精品解析：江苏省苏州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年七年级下学期期末摸底调研卷 数学学科 （总分：130分；考试时长：120分钟） 一、单选题（共24分） 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 3. 计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A. B. C. D. 6. 若不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 规定：，如，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 8. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 二、填空题（共24分） 9. 分解因式：___ 10. 某种颗粒物的直径约为米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为______米． 11. 命题“若a≥b，则ac≥bc”是____命题．（填“真”或“假”） 12 若，则_________． 13. 若m2＝n＋2021，n2＝m＋2021（m≠n），那么代数式m3－2mn＋n3值 _________． 14. 如图，中，，平分，交于点D，，交于点E，则________． 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 16. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是________． 三、解答题（共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 已知：，求证： （1）； （2）． 20. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形．试在方格纸上画出相应的格点三角形： （1）在图1中画出一个格点三角形与ABC全等且有一条公共边AB； （2）在图2中画出一个格点三角形与ABC全等且有一个公共角∠C 21. 科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 22. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”?说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值： （3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”?如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由． 23. 阅读：若满足，求的值， 解：设，，则______，______，所以______． 请仿照上例解决下面的问题： （1）补全题目中横线处： （2）已知，求的值； （3）若满足，求的值； （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是400，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 24. 如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，其中中，，，中，，，，点C在线段上．射线从出发，绕点A以/秒的速度顺时针旋转；同时，射线从出发，绕点D顺时针旋转．设射线运动的时间为t秒（），与交于点M，与交于点N． 　　　 （1）若射线旋转速度为/秒，则________； （2）设射线旋转的速度为/秒，当射线与旋转到某处时，与全等，求相应的t、x的值． 25. （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________； （2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由． 26. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间． 27. 【教材再现】 人教版教材介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： 如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M．作射线OM． 则射线OM为∠AOB平分线． （1）这种用尺规作图作∠AOB的平分线的方法的数学知识源是全等三角形的对应角相等，那么这里证明三角形全等的依据是___． 【数学思考】 如图2，在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学又研究了用一个直角三角板画角的平分线的方法： 用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OC、OD，使OC＝OD． 过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F；CE、DF交于点M． 作射线OM． （2）请根据小亮同学的方法画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】 （3）如图3，已知四边形ABCD中，，AC平分∠BAD，CH⊥AB于点H．请直接写出线段AB、AD、AH之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年七年级下学期期末摸底调研卷 数学学科 （总分：130分；考试时长：120分钟） 一、单选题（共24分） 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 2. 如图，在一个弯形管道中，测得，后，就可以知道管道，其依据的定理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故选C． 3. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解：， 故选D． 4. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择． 【详解】设第三边的长为x， ∵ 角形的两边长分别为和， ∴3cm＜x＜13cm, 故选C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． 5. 若中不含项，则，满足的数量关系是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含项，即可求出a与b的值． 【详解】 ∵不含项， 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 若不等式组有解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组有解，结合“大小小大中间找”的原则即可求出答案． 【详解】解：不等式组有解， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组解集的求法，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7. 规定：，如，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算，再根据平方的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴，即的最小值为1， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解答此景观规划没人关键． 8. 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若AEP与BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ） A. 2或 B. 6或 C. 2或6 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】设Q运动的速度为x cm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=8cm， ∴AE=4cm， 设点Q运动速度为x cm/s， ①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ， ， 解得：， 即点Q的运动速度cm/s时，能使两三角形全等． ②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP， ， 解得：， 即点Q的运动速度6cm/s时，能使两三角形全等． 综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了． 二、填空题（共24分） 9. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【详解】由平方差公式，分解得：． 故答案为． 10. 某种颗粒物的直径约为米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 命题“若a≥b，则ac≥bc”是____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质的应用判断命题的真假． 【详解】解：当c=0时，ac=bc，故该命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了不等式的性质，真假命题的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用消元法求解二元一次方程组，然后将值代入代数式即可． 【详解】解： ①②得：，解得 将代入①得，，解得 将代入得， 故答案为 【点睛】此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 13. 若m2＝n＋2021，n2＝m＋2021（m≠n），那么代数式m3－2mn＋n3的值 _________． 【答案】-2021 【解析】 【分析】将两式m2=n+2021，n2=m+2021相减得出m+n=-1，将m2=n+2021两边乘以m，n2=m+2021两边乘以n再相加便可得出． 【详解】解：将两式m2=n+2021，n2=m+2021相减， 得m2-n2=n-m， （m+n）（m-n）=n-m，（因为m≠n，所以m-n≠0）， m+n=-1， 将m2=n+2021两边乘以m，得m³=mn+2021m ①， 将n2=m+2021两边乘以n，得n³=mn+2021n  ②， 由①+②得：m³+n³=2mn+2021（m+n）， m³+n³-2mn=2021（m+n）， m³+n³-2mn=2021×（-1）=-2021． 故答案为-2021． 【点睛】本题考查因式分解应用，代数式m3-2mn+n3的降次处理是解题关键． 14. 如图，中，，平分，交于点D，，交于点E，则________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知的度数，再由平分得到，进而根据外角的性质即可求得的度数． 【详解】∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案：13 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及三角形的外角性质，熟练掌握相关角度计算方法是解决本题的关键． 15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式x-a≤2得：x≤2+a， 解不等式x+3＞4得：x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤2+a， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴4≤2+a＜5， ∴2≤a＜3， 故答案为2≤a＜3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 16. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先逐项化简，再合并同类项即可； 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的四则混合运算，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式即可得到结果； （2）原式先去括号化简，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）8-2a2 =2（4-a2） =2（2+a）（2-a）； （2）（x-1）（x-3）+1． =x2-4x+3+1 =x2-4x+4 =（x-2）2． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19. 已知：，求证： （1）； （2）． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平行的性质和全等三角形的判定方法进行解答； （2）根据全等三角形的性质，对应边相等进行转化进行求解. 【详解】（1）解：因为AB//CD， 所以∠B=∠ECD， 因为∠B=∠ECD，∠A=∠CED，AC=DE ， 所以△ABC≌△ECD ， （2）解：因为△ABC≌△ECD ， 所以AB=CE，BC=CD， 因为BE=BC-CE， 所以BE=CD−AB . 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的性质和判定. 20. 如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的格点上，这样的三角形叫做格点三角形．试在方格纸上画出相应的格点三角形： （1）在图1中画出一个格点三角形与ABC全等且有一条公共边AB； （2）在图2中画出一个格点三角形与ABC全等且有一个公共角∠C 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案； （2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：（1）如图1所示：△ABD即为所求； （2）如图2所示：△DCE即为所求． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 21. 科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数． 【答案】（1）A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹 （2）最多应购进A种机器人100台 【解析】 【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可； （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列不等式40m+50（200-m）≥9000，求最大整数解即可． 【小问1详解】 设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹， 根据题意，得 解得， 答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹． 【小问2详解】 设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台． 根据题意，得40m+50（200-m）≥9000， 解得m≤100． 答：最多应购进A种机器人100台． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． 22. 对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解与是否具有“邻好关系”?说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值： （3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系”?如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由． 【答案】（1），具有“邻好关系”，见解析；（2）或；（3）具有，，方程组的解为 【解析】 【分析】（1）表示出方程组的解，利用题中的新定义判断即可； （2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可； （3）方程组两方程相加消元x，表示出y，根据a，x，y都为正整数，利用题中的新定义确定出a与方程组的解即可． 【详解】（1）方程组 由②得：，即满足． 方程组的解，具有“邻好关系”； （2）方程组 ①-②得：，即． 方程组的解，具有“邻好关系”， ，即 或： （3）方程两式相加得：， ，，均为正整数， ，，（舍去），（舍去）， 在上面符合题宜的两组解中，只有时，． ，方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 23. 阅读：若满足，求的值， 解：设，，则______，______，所以______． 请仿照上例解决下面的问题： （1）补全题目中横线处： （2）已知，求的值； （3）若满足，求的值； （4）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是400，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】（1）30，20，340；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算，并根据完全平方公式可解决问题即可； （2）模仿例题，利用换元法解决问题即可； （3）设2023-x=m，2022-x=n，则m2+n2=2021，m-n=1，根据（m-n）2可得mn的值，从而得结论； （4）表示DE和DG的长，根据长方形EFGD的面积是400列等式，可得ab=15，ab=400，从而得结论． 【详解】解：（1）设，， 则，， 所以； 故答案为：30，20，340； （2）设，， 则，， ； （3）设，， 则，， ， ， ，即； （4）由题意得：，， 则， 设，， 则，， ． 【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． 24. 如图，将一副三角板按如图所示的方式放置，其中中，，，中，，，，点C在线段上．射线从出发，绕点A以/秒的速度顺时针旋转；同时，射线从出发，绕点D顺时针旋转．设射线运动的时间为t秒（），与交于点M，与交于点N． 　　　 （1）若射线旋转的速度为/秒，则________； （2）设射线旋转的速度为/秒，当射线与旋转到某处时，与全等，求相应的t、x的值． 【答案】（1）105°；（2）或 【解析】 分析】（1）根据题意可知∠BAD=75°，，，∠NAD=∠BAD-=75°-5t，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）分△ABM≌△DAN时和当△ABM≌△ADN时两种情况分类讨论求解即可得到答案. 【详解】解：（1）∵45°，30°， ∴∠BAD=75°， ∵射线从出发，绕点A以5°/秒的速度顺时针旋转， ∴， ∵射线旋转的速度为5°/秒 ∴， ∴∠NAD=∠BAD-=75°-5t， ∴∠AND=180°-∠NAD-=105°； （2）由题意得：AB=AD，∠BAM=5t，∠ADN=xt，∠B=45°， ∴∠DAN=75°-5t， 当△ABM≌△DAN时，有 即， 解得； 当△ABM≌△ADN时，有 即， 解得； ∴综上所述，当三角形ABM与三角形AND全等时，或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 25. （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________； （2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN； （3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由． 【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析 【解析】 【分析】（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论． （2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论． （3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可． 【详解】解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE=AC=8， 在△ABE中，由三角形三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB， ∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13， ∴＜AD＜， 故答案为：SAS，＜AD＜； （2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF， 同（1）得：△BFD≌△CND（SAS）， ∴BF=CN， ∵DM⊥DN，FD=ND， ∴MF=MN， 在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF， ∴BM+CN＞MN． （3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN． 理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G． 由（1）得：△BAD≌△CED， ∴∠BAD=∠E，AB=CE， ∵∠BAM=∠NAC=90°， ∴∠BAC+∠MAN=180°， 即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°， ∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°， ∴∠ACE=∠MAN， ∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形， ∴AB=MA，AC=AN， ∴CE=MA， ∴△ACE≌△NAM（SAS）， ∴AE=MN，∠EAC=∠MNA， ∴2AD=MN． ∵∠NAC=90°， ∴∠EAC+∠NAG=90°， ∴∠MNA+∠NAG=90°， ∴∠AGN=90°， ∴AD⊥MN． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． 26. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），，，， 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角反射光线与镜面的夹角，从而求出夹角，然后求出对应的角； （3）通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用来表示，然后求出值． 【详解】（1）证明：如图，延长入射光线，与直线相交得到，， ， ， ， ，， ， ； （2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图 ， 解得：； ， ， 当时， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 综上所述所有满足条件的时间，，，，． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度是解答本题的关键． 27. 【教材再现】 人教版教材介绍了用尺规作图作角平分线，作法如下： 如图1，以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点M．作射线OM． 则射线OM为∠AOB的平分线． （1）这种用尺规作图作∠AOB的平分线的方法的数学知识源是全等三角形的对应角相等，那么这里证明三角形全等的依据是___． 【数学思考】 如图2，在学习了这个尺规作图作角的平分线后，小亮同学又研究了用一个直角三角板画角的平分线的方法： 用三角板上的刻度，在OA，OB上分别截取OC、OD，使OC＝OD． 过C作CE⊥OB，垂足为E．过D作DF⊥OA，垂足为F；CE、DF交于点M． 作射线OM． （2）请根据小亮同学的方法画出图形，并证明OM平分∠AOB． 【问题解决】 （3）如图3，已知四边形ABCD中，，AC平分∠BAD，CH⊥AB于点H．请直接写出线段AB、AD、AH之间的数量关系． 【答案】（1）SSS （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法得出答案； （2）利用AAS证明，再运用HL证明，即可得出答案； （3）过点C作于F，利用AAS证明，再运用AAS证明，即可得出答案． 【小问1详解】 用尺规作图作的平分线原理是证明两个三角形全等，证明三角形全等的依据是SSS； 故答案为：SSS． 【小问2详解】 如图， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 ，理由如下： 如下图，过点C作于F，则， ∵， ∴ ∴， ∵AC平分， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了基本作图，全等三角形的性质和判定，正确掌握全等三角形判定和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$