周测卷5（范围3.2）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）（人教A版2019）

周测卷5（范围3.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数是偶函数，且，则 (    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.“”是“在上单调递增”的  (    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若函数为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 1 4.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 5.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是  (    ) A. B. C. D. 6.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若对于定义在R上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量x，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则a的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 8.函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是(    ) A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 10.定义在R上的函数满足，当时，，则满足(    ) A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 11.定义在R上的函数满足，当时，，则函数满足(    ) A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的单调递增区间是__________. 13.已知函数为奇函数，当时，，且，则__________. 14.函数的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 函数是定义在上的奇函数，且 确定的解析式； 判断在上的单调性，并用定义证明． 16.本小题15分 已知定义在上的函数是增函数． 若，求m的取值范围； 若函数是奇函数，且，解不等式 17.本小题15分 设函数是增函数，对于任意x，都有 求； 证明奇函数； 解不等式 18.本小题17分 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是 求的解析式； 设函数在上的最小值为，求的表达式． 19.本小题17分 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有 求的值； 求证：在R上为增函数； 若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷5（范围3.2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数是偶函数，且，则 (    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.“”是“在上单调递增”的  (    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若函数为奇函数，则(    ) A. B. C. D. 1 4.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 5.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是  (    ) A. B. C. D. 6.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若对于定义在R上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量x，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则a的取值范围为  (    ) A. B. C. D. 8.函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是(    ) A. B. 若在上有最小值，则在上有最大值1 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 10.定义在R上的函数满足，当时，，则满足(    ) A. B. 是偶函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 11.定义在R上的函数满足，当时，，则函数满足(    ) A. B. 是奇函数 C. 在上有最大值 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的单调递增区间是__________. 13.已知函数为奇函数，当时，，且，则__________. 14.函数的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 函数是定义在上的奇函数，且 确定的解析式； 判断在上的单调性，并用定义证明． 16.本小题15分 已知定义在上的函数是增函数． 若，求m的取值范围； 若函数是奇函数，且，解不等式 17.本小题15分 设函数是增函数，对于任意x，都有 求； 证明奇函数； 解不等式 18.本小题17分 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是 求的解析式； 设函数在上的最小值为，求的表达式． 19.本小题17分 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有 求的值； 求证：在R上为增函数； 若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题． 利用偶函数的性质可得，即可求得的值． 【解答】 解：是偶函数，，当时，， 又，故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质和充要条件判断，属于基础题. 【解答】 解：若函数在上单调递增，则，， “”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了函数的奇偶性. 根据奇函数的性质可知，根据该性质列等式解方程即可得出. 【解答】 解：方法一：由函数为奇函数，可得， 所以， 所以，化简得恒成立， 所以，即故选 方法二：要使函数有意义， 则且，解得且， 因为为奇函数，所以的定义域关于原点对称， 所以故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，函数图象的作法，属于基础题. 先由函数是奇函数，排除C，D，再由的函数值排除B可得. 【解答】 解：设函数，其定义域为R， ， 是奇函数，排除C，D， 再由时，，排除B，可得选项A符合题意. 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力． 利用函数的奇偶性与单调性比较大小即可. 【解答】 解：因为为偶函数，所以，又因为在上是增函数， 且，所以，即故选D 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题. 由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，即可解得答案． 【解答】解：由函数为奇函数， 得：若，则， 则，即， 又函数在上单调递减， ， 解得：， 的取值范围是 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数新定义问题. 由类偶函数得出根据类偶函数的定义，知存在有限个非零的实数解，得出，解出a即可. 【解答】 解：由，得，即根据类偶函数的定义，可知方程存在有限个非零的实数解，即存在有限个非零的实数解，则，解得故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 去绝对值符号，根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想． 【解答】 解：当时，， 当时，， 作出函数的图象如图： 当时，由，解得或舍去 当时， 当时，由 即，解得， 此时， 上的最小值为，最大值为2， ，， 的最大值为， 故选： 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查函数的解析式，属于基础题. 根据奇函数的定义与性质判断选项即可． 【解答】 解：由得，A正确； 当时，，则时，， ，最大值为1，B正确； 若在上为增函数，则在上为增函数，C错； 若时，，则时，， ，D正确． 故选： 10.【答案】CD  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数的性质，利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是中档题． 赋值法可以求出，由，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断 【解答】 解： 定义在R上的函数满足， 令得：，解得：， 令得：，因为，所以， 故是奇函数，B错误； 任取，，且，则令，，代入得：， 因为当时，，而，所以， 故，即， 所以在R上单调递减， 所以，A错误； 所以函数在上有最大值为，C正确； 由， 在R上单调递减，故，解得， 故的解集为，D正确. 故选 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、最值，属于较难题. 令，对A进行判断；再令y为，得，判断函数的奇偶性；由得，令，再令，，则，结合时，，判断函数的单调性得最值；又，即，结合原函数在定义域内是减函数求解，判断 【解答】 解：定义在R上的函数满足， 令，则，所以，故A正确； 再令y为，得，所以，故该函数为奇函数，故B正确； 由，得， 令，再令，， 则，结合时，， 所以， 所以，所以函数在定义域内是减函数， 所以函数在上递减，故是最小值，是最大值，故C错误； 又，即，结合原函数在定义域内是减函数可得，，解得，故D正确． 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性，属于基础题. 先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出. 【解答】 解：令，解得或，所以函数的定义域为， 而函数的对称轴是， 故函数的单调递增区间是 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题. 利用奇函数得到，代入函数解析式，求解即可. 【解答】 解：因为为奇函数，且当时，， 所以， 解得 14.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了函数的对称性、函数最值的概念，考查求分段函数的定义域、值域、解析式和由基本不等式求最值，属于较难题. 令，利用函数的对称性得函数的图象关于直线对称，再利用函数最值的概念得函数在上的最大值就是函数的最大值，再利用分段函数的最值，结合利用基本不等式求最值，计算得结论. 【解答】解：令， 易得函数的定义域为，且 ， 所以函数的图象关于直线对称， 因此函数在上的最大值就是函数的最大值， 当时，， 所以令， 则函数的最大值就是函数在上的最大值， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此函数的最大值为8， 即函数在上的最大值为8； 当时，， 所以当时，函数取得最大值， 即函数在上的最大值为； 因为， 所以函数在上的最大值为8， 因此函数的最大值为 故答案为： 15.【答案】解：由函数是定义在上的奇函数知， 解得， 经检验，当时，是上的奇函数，满足题意. 又，解得， 故， 在上为增函数.证明如下： 在内任取且， 则， 因为，，，， 所以， 即， 所以在上为增函数   【解析】本题考查奇函数的性质的应用，利用定义法证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调星球参数的取值范围，属于拔高题． 利用函数在上有定义且为奇函数，则，求出b的值，再由求出a的值，即可确定的解析式； 直接利用定义法证明函数在上的单调性； 16.【答案】解：由题意可得： ， 解得， 即m的范围是 函数是奇函数，且， ， ， ， ， ， 不等式的解集为  【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用. 由题意可得，，由此解不等式组求得m的范围． 由题意可得，所以，即可得出结论． 17.【答案】解：由题设，令， 恒等式可变为，解得； 证明：令， 则由得， 即， 故是奇函数； ， ， 即， 又由已知得：， ， 由函数是增函数，不等式转化为，即， 不等式的解集或  【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 利用已知条件通过，直接求； 通过函数的奇偶性的定义，直接证明是奇函数； 利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式的解集即可． 18.【答案】解：是二次函数，且的解集是， 可设， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数， 因为，，， 所以在区间上的最大值是，即， 所以函数的解析式为，； 由得， 函数图象的开口向上，对称轴为直线 ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值； ②当时，在上单调递增， 此时的最小值； ③当时，函数在对称轴处取得最小值， 此时 综上所述，  【解析】本题考查给出一元二次不等式的解集，求二次函数的表达式并求它在闭区间上的最小值，着重考查了二次函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于拔高题. 根据题意，设，可得函数图象的对称轴为直线，恰好位于区间内，比较得的最大值是，得，可得函数的表达式； 分、和三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最小值，最后综合可得的表达式. 19.【答案】解：由，令，则，则； 由可知，任取，，不妨设， 则， ，，，， 故此，函数为R上增函数； 由可知， 故此，， 又在R上是单调增函数， ，，令 由已知，须有， ①当时，即，在单调递增， ， ， ②当时，即时，在先递减后递增， ，即 综上，  【解析】本题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的参数范围的求解方法．属于中档题． 利用赋值法可求解； 由已知条件结合函数单调性的定义可证明函数单调性； 由已知条件和函数单调性可得，令，须有，分情况讨论可求解a的取值范围. 第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$