精品解析：吉林省长春市博硕学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

长春博硕学校 数学试卷 2023－2024学年第二学期八年级期末检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图像一定经过的点（ ） A. B. C. D. 3. 若点P（2，b）在第四象限内，则点Q（b，－2）所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 5. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为_______． 10. 已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为_________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 如图，在四边形中，平分，且，．当________时，． 14. 如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①﹔②若，则﹔③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或2，其中正确的结论有________﹒（填序号） 三、解答题（共10道小题，共78分） 15. 解一元二次方程： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； 18. 如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上． （1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点． （2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． （3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． 19. 现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 20. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 21. 如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 22. ，两地相距，甲、乙两车分别从地和地同时出发相向而行．他们距地的路程和出发后的时间（）之间的函数关系的图象如图所示． （1）分别求出甲、乙两车距地的路程与时间的函数关系式； （2）求甲乙两车相遇的时间； （3）直接写出两车相距千米时的值； 23. 【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由． 24. 已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时，若点在图象G上，求n的值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象G与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春博硕学校 数学试卷 2023－2024学年第二学期八年级期末检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 反比例函数的图像一定经过的点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数中， A、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、∵，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 若点P（2，b）在第四象限内，则点Q（b，－2）所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P（2，b）在第四象限内，确定的符号，即可求解． 【详解】解：点P（2，b）在第四象限内，∴， 所以，点Q（b，－2）所在象限是第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，解决本题的关键是要熟练掌握点在各象限的符号特征． 4. 如图，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出． 【详解】解：， ， ， ． 故选D． 5. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【详解】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，所以平均数发生了变化，故A不符合题意； B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符； C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符； D、原来数据的方差=， 添加数字3后的方差=，故方差发生了变化，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 7. 若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，由该函数图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 故选：C． 8. 如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数值，根据题意，把代入计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴把代入，得：， ∴该地区某海拔高度为的山顶上的温度为， 故答案为：． 10. 已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 11. 如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴时，， 又y随x的增大而减小， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，平分，且，．当________时，． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 14. 如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①﹔②若，则﹔③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或2，其中正确的结论有________﹒（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题、矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由折叠得，得，即可判断①；证明得到，即可求出，即可②；当点与重合时，在中，利用勾股定理求出，即可判断③；若是以为腰的等腰三角形，分两种情况∶时和时，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可判定④． 【详解】解：由折叠得：， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴， 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 设，则， 如图：当点与重合时，， 在中，，即， ∴，故③错误； 如图：若是以为腰的等腰三角形，且时，如图：连接, ∵， ∴，即， ∵， ∴， 若是以为腰的等腰三角形，且时， 设，则， 在中，，即，解得：，即； 综上，或2故④正确； 故答案为∶①②④． 三、解答题（共10道小题，共78分） 15. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和直接开平方方成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法解一元二次方程即可解答； （2）运用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ，． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，灵活利用数形结合的思想求解． （1）把代入可得，即；将代入得，即，再运用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）先求出即，然后根据坐标与图形求面积即可． 【小问1详解】 解：把代入得：，解得:， 反比例函数的表达式是： 把代入得：，即， 把A，B的坐标代入， 得，解得：． 一次函数的表达式是： ． 【小问2详解】 解：设直线交y轴于C， 把代入得：，即 ， ，， ． 18. 如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上． （1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点． （2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． （3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． 【答案】 （1）如图①,等腰梯形ABCD即为所求； （2）如图②，平行四边形ABCD即为所求； （3）如图③所示，正方形ABCD即为所求； 【解析】 【分析】（1）以AB为一腰，构造一个等腰梯形即可； （2）以AB为一边，构造一个一般的平行四边形即可； （3）以AB为一边，构造一个正方形即可； 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的特征，熟悉基本图形的特征是解题的关键，属于中考常考题型． 19. 现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直角墙角处围成一个矩形堆物场地（靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要使所围成的矩形和矩形的面积分别是和，求BF的长（假设已有建筑材料恰好用完） 【答案】的长是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形的面积公式及矩形的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可求出的长． 【详解】解：设的长为，则的长为，依题意，得： ， 整理，得：， 解得： ， 答：的长是 20. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 21. 如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 【答案】（1） 证明：∵∠A=∠F， ∴DEBC， ∵∠1=∠2，∠1=∠DMF， ∴∠DMF=∠2， ∴DBEC， ∴四边形BCED是平行四边形， （2）CN=2 【解析】 【分析】（1）证明DEBC，再证∠DMF=∠2，得DBEC，则四边形BCED是平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）得：BC=DE=2，ECDB，再由平行线的性质得∠CNB=∠DBN，然后证∠CNB=∠CBN，则可由CN=BC求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵BN平分∠DBC， ∴∠DBN=∠CBN， 由（1）得：BC=DE=2，ECDB， ∴∠CNB=∠DBN， ∴∠CNB=∠CBN， ∴CN=BC=2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED为平行四边形是解题的关键． 22. ，两地相距，甲、乙两车分别从地和地同时出发相向而行．他们距地的路程和出发后的时间（）之间的函数关系的图象如图所示． （1）分别求出甲、乙两车距地的路程与时间的函数关系式； （2）求甲乙两车相遇的时间； （3）直接写出两车相距千米时的值； 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）：依题意，设甲车离开地的距离与的关系式为：，设乙车离开地的距离与的关系式为：，待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意，由（1）中的关系式，令两车的路程相等，解方程，即可求解； （3）根据两车相距千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设甲车离开地的距离与的关系式为： 当时， 即： ， ， 设乙车离开地的距离与的关系式为： 观察图象可知：时，；时， 解得：， 乙车离开地的距离与的关系式为： 【小问2详解】 依题意可得： 解得 【小问3详解】 解：依题意，或 解得：或 23. 【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形； （2）过点E作于点G，可得为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，故由代入求解即可； （3）①点F在线段上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 ，对运用勾股定理得，则，点F在线段延长线上，同理可求． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴此时， ∵翻折， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）过点E作于点G，则 ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ∵翻折， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， ∴； （3）①点F在线段上，当F、E、D三点共线时，如图： ∵翻折 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴， ②点F在线段延长线上，当F、E、D三点共线时，如图： 同理可求：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．． 24. 已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时，若点在图象G上，求n的值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数最大值与最小值的差； （4）已知点，，当图象G与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3）1 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数图像与性质等、解不等式组知识点，掌握分类讨论和数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求解即可； （2）将代入解析式,然后根据一次函数的图形的性质求最值即可； （3）根据一次函数的图像的性质求得最大和最小值，然后作差即可解答； （4）先分别求出函数与的交点，然后分情况画出图形，并根据图形列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，函数， ∵点在图像G上， ∴当时，． 【小问2详解】 解：当时，函数， 当时，由，则y随x的增大而增大，即当时，函数有最大值2； 当时，由，则y随x的增大而减小，即当时，函数有最大值2； 综上，函数的最大值为2． 【小问3详解】 解：函数， 所以当时， y随x的增大而增大；当时，则y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； 当时，y有最大值； 当时，y有最小值； 当时，y有最小值； 当时，y有最小值； ∴当时，y有最大值，最小值， ∴函数最大值与最小值的差为． 【小问4详解】 解：， ∵， ∴该分段函数图像大致为： ∵，， ∴线段在直线上． 若图象G与线段只有一个公共点时，有如下几种情况： ①∵或， ∴此时线段与图象G无交点； ②令，，分别解得：，， 当，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得不等式无解； 当，A、B同为，与图形G无交点， 当，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：； ③令，，分别解得：，， 当，如图：点A、B、C、D分别表示 ∴，解得方程组无解； 当，A、B同为，与图形G无交点， 当，如图：点A、B、C、D分别表示， ∴，解得：． 综上或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $