精品解析：江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题

江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题 2024.5 注意事项: 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑;作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4、如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C 2. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 不同于ABC的答案 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，轴，且， 即的高为，所以. 故选：B 3. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n B. 若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C. 若n//α，n//β，则α//β D. 若m//n，n⊂α，则m//α 【答案】B 【解析】 【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判断A；直接证明B正确；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断C；由直线与直线平行分析直线与平面的关系判断D． 【详解】对于A，若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m//α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l//m，则l//β， 从而l//n，故m//n，故B正确； 对于C，若n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故C错误； 对于D，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故D错误． 故选：B． 4. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得，再利用夹角公式求解即可. 【详解】由，可得， 因为 所以，且，解得：， 所以 所以. 故选：B． 5. 已知向量满足向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量求出，结合向量运算可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以， 因为，所以； . 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式及同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】由得， 解得， . 故选：B 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题，即可求解. 【详解】设，共起点， 由，可得， 所以与垂直，如图 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上， 由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故的最小值为. 故选：. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点确定一个平面 B. ，，三点共线 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项. 【详解】如下图所示： 根据题意，连接，则， 所以四点共面，所以面， 又，所以面， 又面，所以点在面与面的交线上面， 同理可得点在面与面的交线上面， 所以，，三点共线， 故A选项错误，B选项正确； 由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线， 故C选项错误； 由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线， 故D选项错误. 故选：B. 10. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误； 对于B，，即，必有两解，故B正确； 对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确； 对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围. 【详解】对于A：，且，即， 由正弦定理得：， 即， 或（舍去）， ，故A正确； 对于B：由正弦定理， 则， 为锐角三角形，则，即， ，所以，故B不正确； 对于C：且， ，所以， 由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确； 对于D： ，且， ，即； 要使得有最大值，即有最大值， 此时，当有最大值时，即时， 有最大值为，此时， ，又， ，， ∴的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是利用正弦定理得到，再求出角的范围即可判断；D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出，再利用模长公式求得. 【详解】因为， 所以， 则，故， 所以，所以. 故答案为： 13. i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______． 【答案】（答案不唯一，满足（）均可） 【解析】 【分析】运用复数的模的运算公式计算即可. 【详解】设，（）， 则，， 因为， 所以，解得：， 所以，（） 所以可以取. 故答案为：（答案不唯一，满足（）均可）. 14. 如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用等面积法可知，再利用同角三角函数的基本关系化简计算可得结果. 方法二：有垂直可以考虑建立坐标系：，，利用三点共线（向量公式或者斜率公式）即可. 【详解】千米,千米, 三角形的面积，由面积和法得：， ，两边平方可得： ，∴， ， 解得：，由， 解得：. 法二：由题意可知,以为坐标原点，为轴建立坐标系，则有，，, 因为,所以， 化简可得： 两边平方可得： ，∴， ， 解得：，由，解得：. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 设复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求实数的值; （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据实部为0，虚部不等于0列式求解可得； （2）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解可得. 【小问1详解】 若是纯虚数，则， 解得. 【小问2详解】 由题意知，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． （1）求证：∥平面． （2）若平面ABC，，求证：平面． 【答案】（1） 连接，交于点，连接 ∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点. ∵点是的中点，∴是的中位线，∴， 又平面，平面，∴∥平面. （2） ∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∵，平面， ∴平面. 【解析】 【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可； (2)证明CD⊥AB，CD⊥即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 在中，因为E、M分别为、的中点 所以且． 又为的中点，，所以且， 即且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 当N为的中点时，平面平面． 证明：连接，． 因为N，F分别是和的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明后证得线面平行； （2）N为的中点时，平面平面．由线面平行的判定定理证明与平面平行后可得证面面平行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为． （1）求的大小； （2）若，设，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和面积公式得到，结合，得到答案； （2）设，则，，，在和中，由正弦定理得到，得到，进而利用三角形面积公式得到，，结合，求出答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，， 故， 因为，， 所以， 即，又因为，所以． 【小问2详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理，，即， 在中，由正弦定理，，即， 又，两式作商，得， 即，故， 即，即， 所以，即， 因为，所以， 故，解得， 则， ， 假设，所以， 又，则，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题 2024.5 注意事项: 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑;作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4、如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 不同于ABC的答案 3. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A. 若m//α，n//β，α//β，则m//n B. 若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n C. 若n//α，n//β，则α//β D. 若m//n，n⊂α，则m//α 4. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点确定一个平面 B. ，，三点共线 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 10. 在，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则必有两解 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 11. 在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的取值范围是 C. 当时的外接圆半径为 D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________． 13. i是虚数单位，已知，写出一个满足条件的复数．______． 14. 如图，某景区有三条道路，其中长为千米，是正北方向，长为千米，是正东方向，某游客在道路上相对东偏北度的且距离为千米的位置，则___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15. 设复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求实数的值; （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围. 16. 如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． （1）求证：∥平面． （2）若平面ABC，，求证：平面． 17. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 18. 如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点． （1）证明：∥平面； （2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为． （1）求的大小； （2）若，设，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $