3.3 幂函数（3知识点+9题型+质量检测）-2024年新高一数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.3幂函数 明确学习目标 课标要求 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 重点难点 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 幂函数的概念 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.理解 (1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1. (3)α是任意常数．(4)函数的定义域与α有关． 3.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 知识点2 幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2.常见幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 知识点3 幂函数性质的综合运用 1.比较幂值大小的两种基本方法 2.解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 2提升学科能力 题型一 幂函数的判断 例1．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 跟踪训练1 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求幂函数解析式 例2．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 2．如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 3．已知幂函数图象过点，当时， . 题型三 幂函数的定义域 例3．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 2．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 3．已知幂函数的图象经过点，则 ，函数的定义域为 . 题型四 幂函数的值域 例4．（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 跟踪训练4 1．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 . 3．函数的值域为 . 题型五 判断幂函数单调性 例5．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤. 3．函数的单调递增区间是 . 题型六 幂函数的图像及其应用 例6．如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 跟踪训练6 1．右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 2．函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（   ） A．B．C．D． 题型七 已知单调性求参数 例7．是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．2或 跟踪训练7 1．当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 3．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 题型八 幂函数单调性解不等式 例8．若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练8 1．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．实数满足，则实数的取值集合为 . 3．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 题型九 幂函数单调性比较大小 例9．已知若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则，，的大小关系是（    ） A． B．； C．； D．． 3．(多选)已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 3质量检测评价 一、单选题 1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ） A．B．C． D． 4．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 8．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 9．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数图像关于轴对称，则 三、填空题 10．已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 11．已知幂函数在区间上是减函数，则的值为 ． 12．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 四、解答题 13．已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 14．已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 15．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3幂函数 明确学习目标 课标要求 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 重点难点 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 幂函数的概念 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.理解 (1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1. (3)α是任意常数．(4)函数的定义域与α有关． 3.幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 知识点2 幂函数的图象与性质 1.常见幂函数的图象 当时，可得到五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示． 2.常见幂函数的性质 观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下： 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 4.幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 知识点3 幂函数性质的综合运用 1.比较幂值大小的两种基本方法 2.解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 2提升学科能力 题型一 幂函数的判断 ç1．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 跟踪训练1 1．下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 2．下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可. 【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确； 对于选项B，是幂函数，故B项正确； 对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立； 对于选项D，是幂函数，故D项正确. 故选：C. 3．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误； 对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误； 对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确； 对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确， 故选：CD. 题型二 求幂函数解析式 例2．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象经过点求解. 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以． 故选：A 跟踪训练2 1．若幂函数的图像经过点，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设出幂函数，然后将代入解析式求出参数即可. 【详解】设，因为图像经过点， 则， 所以． 故答案为： 2．如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由幂函数的定义以及图象与性质即可直接得到答案. 【详解】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 3．已知幂函数图象过点，当时， . 【答案】4 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式，最后代入x求出函数值即可. 【详解】设幂函数解析式为， 代入点可得， 所以幂函数为， 当，所以. 故答案为：4. 题型三 幂函数的定义域 例3．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 跟踪训练3 1．下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 2．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 3．已知幂函数的图象经过点，则 ，函数的定义域为 . 【答案】 【解析】利用幂函数经过的点，求出幂函数的解析式，然后代入即可求得；因为，所以令即可得出函数的定义域. 【详解】解：幂函数的图象经过点，所以，. 所以幂函数为：， 故， 由，解得：， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数求值问题，是一道基础题. 题型四 幂函数的值域 例4．（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域 【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, 故答案为：（1）;, （2）;, （3）;, （4）;. 跟踪训练4 1．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 2．已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 . 【答案】 【分析】先求幂函数解析式，再根据幂函数单调性求最值. 【详解】设，因为的图象过， ，解得， 在上是单调递增的 在上的最大值为， 故答案为: 【点睛】本题考查幂函数解析式以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据的解析式求得的值域. 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 题型五 判断幂函数单调性 例5．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性求解即可. 【详解】解：令，解得， 所以，函数的定义域为，值域为， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在定义域内为增函数， 所以，根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 故选：D 跟踪训练5 1．下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为定义域上的偶函数， 再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确； 对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确； 对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误； 对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，所以D不正确. 故选：A. 2．下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤. 【答案】②④ 【分析】利用奇函数排除给定的部分函数，再利用单调性判断作答. 【详解】函数是偶函数，函数是非奇非偶函数，即①③不是； 函数是奇函数，但在上单调递减，⑤不是； 函数，都是奇函数，且在上单调递增，②④是. 故答案为：②④ 3．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间． 【详解】由得或， ∴函数的定义域为． ∵函数在上单调递减，在上单调递增， 又∵函数在其定义域上单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：． 题型六 幂函数的图像及其应用 例6．如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（    ） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且 【答案】B 【分析】 根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案. 【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增， 故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数. 故选：B 跟踪训练6 1．右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【答案】B 【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可. 【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为； 在第一象限内的图象是； 所以与曲线对应的n依次为2，1，，. 故选：B 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可； 【详解】解：因为的定义域为， 又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误； 故选：A 3．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值确定正确选项. 【详解】依题意， ，排除CD选项. ，排除B选项. 所以A选项正确. 故选：A 题型七 已知单调性求参数 例7．是幂函数，且在上是减函数，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．2或 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或， 由于在上是减函数，所以，故， 因此， 故选：A 跟踪训练7 1．当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解. 【详解】当时，因为函数在为减函数， 所以，解得； 当时，因为函数在为减函数， 所以函数在为增函数， 所以，解得或（舍）； 综上m的取值范围为， 故选：C. 2．若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可得答案. 【详解】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可． 故选：C. 3．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于在区间上是严格增函数， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故答案为： 题型八 幂函数单调性解不等式 例8．若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 跟踪训练8 1．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2． 当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1． 不等式化为， 函数在和上单调递减， 故或或，解得或． 故应选：D． 2．实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 3．已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 题型九 幂函数单调性比较大小 例9．已知若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和不等式的性质即可求解. 【详解】在单调递增， 因为，则，所以， 故选：C. 跟踪训练9 1．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性比较大小． 【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故 故选：B 2．若，则，，的大小关系是（    ） A． B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】直接感觉指数函数与幂函数的单调性进行比较大小即可. 【详解】，， ，，， 得，. ，在上单调递减. . 综上所述：. 故选：B 3．(多选)已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意不同的两点，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小即可求解. 【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点， 所以，即,解得，所以，定义域为， 设，因为，所以在上单调递增， 若，则有，即，故A不正确； 设，定义域为， 因为，所以在上单调递减， 若，则有，即，即， 故B、C正确，D不正确； 故选：BC. 3质量检测评价 一、单选题 1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 2．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 3．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可. 【详解】设幂函数为， 因为该幂函数得图象经过点， 所以，即，解得， 即函数为， 则函数的定义域为，所以排除CD， 因为，所以在上为减函数，所以排除B， 故选：A 4．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数， , 所以，所以， 所以函数的定义域是，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由结合函数的递减区间可得结果. 【详解】， 由得，又， 所以函数的单调递减区间为. 故选：． 6．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数是减函数及幂函数的单调性，可得，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数是减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 7．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质分析可得. 【详解】因为的值域为R，所以， 又因为为奇函数，所以. 故选：AC 8．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．的单调增区间为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】设，则，可得，则， 对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对； 对于B选项，，则函数的值域为，B对； 对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数为非奇非偶函数，C错； 对于D选项，的单调增区间为，D对. 故选：ABD. 9．下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数图像关于轴对称，则 【答案】CD 【分析】A选项，代入点的坐标，得到；B选项，判断出为偶函数，且在上单调递减，故在上单调递增；C选项，因为，所以，，故C正确；D选项，先根据函数为幂函数和图像关于轴对称，得到，再判断出，结合函数单调性比较出大小. 【详解】A选项，设，将代入，，即， 解得，故解析式为，A错误； B选项，因为，所以在上单调递减， 又定义域为，， 故为偶函数，故在上单调递增，B错误； C选项，因为，所以，， 故幂函数始终经过点和，C正确； D选项，由题意得，解得或， 当时，为偶函数，满足图像关于轴对称， 当时，为奇函数，不满足图像关于轴对称，舍去， 其中恒成立， 故， 又在上单调递增，故，D正确. 故选：CD 三、填空题 10．已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 11．已知幂函数在区间上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质得，由此即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，即， 解得或， 又幂函数在区间上是减函数， 所以，故， 故答案为：． 12．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域. 【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为． 故答案为： 四、解答题 13．已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点． (1)求，的表达式； (2)求当为何值时：①；②；③． 【答案】(1)； (2)① 或；②或；③且 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数即可得解； （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，得出交点坐标，结合函数图象即可比较大小. 【详解】（1），∵图象过点，故，解得，∴； ，∵图象过点，∴，解得．∴． （2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示． 由图象可知，、的图象均过点和． 所以①当或时，； ②当或时，； ③当且时，． 14．已知幂函数在上是减函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可； （2）根据幂函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由函数为幂函数得， 解得或， 又函数在上是减函数，则，即， 所以，； （2）由（1）得，所以不等式为， 设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减， 所以解得，所以实数的取值范围是. 15．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设幂函数，根据题意，得到，即可求出解析式； （2）根据题意可得：当时，，结合函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】（1）设，代入点，得，解得， 所以. （2）因为，当时，， 设，则， 又因为是R上的偶函数， 所以， 即当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$