精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆实验中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

新疆实验中学2023-2024学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷6页，答卷2页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 3 B. -1 C. 2 D. 4 3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A. B. C. D. 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 5. 盒子内有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（ ） A. 至少有1个白球；至多有1个白球 B. 至少有1个白球；至少有1个黑球 C. 至少有1个白球；红､黑球各1个 D. 至少有1个白球；没有白球 6. 2018年小明的月工资为6000元，各用途占比如图1所示，2019年小明的月工资的各种用途占比如图2所示，已知2019年小明每月的旅行费用比2018年增加了525元，则2019年小明的月工资为（ ） A. 9500 B. 8500 C. 7500 D. 6500 7. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数： 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.75 D. 0.8 8. 如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题： 异面直线与间的距离为定值； 三棱锥的体积为定值； 异面直线与直线所成的角为定值； 二面角的大小为定值． 其中真命题有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是互斥事件，，，则 B. 若，是对立事件，则 C. 若，是独立事件，，，则 D. 若，，且，则，是独立事件 10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 11. 如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则（ ） A. B. 点在平面内的射影为的垂心 C. 二面角的余弦值为 D. 若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则___________. 13. 用，，表示空间中三条不同的直线，，，表示平面，给出下列命题: ①若，，则;②若，，则; ③若，，则;④若，，则. 其中真命题的序号是__________. 14. 在中，角所对的边分别为，已知，且的面积为，则的周长为______. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积. 16. 为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲､乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 86 87 91 92 94 （1）根据表中的数据，分别求出甲､乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？ （2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率. 17. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求证：为等腰三角形； （2）若是钝角三角形，且面积为，求的值． 18. 某市A，B两校组织了一次英语笔试（总分120分）联赛，两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩（都在区间内），将这些数据分成4组：得到如下两个频率分布直方图： （1）分别计算A，B两校联赛中的优秀率； （2）联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金y（单位：百元）与其成绩t的关系式为 ①当时，试问A，B两校哪所学校的获奖人数更多？ ②当时，若以奖学金的总额为判断依据，试问本次联赛A，B两校哪所学校实力更强？ 19. “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥． （1）求证：平面； （2）若E为棱上一点，记 ①若求直线与平面所成角的正切值； ②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆实验中学2023-2024学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷6页，答卷2页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】利用复数的四则运算化简，再根据复数的几何意义即可得解. 【分析】因为， 所以对应的点为，它位于第二象限. 故选：B 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 3 B. -1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】运用共线向量的坐标表达式即得. 【详解】由，，又由，可得：，解得. 故选：A. 3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解． 【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有 共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况， 所以所求的概率为. 故选：A. 4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A. 平均数第60百分位数众数 B. 平均数第60百分位数众数 C. 第60百分位数众数平均数 D. 平均数第60百分位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】 从数据为20，30，40，50，50，60，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可. 【详解】解：平均数为， ， 第5个数50即为第60百分位数. 众数为50， 它们的大小关系是平均数第60百分位数众数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平均数、百分位数、众数的求法，属于基础题. 5. 盒子内有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（ ） A. 至少有1个白球；至多有1个白球 B. 至少有1个白球；至少有1个黑球 C. 至少有1个白球；红､黑球各1个 D. 至少有1个白球；没有白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥和对立的概念进行判定，关键看是否满足不能同时发生(互斥),再看是否必有一个发生或者说能不能同时不发生，即可作出判定. 【详解】当取出的2个球是1白1黑时，A中两个事件同时发生，所以A中的两个事件不是互斥事件，所以排除A，同样可排除B， D中，两个事件不可能同时发生，但是必有一个发生，所以C中的两个事件是对立事件，所以排除D， C中，两个事件不可能同时发生，但是当取出的2个球都是黑球时，这两个事件都没有发生，所以C中的两个事件是互斥事件但不是对立事件， 故选:C. 6. 2018年小明的月工资为6000元，各用途占比如图1所示，2019年小明的月工资的各种用途占比如图2所示，已知2019年小明每月的旅行费用比2018年增加了525元，则2019年小明的月工资为（ ） A. 9500 B. 8500 C. 7500 D. 6500 【答案】C 【解析】 【分析】由图1得出2018年每月旅行费用，从而可得2019年每月旅行费用，再根据比例求出2019年月工资． 【详解】由图1知小明每月旅行费用是（元），所以2019年他每月旅行费用为2100＋525＝2625（元），2019年每月工资为（元）． 故选：C． 【点睛】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题关键．本题属于基础题． 7. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数： 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.75 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知列举出代表今后三天都不下雨的随机数，以及今后三天都不下雨的随机数个数，利用古典概型和对立事件的概率求解即可． 【详解】代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件. 所以， 故选：B. 8. 如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题： 异面直线与间的距离为定值； 三棱锥的体积为定值； 异面直线与直线所成的角为定值； 二面角的大小为定值． 其中真命题有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确． 对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确． 对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确； 对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D． 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是互斥事件，，，则 B. 若，是对立事件，则 C. 若，是独立事件，，，则 D. 若，，且，则，是独立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可 【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误； 对于B：若，是对立事件，则，故B正确； 对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确； 对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确； 故选：BCD 10. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图： 则下列结论中正确的是（ ） A. 招商引资后，工资净收入较前一年增加 B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解. 【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则 对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确； 对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误； 对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误； 对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则（ ） A. B. 点在平面内的射影为的垂心 C. 二面角的余弦值为 D. 若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面后，即可判定A；设在底面上的射影为，利用线面垂直判定定理证得平面后得到，同理可证，即得O为的垂心，由此判定B；连接，可证为二面角的平面角，然后计算，从而判定C；由已知可得三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，补成长方体，计算其对角线的长，从而得到外接球的半径，然后计算表面积，从而判定D. 【详解】对于，， ，平面， 平面，，故正确； 对于，设在底面上的射影为，则底面，， 由知，，连接并延长，交于， ，平面，则， 同理可证，∴点在平面内的射影为的垂心，故正确； 对于，由知，，，为的中点， 连接，又，， 则为二面角的平面角． 在等腰直角三角形中，由，得，则， 在中，有，故正确； 对于，由已知可得三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且，． 把该三棱锥补形为长方体，则其对角线长为， 则其外接球的表面积，故错误． 故选：． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，，，若点、、在同一条直线上，且，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】求出向量和的坐标，由题意得出，根据共线向量的坐标表示和题中条件列关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值. 【详解】由题意可得， . 因为、、三点共线，所以与共线，，① 又②，解①②组成的方程组，得或， 因此，或，故答案为：或. 【点睛】本题考查利用向量共线处理三点共线问题，涉及求参数的值，解题时要将三点共线转化为向量共线，利用共线向量的坐标表示和已知条件建立方程组求解，考查运算求解能力，属于中等题. 13. 用，，表示空间中三条不同的直线，，，表示平面，给出下列命题: ①若，，则;②若，，则; ③若，，则;④若，，则. 其中真命题的序号是__________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 【详解】, 与平行,相交或异面,故①不正确; ,， 由平行公理可知故②正确; . 与平行,相交或异面故③不正确; ,, 由面面平行的性质可知,故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】判断空间线面的关系,常常把他们放在空间几何体中来直观的分析,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法,难度较易. 14. 在中，角所对的边分别为，已知，且的面积为，则的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和已知，可以求出角的大小，进而可以求出的值，结合面积公式和余弦定理可以求出的值，最后求出周长. 【详解】解:由正弦定理及得，，，， 又，，，由余弦定理得， .又，，， ，的周长为. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了数学运算能力. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1）∵，， ∴， . ∴，∴. 又∵平面，∴， 又∵，∴平面， 又平面. ∴平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）要证平面平面，只需证平面； （2）根据已知求出四棱锥的高PA即可求解体积. 【详解】（1）略 （2）∵为的中点，， ∴， 所以四棱锥的体积. 【点睛】关键点点睛：（1）问解题关键是证明平面； （2）问解题关键是由为的中点，得. 16. 为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲､乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 86 87 91 92 94 （1）根据表中的数据，分别求出甲､乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？ （2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率. 【答案】（1），，，甲单位更为稳定；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求出甲、乙两个单位职工的考试成立的平均数，以及它们的方差，则方差小的更稳定． （2）从乙单位抽取两名职工的分数，所有基本事件用列举法求得共10种情况，抽取的两名职工的分数差值至少是4的事件用列举法求得共有5个， 由古典概型公式求得抽取的两名职工的分数之差的绝对值至少是4的概率． 【详解】解：（1）， 因为，所以甲单位更为稳定. （2）从5名职工中任取2人，所有的取法有： ，，，，，，，，，共10种 设抽取的2名职工的分数差值至少是4分为时间M，则M中包含的基本结果有： ，，，，，共6种 所以 即抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率为. 【点睛】本题主要考查平均数和方差的定义与求法，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，古典概率的计算公式，属于中档题． 17. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求证：为等腰三角形； （2）若是钝角三角形，且面积为，求的值． 【答案】 （1）由得：， 则， ，，， 由正弦定理可知：，则为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦将角化成，利用三角变换公式以及正弦定理可证； （2）利用面积公式和余弦定理可得． 【详解】（1）略 （2）由题意得：，解得：， ∵为钝角三角形，且，为钝角，， 由余弦定理得：， . 【点睛】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式，属中档题． 18. 某市A，B两校组织了一次英语笔试（总分120分）联赛，两校各自挑选了英语笔试成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀.赛后统计了所有参赛学生的成绩（都在区间内），将这些数据分成4组：得到如下两个频率分布直方图： （1）分别计算A，B两校联赛中的优秀率； （2）联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金y（单位：百元）与其成绩t的关系式为 ①当时，试问A，B两校哪所学校的获奖人数更多？ ②当时，若以奖学金的总额为判断依据，试问本次联赛A，B两校哪所学校实力更强？ 【答案】（1）A校的优秀率为，B校的优秀率为（2）①B校的获奖人数更多②A校实力更强. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图找出、两校频率分布直方图中成绩不小于分的矩形面积，即可得出这两个学校的优秀率； （2）①根据题意计算出、两校成绩不低于的人数，即为获奖人数，再与这两个学校的获奖人数的多少进行比较； ②根据（奖学金）与成绩之间的关系式计算出、两校所获得的奖金数，再对两校所得奖金数进行比较，得出获得奖金数较多的学校实力较强． 【详解】（1）由频率分布直方图知，校的优秀率为，校的优秀率为； （2）①A校的获奖人数为， B校的获奖人数为，所以B校的获奖人数更多. ②A校学生获得的奖学金的总额为 （百元）=16900（元）， B校学生获得的奖学金的总额为 （百元）=16600（元）， 因为，所以A校实力更强. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数以及平均数的计算，在频率分布直方图中弄清频率、频数以及总容量三者之间的关系，还应掌握众数、平均数以及中位数的求解原则，考查计算能力，属于中等题． 19. “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼和所组成的风筝．其中，，，，．现将此风筝的两个尾翼分别沿折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结，得到如图（2）所示的四棱锥． （1）求证：平面； （2）若E为棱上一点，记 ①若求直线与平面所成角的正切值； ②是否存在点E使得直线与直线所成角为，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在 【解析】 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可； ②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得,利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【小问1详解】 ①连结AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴, 由题可得，，且平面 ，平面， ∴平面，又平面∴ ∵，平面 ，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ①连结SO交CE于点G，由（1）得平面, ∴为直线CE与平面SBD所成角, ∵，AD＝CD＝1，, ∴, ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ∴，即 ∴， ∴直线与平面所成角的正切值为． ②连结，∵, ∴或其补角为直线与直线所成角,则假设存在点，满足， 由得，, 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ， 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ， 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ． 在三角形中，又因为，所以由余弦定理得： , 解得, ∴存在使得直线与直线所成角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $