3.4函数的应用（一）（4知识点+4题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.4函数的应用（一） 明确学习目标 课标要求 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 重点难点 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 一次函数模型 1.一次函数解析式： 2.求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 3.解决实际应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 知识点 2 二次函数模型 1.二次函数解析式：形如 2.求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3.解决实际应用问题的注意事项 (1)审题选模型：函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． (2)定义域优先：要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)检验意识：注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 知识点 3 幂函数模型 1.幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2.在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 知识点4 分段函数模型 1.分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 2提升学科能力 题型一 一次函数模型 例1．近年来我国实行高考制度改革，采取3+1+2选科模式，这种模式一个显著变化就是学生高考成绩计算方法发生了变化.总成绩满分750分，其中语文、数学、外语满分均为150分，以原始分形式计入总分；历史、物理满分100分，以原始分计入总分；思想政治、地理、化学、生物满分均为100分，考虑到不同再选科目的试题难度、选考学生群体均有不同，为了体现科学性与公平性，需将不同科目的原始分按照一定规则进行转化得到等级转化分，按转换后的赋分成绩计入总成绩，由此体现考生成绩在某个选考科目中所处位序.目前最为普遍的赋分制为五等级赋分制，以30分为赋分起点，等级转化满分100分，将考生原始成绩从高到低划分A、B、C、D、E五个等级，各占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，将五个等级原始分依照等级赋分规则分别转换到100－86、85－71、70－56、55－41、40－30分5个分数区间，如表1.设原始分为x（单位：分），等级赋分为y（单位：分），则y是x的函数，且等级赋分规则符合一次函数模型.（最终赋分结果四舍五入保留为整数） 五等级赋分制表1 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100－86 85－71 70－56 55－41 40－30 (1)假设政治学科A等级中原始分最高分为98，最低分为78，则按照等级赋分规则将98赋成100，78赋成86.求等级赋分y关于x的函数关系式，并计算当时y的值. (2)某两位同学再选科目均为生物，原始分分别为92与94，位次在所有选考生物考生中都排在20%，属于B等级.该区间考生原始分最高分95，最低分90，求这两位同学高考成绩单上的成绩（即等级赋分），并比较这两位同学的原始分差与最终高考成绩单上分差的差异. (3)由（1）、（2）所得结果谈谈你对赋分制的认识. 跟踪训练1 1．在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元． (1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？ (2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元； ①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？ ②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入． 2．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 3．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问： （1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？ 通过计算加以说明. （2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ 题型二 二次函数模型 例2．某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表： 2 5 7 10 229 244 241 227 (1)根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由； (2)利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大. 跟踪训练2 1．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（   ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台)时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为500台 2．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为 时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是 （单位：）． 3．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 题型三 分段函数模型 例3．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 跟踪训练3 1．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件. (1)求的解析式； (2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小. 2．电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本） (2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 3．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为，其中是仪器的产量（单位：台）； (1)将利润表示为产量的函数（利润总收益总成本）； (2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 题型四 幂函数模型 例4．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 跟踪训练4 1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 2．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 3．近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表： 年份 2016 2017 2018 销售量/万斤 41 55 83 结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标． （1）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为；幂函数模型为．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系； （2）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？ 3质量检测评价 一、单选题 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 2．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．  B．  C．  D．   3．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 4．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 5．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 6．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 二、多选题 7．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 8．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 9．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ） A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 三、填空题 10．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件． 11．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 四、解答题 12．果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 13．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 14．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足90台时，（万元）；当年产量不少于90台时，（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少； (2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4函数的应用（一） 明确学习目标 课标要求 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 重点难点 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 一次函数模型 1.一次函数解析式： 2.求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 3.解决实际应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 知识点 2 二次函数模型 1.二次函数解析式：形如 2.求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3.解决实际应用问题的注意事项 (1)审题选模型：函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． (2)定义域优先：要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)检验意识：注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 知识点 3 幂函数模型 1.幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2.在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. 知识点4 分段函数模型 1.分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。 2提升学科能力 题型一 一次函数模型 例1．近年来我国实行高考制度改革，采取3+1+2选科模式，这种模式一个显著变化就是学生高考成绩计算方法发生了变化.总成绩满分750分，其中语文、数学、外语满分均为150分，以原始分形式计入总分；历史、物理满分100分，以原始分计入总分；思想政治、地理、化学、生物满分均为100分，考虑到不同再选科目的试题难度、选考学生群体均有不同，为了体现科学性与公平性，需将不同科目的原始分按照一定规则进行转化得到等级转化分，按转换后的赋分成绩计入总成绩，由此体现考生成绩在某个选考科目中所处位序.目前最为普遍的赋分制为五等级赋分制，以30分为赋分起点，等级转化满分100分，将考生原始成绩从高到低划分A、B、C、D、E五个等级，各占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，将五个等级原始分依照等级赋分规则分别转换到100－86、85－71、70－56、55－41、40－30分5个分数区间，如表1.设原始分为x（单位：分），等级赋分为y（单位：分），则y是x的函数，且等级赋分规则符合一次函数模型.（最终赋分结果四舍五入保留为整数） 五等级赋分制表1 等级 A B C D E 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100－86 85－71 70－56 55－41 40－30 (1)假设政治学科A等级中原始分最高分为98，最低分为78，则按照等级赋分规则将98赋成100，78赋成86.求等级赋分y关于x的函数关系式，并计算当时y的值. (2)某两位同学再选科目均为生物，原始分分别为92与94，位次在所有选考生物考生中都排在20%，属于B等级.该区间考生原始分最高分95，最低分90，求这两位同学高考成绩单上的成绩（即等级赋分），并比较这两位同学的原始分差与最终高考成绩单上分差的差异. (3)由（1）、（2）所得结果谈谈你对赋分制的认识. 【答案】(1)，96 (2)原始分差为2分，赋分后高考成绩分差为5分，分差变大了 (3)答案见解析 【分析】（1）设，将，代入即可得到函数关系式，然后计算当时y的值； （2）设生物等级赋分为，将，代入即可得到函数关系式，然后分别计算当与的结果，并比较结果，即可得出结论； （3）由（1）、（2）所得结果对赋分制进行分析. 【详解】（1）设政治等级赋分关于的函数关系式为， 则解得， 所以 当时，； （2）设生物等级赋分关于的函数关系为， 则，解得， 所以 当时，； 当时，； 原始分差为分，赋分后高考成绩分差为分，分差变大了. （3）（1）原始分高则赋分更高； （2）不同学科原始分相同，但赋分后差别会很大.比如该题中政治生物原始分都为92，但是最终成绩政治为96，而生物为82分. （3）相同学科原始分区间段分数密集，原始分差较小，但赋分后分差增大. （4）原始分高，可能赋分结果低于原始分，原始分低，赋分结果可能高于原始分，要看原始分属于哪个等级，虽然分数变化了，但是保持在同科所有考生中的位次不变. 等等，言之有理即可. 跟踪训练1 1．在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元． (1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？ (2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元； ①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？ ②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入． 【答案】(1)A、B户型所需资金分别为万元 (2)①A户型可建最少、最多套数分别为套 ②，万元 【分析】（1）根据题意，列出方程组，分别解出在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金即可； （2）①列出不等式组，解得x的取值范围，即可求得A种户型至少可以建多少套； ②建立函数关系式，用一次函数的性质求最值. 【详解】（1）设在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是x万元和y万元． 由题意，解得， ∴在危旧房改造中建成一套种户型和一套种户型住房所需资金分别是9万元和13万元； （2）①设种户型有套，则B种户型有套． 由题意解得． ∴种户型至少可以建套，最多可以建套． ②设这项改造工程总投入资金万元，建成种户型套， 则，显然关于递减 ∵ ∴ 时，的最小值为万元 2．某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（其中即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）. (1)直接写出y与x之间的函数关系式： (2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？ 【答案】(1) (2)65元 ；6250元 【分析】（1）由题意可直接得到y与x之间的函数关系式： （2）根据（1）的结果，求出月利润的表达式，结合二次函数性质，求得答案. 【详解】（1）由题意可得； （2）由题意得， 即， 当时，取最大值6250， 当时，取最大值6125， 故当销售价格65元时才能使月利润最大，最大月利润是6250元. 3．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施. 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问： （1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？ 通过计算加以说明. （2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ 【答案】（1）方案一（2）理由见解析 【分析】（1）分别计算两个方案的利润，即可得到答案； （2）当时，，，因为，所以应选择方案一处理污水. 【详解】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知 ， . （1）当时，，， 因为，所以应选择方案二处理污水. （2）当时，，， 因为，所以应选择方案一处理污水. 【点睛】本题以污水净化为背景，考查函数的实际应用，属于基础题. 题型二 二次函数模型 例2．某机构通过对某企业今年的生产经营状况的调查，得到月利润（单位：万元）与相应月份的部分数据如下表： 2 5 7 10 229 244 241 227 (1)根据上表中的数据，从（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由； (2)利用2月份和5月份的数据求出（1）中选择的函数模型，并估计几月份的月利润最大. 【答案】(1)选取二次函数，理由见解析 (2)；6月份的利润最大 【分析】（1）根据表格中的数据不是单调函数，即可作出选择； （2）将点代入，求得函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题目中的数据知，描述每月利润与相应月份数的变化关系不是单调函数， 所以应选取二次函数进行描述. （2）解：将点，代入， 可得，解得， 所以，即， 所以当时，取最大值，故可估计6月份的利润最大. 跟踪训练2 1．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)，则下列说法正确的是（   ） A．利润y表示为年产量x的函数为 B．当年产量为475台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台)时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为500台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】当时，； 当时，； 故，故A错误； 当时，， 故当时，取到最大值； 当时，， 故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，故B正确； 不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC 2．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为 时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是 （单位：）． 【答案】 【分析】如图可得总面积与宽的关系，进而可得最值. 【详解】由题意，即， 设总面积为， 所以，所以， 所以当时，面积最大为， 故答案为：，. 3．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 题型三 分段函数模型 例3．后疫情时代，全民健康观念发生很大改变．越来越多人注重通过摄入充足的水果，补充维生素，提高自身免疫力．郑州某地区适应社会需求，利用当地的地理优势，发展种植某种富含维生素的珍稀果树．经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克，其他人工投人成本合计元．若这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当单株施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元 【分析】（1）用单株产量乘以水果的市场售价减去肥料的成本、人工投人成本得出该果树的单株利润； （2）利用配方法、基本不等式求出的最大值可得答案． 【详解】（1）由题可知 ， ； （2）由（1）得 ， 当时，； 当时，； （当且仅当时，即时等号成立） 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元. 跟踪训练3 1．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件. (1)求的解析式； (2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小. 【答案】(1)（，） (2)，开幕式后的第30天的日销售利润最小 【分析】（1）由题可知，求出即可得解； （2）先求出每件该产品的销售利润，再根据日销售利润即可求出的解析式，再根据基本不等式和函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以（，）； （2）由题可得每件该产品的销售利润为， 所以第天的日销售利润， 即， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上为减函数， 所以此时， 综上所述，当时，取得最小值714， 即开幕式后的第30天的日销售利润最小. 2．电动汽车革命已经成为全球汽车产业发展的新趋势.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2018年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系；（利润=销售额-成本） (2)2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当2018年产量为100百辆时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元 【分析】（1）利用题中给定分段函数及利润等于销售额减去成本即可求解； （2）利用二次函数及基本不等式求出各段的最大值，再比较大小即可求解. 【详解】（1）根据题意，当时， ； 当时，； 故； （2）根据题意，当时，， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立，则有； 由，故； 故当时，即当2018年产量为为100百辆时， 该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元. 3．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为，其中是仪器的产量（单位：台）； (1)将利润表示为产量的函数（利润总收益总成本）； (2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当产量为300台时，最大利润为25000元 【分析】（1）利润收益成本，由已知分两段当时，和当时，求出利润函数的解析式； （2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 则当时，， 当时，， 综上所述，当时，， 所以当产量为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元． 题型四 幂函数模型 例4．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 【答案】（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 【分析】（1）根据芯片的毛收入与投入的资金成正比，且每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元求解；根据芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，将，代入求解； （2）由（1）的结果，比较即可. （3）设投入千万元生产芯片，投入千万元资金生产芯片，由（1）的结果，建立利润函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得， ∴， 生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得. ∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大 （3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片， 投入千万元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 跟踪训练4 1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 2．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.    (1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 3．近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表： 年份 2016 2017 2018 销售量/万斤 41 55 83 结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标． （1）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为；幂函数模型为．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系； （2）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？ 【答案】（1）选用二次函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系；（2）能预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤． 【解析】（1）分别利用前三年的数据求出两个函数的解析式，然后求出两个函数在处的函数值，然后作比较即可； （2）利用二次函数的解析式求出答案即可. 【详解】（1）若选择二次函数模型： 依题意，将前三年数据分别代入， 得即解得 所以． 将代入，得， 所以，此与2019年实际销售量误差为（万斤）． 若选择幂函数模型：依题意，将前三年数据分别代入， 得即 解得所以． 将代入，得， 所以，此与2019年销售量的实际误差为（万斤）． 显然， 因此，选用二次函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系． （2）依据（1），选用二次函数模型进行预测， 得（万斤）． 即预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤． 3质量检测评价 一、单选题 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可. 【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为. 故选：B 2．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断． 【详解】点P在AB上时,； 点P在BC上时， ； 点P在CD上时，； 所以 画出分段函数的大致图象，如图所示． 故选：A． 3．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【答案】B 【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【详解】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B 4．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 5．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 6．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 【答案】D 【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D 二、多选题 7．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ）    A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故y与x的关系式为，故D正确． 故选：BCD 8．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 【答案】BC 【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案． 【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价， 当时，，则为固定成本； 由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误； 故选：BC． 9．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ） A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC 【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解. 【详解】当时，， 故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误； ， 当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误. 故选：BC. 三、填空题 10．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件． 【答案】 【解析】根据题意，可得利润=售价-成本，将利润表示出来，得到关于的二次函数，再根据二次函数性质求解最大值即可. 【详解】设利润为，则，当时，有最大值， 故答案为：18. 【点睛】本题是函数的应用题，关键是建立函数的关系式求解，解函数应用题，一般可按照以下步骤进行： （1）读题：读懂和深刻理解题意，找出等量关系，将应用问题转化为数学问题； （2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； （3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； （4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最终将结果应用于现实. 11．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 【答案】200 【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【详解】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 四、解答题 12．果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入， 看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型. （2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润. 【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 13．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)4千克，480元 【分析】（1）根据单株产量与施用肥料满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案； （2）结合二次函数的最值以及基本不等式求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得 ； （2）当时，， 则当时，取到最大值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 由于， 故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是480元. 14．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足90台时，（万元）；当年产量不少于90台时，（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． (1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少； (2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？ 【答案】(1)生产60台时，获利最大，最大值为1300万元； (2)生产90台时，获利最大，最大值为1500万元. 【分析】（1）表达出获利为，，求出最值； （2）表达出获利为，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）设当年产量不足90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为， 则 ，， 故当时，取得最大值， 故当生产60台时，获利最大，最大值为1300万元； （2）设当年产量不少于90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为， 则 ，， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1500， 故当生产90台时，获利最大，最大值为1500万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$