答案． （2）设点P的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为：，则直线与X轴的交点为，证是等腰三角形，则，则直线与圆P相切于点Q，连接，由切线的性质得出，则是等腰三角形，得，由，，则，解得即可得出答案． （3）由题意得，，由面积求出，由待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得的解析式为，分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F． ∴． 由，得 对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 设， ∴． 在中，， ∴， ∴． 整理，得， 解得，． ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点E，点F， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，解得：， 则点的坐标分别为：； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 则点的坐标分别为：或； 综上，的坐标分别为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $