专题02 有理数与数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 1．（23-24七年级上·广东河源·期末）下列结论正确的是（    ） A．有理数包括正数和负数 B．有理数包括整数和分数 C．是最小的整数 D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等 2．（23-24七年级上·四川甘孜·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为 个． 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·四川南充·期中）在下列各数，，，，，，中，是整数的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）把下列各数分别填入相应的集合：0，，，，，，15，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}． 3．（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）将下列各数填入相应的集合中． 0.2，，0，5，，，1.2，，5.12，． 正整数集合：{          …}；整数集合：{          …}； 分数集合：{          …}；负有理数集合：{          …}． 【经典例题三 0的意义】 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 2．（2023七年级上·全国·专题练习）正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】（23-24七年级上·山东聊城·期中）在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24七年级上·四川·期中）有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，，． （1）正整数集合：{      ……}． （2）负整数集合：{      ……}． （3）整数集合：{      ……}． （4）正数集合：{      ……}． （5）负分数集合：{      ……}． （6）非负有理数集合：{      ……}． 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   1．（23-24七年级上·天津蓟州·期中）如图图中数轴画法不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 2．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有 个． 3．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，    (1)数轴上的点表示的数是__________（填假分数）； (2)点表示的数是__________（填带分数）； (3)点表示的数是__________（填带分数）； (4)在数轴上用表示出这个分数所对应的点． 【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）在数轴上表示有理数，的点如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东江门·期末）大于-1而小于2的整数有是 ； 3．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）点、、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、，若点到点的距离为，则点到点的距离等于（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为 ．    3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： (1)折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为12，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少． 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 1．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 4．（23-24七年级上·福建泉州·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，下面4个结论：①，②，③，④中，正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级上·河南开封·阶段练习）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和 分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A．6.3 B． C． D． 6．（23-24七年级上·重庆巴南·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：－5，，－12，0，，－3.14，＋1.99，＋6，． （1）正数集合：{                                               …}； （2）负数集合：{                                               …}； （3）分数集合：{                                                …}； （4）非负整数集合：{                                             …}． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）在，2020，，0，，+13，，中，正整数有m个，负分数有n个，则m+n的值为 ． 8．（23-24七年级上·河北唐山·期中）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是 ． 9．（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 10．（23-24七年级上·北京西城·期中）数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为： ． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围： ． 11．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中：，6，，，，0，，0.01，． 正数集合：（    ） 整数集合：（    ） 负分数集合：（    ） 非负整数集合：（    ） 12．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）【阅读】 数学学习中我们经常要作分类．例如：学习有理数时，我们可以把有理数这样分类： 【问题解决】 给出下列10个数：，，，，1，，0，，，. (1)请你把这10个数按一定的标准分三类，分类时，给每一类起一个合适的名字，并把符合标准的数填入后面的括号内． 分类一，名字： ________，[                                    ……] 分类二，名字： ________，[                                    ……] 分类三，名字： ________，[                                    ……] (2)把其中数：，，，1，0，表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 13．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 14．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 15．（23-24七年级上·河南周口·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_________个长度单位；在图2中，_________；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的__________； (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若点Q是数轴上一点，且满足，通过计算，求点Q所表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级上·广东河源·期末）下列结论正确的是（    ） A．有理数包括正数和负数 B．有理数包括整数和分数 C．是最小的整数 D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等 【答案】B 【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可． 【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数， ∴A错误，不符合题意； ∵有理数包括整数和分数， ∴B正确，符合题意； ∵没有最小的整数， ∴C错误，不符合题意； ∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键． 2．（23-24七年级上·四川甘孜·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④不仅是有理数，而且是分数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为 个． 【答案】5 【分析】根据有理数的分类作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数，故该项说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，故该项说法错误； ③非负数就是正数和0，故该项说法错误； ④是无理数，故该项说法错误； ⑤是无限循环小数，所以是有理数，故该项说法错误； ⑥无限小数不都是有理数，故该项说法正确； ⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，，故该项说法正确； 所以其中错误的说法的个数为5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ (5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________． 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) (5)，0，，16.2 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得，     即：，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． （5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2， 故答案为：，0，，16.2． 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·四川南充·期中）在下列各数，，，，，，中，是整数的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类．根据整数分为正整数，和负整数，即可求解． 【详解】解：在，，，，，，中，整数有：，，，共有个， 故选：C． 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：是负整数，不是负分数， 是负分数， 是正整数，不是负整数， 是正分数数，不是负分数， 0不是分数， ，是负分数， ，是负分数， 不是负分数， 所以负分数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数，注意：整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数． 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）把下列各数分别填入相应的集合：0，，，，，，15，． 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 负数集合{ …}． 【答案】 0，，15， ，，，， 0， 15，． ，，， 【分析】逐一分析每一个数，然后放入相应的空里．特别要注意是正整数． 【详解】解：0是整数，是负整数，是分数，是负分数，是负分数，是正分数，15是正整数， ， 是正整数． 故答案为：整数集合 0，，15，； 分数集合，，，； 非负整数集合 0，15，； 负数集合，，． 【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 3．（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）将下列各数填入相应的集合中． 0.2，，0，5，，，1.2，，5.12，． 正整数集合：{          …}；整数集合：{          …}； 分数集合：{          …}；负有理数集合：{          …}． 【答案】见详解； 【分析】根据有理数的分类，可得答案； 【详解】解：，， 正整数集合：{ 5、 }； 整数集合：{ 0、5、、   }； 分数集合：{0.2、 、 、  、1.2、5.12 }； 负有理数集合：{、 }． 【点睛】本题考查了有理数分类，熟练掌握有理数的定义，是解题关键． 【经典例题三 0的意义】 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故④正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 1．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【答案】C 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案． 【详解】A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， D、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了有理数，正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）正数：比 大的数；负数：在正数前面加上 的数， 既不是正数，也不是负数． 【答案】 0 负号 0 【分析】根据有理数的有关概念判断即可． 【详解】解：根据题意， 正数：比0大的数；负数：在正数前面加上负号的数，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0，负号，0 【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义进行判断． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】（23-24七年级上·山东聊城·期中）在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】要做此题，必须弄清正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0． 【详解】解：根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义，熟练掌握是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分； ②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数； ③、非负数指的是正数和0，说法错误； ④、整数和分数统称有理数，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键． 2．（23-24七年级上·四川·期中）有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则 ． 【答案】0 【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：分数有，，，∴， 非负整数有0，5，∴， 有理数有5，0，，，，∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，，． （1）正整数集合：{      ……}． （2）负整数集合：{      ……}． （3）整数集合：{      ……}． （4）正数集合：{      ……}． （5）负分数集合：{      ……}． （6）非负有理数集合：{      ……}． 【答案】（1），；（2）；（3），，，；（4），，，，；（5），，，；（6），，，，， 【分析】根据有理数的分类逐个数字进行分类即可． 【详解】解：正整数集合：， 负整数集合：， 整数集合：， 正数集合：， 负分数集合：， 非负有理数集合：． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各个数集的定义是解答本题的关键． 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 1．（23-24七年级上·天津蓟州·期中）如图图中数轴画法不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据数轴的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）没有正方向，数轴画法不正确； （2）单位不统一，数轴画法不正确； （3）缺少单位长度，数轴画法不正确； （4）单位不统一，数轴画法不正确； （5）符合数轴的定义，数轴画法正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【答案】1 【分析】根据数轴的定义和三要素逐一判断即可． 【详解】解：①不是数轴，没有正方向； ②不是数轴，没有单位长度； ③不是数轴，-1，-2，-3的位置错误； ④不是数轴，没有原点； ⑤不是直线； ⑥是数轴； 所以只有⑥是数轴，有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义和三要素，熟练掌握数周的定义，以及三要素——原点、单位长度、正方向是解题的关键． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由 【答案】1、错误；2、错误；3、错误；4、错误；5、错误；6、错误；7、错误；8、正确 【分析】根据数轴的概念，即可求解． 【详解】解：1、不是直线，故所画错误； 2、不是直线，故所画错误； 3、无原点，故所画错误； 4、无单位长度，故所画错误； 5、无正方向，故所画错误； 6、数轴只有一个正方向，故所画错误； 7、数轴上右边的数总是大于左边的数，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，故所画错误； 8、原点、正方向、长度单位都有，故所画正确． 【点睛】本题主要考查了数轴的概念，熟练掌握规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．原点，正方向，单位长度是数轴的三要素是解题的关键． 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， 余， 数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合， 故选：D． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 【答案】A 【分析】从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环，通过循环即可找出表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母． 【详解】解：由题可知，从0到-2014共2015个数，与圆周上重合的点对应的字母按p，q，m，n的顺序循环 ∴表示-2014的点与圆周上重合的点对应的字母是m 故选：A． 【点睛】本题考查了数字循环问题，找出是每4个一循环是解题关键．易错点：0到-2014共2015个数，容易漏掉0． 2．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有 个． 【答案】6 【分析】在数轴上找出点和，找出两点之间的整数即可得出结论． 【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示．    在和两点之间的整数有：，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答． 3．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，    (1)数轴上的点表示的数是__________（填假分数）； (2)点表示的数是__________（填带分数）； (3)点表示的数是__________（填带分数）； (4)在数轴上用表示出这个分数所对应的点． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查数轴上有理数的位置，单位“1”的意义； （1）根据数轴上各点的位置可知，到之间，每一小格表示个单位长度， （2）到之间每格表示，由此即可求解． （3）到之间每格表示，由此即可求解． （4）将0到1之间分成4等分，进而在数轴上标出这个分数所对应的点． 【详解】（1）解：∵数轴上，到之间每一小格表示个单位长度， ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）解：∵数轴上， 到之间每格表示， ∴点表示的数是， 故答案为：． （3）解：∵数轴上， 到之间每格表示， 点表示的数是， 故答案为：． （4）解：数轴上标出所对应的点的位置，如图所示，    【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）在数轴上表示有理数，的点如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出、的正负，然后在比较出、的大小，最后结合选项进行判断即可． 【详解】解：由点在数轴上的位置可知：，，， 、由于，，，，故本选项错误，不符合题意； 、由于，，，，故本选项正确，符合题意； 、由于，，，，故本选项错误，不符合题意； 、由于，，，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题重点考查了数轴上的点和有理数的关系，正数，负数大小的比较，绝对值等知识点，读懂数轴的信息是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·广东江门·期末）大于-1而小于2的整数有是 ； 【答案】-1,0,1,2 【分析】根据题意先画出数轴，然后根据整数定义即可解答． 【详解】如图所示： ∴大于-1而小于2的整数有－1，0，1,2. 故答案是：-1,0,1,2. 【点睛】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握“数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大”是解题的关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴，再把数表示在数轴上即可； （2）根据数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【详解】解：（1）如图： ． （2）． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）点、、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、，若点到点的距离为，则点到点的距离等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置，利用分类讨论得出答案． 【详解】解：点、表示的数分别为、，且点到点的距离为， 当点在点的左侧时，点表示的数是， 此时点与点的距离是， 当点在点的右侧时，点表示的数是， 此时点与点的距离是， 点与点的距离为或， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴的有关知识点，分情况讨论得到点表示的数是解题关键． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，．若点所表示的数为，则点所表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点点的距离公式是解题的关键．将在数轴上表示的点表示出来即可得到答案． 【详解】点所表示的数为，且位于原点左侧， 长为． ， 长为． ，且点在原点右侧， 点所表示的数为． 故答案为： 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： (1)折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为12，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少． 【答案】(1)3 (2)① ②A、B两点表示的数分别是、 【分析】本题考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律， （1）与重合，可以发现与互为相反数，因此表示的点与表示的点重合； （2）①表示的点与表示的点重合，则折痕点为，因此表示的点与数表示的点重合； ②由①知折痕点为，且A、B两点之间距离为，则B点表示，A表示． 【详解】（1）解：∵与重合； ∴折痕点为原点； ∴表示的点与表示的点重合． 故答案为． （2）①∵由表示的点与表示的点重合； ∴可确定对称点是表示的点； ∴表示的点与数表示的点重合． 故答案为． ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为； ∵对称点是表示的点； ∴A、B两点表示的数分别是、． 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 【答案】C 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2021个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是2020个． 【详解】依题意得： ①当线段AB起点在整点时覆盖2021个数， ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2020个数， 综上所述，盖住的点为：2020或2021． 故选：C． 【点睛】此题考查了数轴，在学习中要注意培养学生数形结合的思想，注意不要遗漏． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    【答案】7 【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案． 【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个； 故答案为：7． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 3．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是． 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 1．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：有理数有：，7，三个数， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记整数与分数统称有理数． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论思想的运用，设P、C间的路程为，分类讨论，当点P在点C的左侧和点P在点C的右侧，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：设P、C间的路程为，由题意，得： 如图1，当点P在点C的左侧． 车站到三个村庄的路程之和为：； 如图2，当点P在点C的右侧， 车站到三个村庄的路程之和为：． 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； 设车站到三个村庄的路程之和为y，由题意，得， ∴当时． ∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选：A． 4．（23-24七年级上·福建泉州·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，下面4个结论：①，②，③，④中，正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算法则及在数轴上表示数，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．先根据点在数轴上的位置得到，再根据加法法则、减法法则、多个有理数乘法法则、除法法则进行判断各式的符号即可， 【详解】解：由题意可得，， ∴，，，， 故②错误，①③④正确， 故选：C 5．（23-24七年级上·河南开封·阶段练习）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和 分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A．6.3 B． C． D． 【答案】B 【分析】刻度尺上从到的长度为，因此在数轴上从3到刻度尺上对应数轴上的数这两点之间的距离也为，由此可计算出刻度尺上对应数轴上的数． 【详解】解：由题意，， 则刻度尺上对应数轴上的数为， 故选：B 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离右边的点对应的数左边的点对应的数．熟练掌握这一点知识是解题的关键． 6．（23-24七年级上·重庆巴南·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：－5，，－12，0，，－3.14，＋1.99，＋6，． （1）正数集合：{                                               …}； （2）负数集合：{                                               …}； （3）分数集合：{                                                …}； （4）非负整数集合：{                                             …}． 【答案】（1），＋1.99，＋6，；（2）－5，，－12，－3.14；（3） ，，－3.14，＋1.99，；（4）0，＋6 【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可． 【详解】解：（1）正数集合：{ ，＋1.99，＋6，       …}； （2）负数集合：{ －5，，－12，－3.14     …}； （3）分数集合：{   ， ， －3.14，＋1.99，     …}； （4）非负整数集合：{  0，＋6              …}. 【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）在，2020，，0，，+13，，中，正整数有m个，负分数有n个，则m+n的值为 ． 【答案】4 【分析】根据正整数，负分数的定义得出它们的个数，再代入计算即可． 【详解】正整数有2020，+13，所以m=2， 负分数有，，所以n=2， 所以m+n=2+2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键． 8．（23-24七年级上·河北唐山·期中）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点、在数轴上表示的数为、，则、两点之间的距离为．设出点所表示的数，根据点、所表示的数，可以表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程求解即可． 【详解】解：设点所表示的数为，则，， ，点表示的数为9， 点表示的数为， 根据折叠得， ， 解得，， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 10．（23-24七年级上·北京西城·期中）数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为： ． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围： ． 【答案】 4 【分析】本题考查了新定义，数轴上的点表示有理数，关键是新定义的阅读理解要准确． （1）根据捕获点的定义求点A所表示数的取值范围，得到最大值． （2）点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，找到两个范围，取公共部分即可． 【详解】解：点A是点O关于点N的捕获点， ， ， ， ∴点A所表示数的最大值为：4． 故答案为：4． （2）∵点A是点C关于点B的捕获点， ， ， ， 点表示的数是5， 或． 点是点关于点的捕获点， ， ， ， 或， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中：，6，，，，0，，0.01，． 正数集合：（    ） 整数集合：（    ） 负分数集合：（    ） 非负整数集合：（    ） 【答案】6，，，，0.01；，6，0；，；6，0 【分析】根据有理数的定义和分类处理． 【详解】正数集合：（6，，，，0.01…） 整数集合：（，6，0…） 负分数集合：（，…）， 非负整数集合：（6，0…） 故答案为：6，，，，0.01；，6，0；，；6，0． 【点睛】本题考查有理数的定义和分类；理解有理数的分类方法是解题的关键． 12．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）【阅读】 数学学习中我们经常要作分类．例如：学习有理数时，我们可以把有理数这样分类： 【问题解决】 给出下列10个数：，，，，1，，0，，，. (1)请你把这10个数按一定的标准分三类，分类时，给每一类起一个合适的名字，并把符合标准的数填入后面的括号内． 分类一，名字： ________，[                                    ……] 分类二，名字： ________，[                                    ……] 分类三，名字： ________，[                                    ……] (2)把其中数：，，，1，0，表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了对有理数的认识，能按照正负形比较大小是排列关键． （1）可按照正数、负数、零分类． （2）按照正负形即可排列大小． 【详解】（1）分类一：名字：正数，，1，，， 分类二：名字：负数，，，，． 分类三：名字：零，0 （2） 正确表示 由图可知： 13．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12； (2)或； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离，分点在、之间与点在点右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵M对应的数是，点N对应的数是， ∴， 答：的值是； （2）解：①当点在、之间时， ∵， ∴， 即， ， ②当点在点右侧时， ∵， ∴， ， 答：x的值是5或． 14．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数； (2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为2 (2)存在，x的值为或14.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离： （1）根据点C到A、B两点的距离相等，求得点A、B间的距离，再用点B表示的数减去A、B两点间距离的一半即可得到点C表示的数； （2）由A、B两点的距离为16，可知点C在不可能在点A，B之间，再分两种情况：①当点C在点A的左边时，②当点C在点B的右边时，求解即可． 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为， 所以点C表示的数为． （2）解：存在，且x的值为或14.5．理由如下： 因为点A、B间的距离， 所以点C在不可能在点A，B之间， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，； ②当点C在点B的右边时，． 综上所述，x的值为或14.5． 15．（23-24七年级上·河南周口·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点B对应刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_________个长度单位；在图2中，_________；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的__________； (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若点Q是数轴上一点，且满足，通过计算，求点Q所表示的数． 【答案】(1)9，5.4，0.6 (2) (3)1或 【分析】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）由图1和图2可求解； （2）先求出之间在数轴上的距离，即可求解； （3）由，可求解． 【详解】（1）解：由图1可得，由图2可得， 数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为：， 故答案为：9，5.4，0.6； （2）由图2得：， ∴AB在数轴上的距离为个单位长度， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）， ， 点A所表示的数为， 点Q表示的数为或． 点表示的数为1或． 学科网（北京）股份有限公司 $$