第08讲 热点题型精讲—等腰三角形-2024-2025学年苏科版八年级数学上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第08讲 热点题型精讲—等腰三角形 · 学习目标 1. 掌握等腰三角形的定义、性质、判定； · 掌握等边三角形的定义、性质、判定。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 2.等腰三角形的性质定理： 性质 文字语言 符号语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 1. 等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 名师点拨： “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别，何时用？ · 等边对等角是性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； · 等角对等边是判定，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点2：等边三角形的轴对称性 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） · 典型例题 题型1 等腰三角形中角度的计算问题 如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点，连接．若，求的度数． 题型2 等腰三角形中线段的计算与证明 如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 题型3 等腰三角形的个数问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 题型4 与等腰三角形相关的尺规作图问题 已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法； (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 题型5 等腰三角形的规律探究问题 如图（1），是边长为2的等边三角形；如图（2），取的中点，画等边三角形，连接；如图（3），取的中点，画等边三角形，连接；…，按上述规律做下去，则的长为 ． 题型6 等腰三角形的综合探究问题 等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，同学们探究得到了以下判定和性质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都是．请应用以上知识解决下列问题： 已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，点D在右侧，且，连接交于点E． 【初步应用】（1）如图1，若，则_______°； 【深化应用】（2）如图2，在（1）的基础上，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）若，当最长时，请直接写出的长． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 3．如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 5．在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 6．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 第6题 第7题 7．如图，在中，是边上的高，，，则下列结论正确的有：①，②，③， ④、的面积分别表示为、．则，⑤（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 8．数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（    ） A．6 B．8 C． D．10 二、填空题（本大题共10小题） 9．如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 第9题 第10题 10．如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则 ． 11．如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 第11题 第12题 12．如图，四边形是长方形，和关于对角线对称，点C的对应点为点交于点E，点是内一点，连接垂直平分，若，则的度数为 ．（用含的式子表示） 13．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 15．如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 第15题 第16题 16．如图，是边长为的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为 ． 17．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 18．如图，在中，为的中点且，平分，交于点．若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题） 19．如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，． (1)特例探索：如图，若，求的度数； (2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明． 20．【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 21．已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 22．如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 23．如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 25．（1）如图1，的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边上，且．请写出图中一对全等三角形　 　，其全等的理由是　 　； （2）如图2，中，，点D、E、F分别在边上，且，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，中，，点D在的延长线上，点E在边上，且．延长至点M，使得，过点M作的平行线，与边交于点F．若，请你求出线段的长度． 26．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则_______； ②作点关于直线的对称点，证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第08讲 热点题型精讲—等腰三角形 · 学习目标 1. 掌握等腰三角形的定义、性质、判定； · 掌握等边三角形的定义、性质、判定。 · 思维导图 · 知识详解 知识点1：等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 2.等腰三角形的性质定理： 性质 文字语言 符号语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 1. 等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 名师点拨： “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别，何时用？ · 等边对等角是性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； · 等角对等边是判定，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点2：等边三角形的轴对称性 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） · 典型例题 题型1 等腰三角形中角度的计算问题 如图，在中，，垂直平分，的角平分线交于内一点，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 由垂直平分可得，再根据等腰三角形的性质可得，再结合角平分线的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的角平分线， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 题型2 等腰三角形中线段的计算与证明 如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，；结合题意可得是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一的性质可得平分，根据角平分线的定义得到；根据平行线的性质得到，推得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型3 等腰三角形的个数问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】以B为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，AB长为半径画圆可得与y轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点． 【详解】解：如图所示， 共4个点， 故答案为：4． 题型4 与等腰三角形相关的尺规作图问题 已知：如图，线段，直线l．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法； (1)在图1中过点M作直线l的垂线，垂足为H； (2)在图2中求作点P，使得点P在直线l上，且等腰三角形．（请作出所有满足条件的P点） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，作等腰三角形，明确作图的目的是解本题的关键． （1）以为圆心，大于M到的距离为半径画弧，交直线与两点，再分别以为圆心，大于一半为半径画弧，两弧交于点G，再作直线，交直线于即可； （2）以M为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，再以N为圆心，为半径画弧，得到弧与直线的两个交点，作线段的垂直平分线，得到垂线与直线的一个交点，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的垂线；    （2）如图，即为所求作的点；    题型5 等腰三角形的规律探究问题 如图（1），是边长为2的等边三角形；如图（2），取的中点，画等边三角形，连接；如图（3），取的中点，画等边三角形，连接；…，按上述规律做下去，则的长为 ． 【答案】 【分析】通过计算得△AB 1B2是直角三角形∠AB2BI=，∠AB 1B2= ，根据含角的直角三角形的性质可得B 1B2＝AB 2．因此B 1B2＝．同理可得B2B 3的长，找出规律即可得出结论． 【详解】∵△AB 1C1是边长为2的等边三角形，且C2是A1B 1的中点 ∴AC2＝C2B 1＝1 ∵△AC2B2是等边三角形 ∴∠B2C2A＝∠C2B2A＝，C2B2＝C2A＝B2A＝1 ∴∠B2C2B 1＝，且C2B2＝C2B 1 ∴∠B2B 1C2＝∠B 1B2C2＝ ∴∠B 1B2A＝＋＝ ∴B 1B2＝AB2＝ 同理可得B2B3＝AB3＝      B3B4＝AB4＝      ∴BnBn＋1＝ ∴ 故答案为 题型6 等腰三角形的综合探究问题 等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形．数学课上，同学们探究得到了以下判定和性质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；③等腰直角三角形的两腰相等，两锐角都是．请应用以上知识解决下列问题： 已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，点D在右侧，且，连接交于点E． 【初步应用】（1）如图1，若，则_______°； 【深化应用】（2）如图2，在（1）的基础上，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）若，当最长时，请直接写出的长． 【答案】（1）15；（2），理由见解析；（3）的长为4 【分析】（1）根据，结合，得到等边三角形，继而得到，，结合，得到，继而得到，解答即可； （2）过点B作于点G，根据（1）证明，利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形的性质证明即可． （3）过点B作于点B，且，再证明，得到，根据，得到当三点共线时，取得最大值，根据题意，得，证明，继而得到，解答即可． 【详解】（1）∵，， ∴等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． （2）线段与之间的数量关系为：．理由如下： 过点B作于点G，根据（1）得，， ∴， ∵，的角平分线交于F， ∴， ∴， ∴， ∵，，    ∴， ∴． （3）过点B作于点B，且， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最大值，      根据题意，得，    ∴， ∴， ∴， ∴当最长时，． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分两种情况：①为腰长；②为底长，同时根据三角形三边关系验证是否构成三角形，继而得出三角形的周长，本题运用分类讨论的思想．解题的关键是掌握三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①若为腰长，则另一腰长为，底边长为，此时，不能构成三角形，故不能为腰长； ②若为底边长，则腰长为，此时三角形的三边分别为，，，周长为； 综上所述，三角形的周长为． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．在上截取，作，证明，得出是等边三角形，则只要就是等边三角形，则这样的三角形有无数个． 【详解】解：如图，在上截取，作． ∵平分∠， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴则只要就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 3．如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角和等角对等边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，得到，，然后利用等边对等角和等角对等边性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴，故A正确； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确； ∵ ∴ ∴，故B正确； 由题意无法证明出． ∴不一定成立． 故选：C． 4．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 5．在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 6．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 7．如图，在中，是边上的高，，，则下列结论正确的有：①，②，③， ④、的面积分别表示为、．则，⑤（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角，根据同角或等角的余角相等判断①⑤，证明判断②，然后利用三角形的内角和判断③，利用三角形的面积判断④即可解题． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， ∴ ∴，故②正确； 延长交于点， 则， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的为①②③④⑤， 故选D． 8．数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（    ） A．6 B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到． 【详解】解：作于M，于N， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B，D到直线的距离之和为6． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题） 9．如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理、三角形外角定理，分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴的三个内角的度数分别为，，， 当时， ∵是等腰三角形，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 当时，，，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 10．如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：50． 11．如图，等腰的底边长为6，面积为12，边的垂直平分线分别交、于点、，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为： ． 故答案为：7． 12．如图，四边形是长方形，和关于对角线对称，点C的对应点为点交于点E，点是内一点，连接垂直平分，若，则的度数为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键啊掌握折叠前后对应角相等，垂直平分线上的点到两端距离相等，三线合一． 设，由折叠可得：，则，根据垂直平分线的性质得出，则，最后根据长方形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：设， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 即， 整理得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度． 【答案】108 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明 ，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， 点在的垂直平分线上， ， ， 将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故答案为：． 14．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 15．如图，等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质，则，求出，即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，是边长为的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】先过点作于点，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，． 【详解】解：过点作交于点， ， ，， 是等边三角形， ， 又， 是等边的中线， ， 和中， ， ， ， ． 故答案为：． 17．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 18．如图，在中，为的中点且，平分，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质是解题的关键． 首先根据，求出，根据角平分线的定义推知，则，所以由等角对等边可得到． 【详解】解：如图， ， ， 又平分， ， ， ， ∵点D是的中点， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题） 19．如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，． (1)特例探索：如图，若，求的度数； (2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（）首先证明是等边三角形，由得到，从而求解； （）由，，得，再根据三角形内角和与直角三角形的性质即可求解； （）在上截，连接，则，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，在上截，连接， ∵ ∴ 则， 由（）知， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 【答案】【探究1】；【探究2】；【探究3】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， [探究1]根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； [探究2]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； [探究3]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：[探究1]∵， ∴， ∴， ∵是中线，则是的角平分线 ∴， 故答案为：． [探究2]，，、分别为和的中线， ，， ， ； 故答案为：． [探究3]∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 21．已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证得，又得，，即可得证； （2）连接，先证明得，进而利用三线合一得，由（）知得，从而得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的中点，， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2）证明：连接 ∵是等边三角形，为的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（）知 ∴ ∴，即 ∴ 22．如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论； （2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 23．如图，是的角平分线，交的延长线于点．是上一点，，作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换可证结论成立； （2）由等角对等边得，根据证明得，进而可求出的长． 【详解】（1）是的角平分线， ． ， ， ； （2）， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 24．如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 根据题意作出图形判断即可． 【详解】解：小星的作法如图所示，方法正确． 理由：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 小红的作法如图所示，方法错误． 理由：∵， 又∵， ∴， ∴． 25．（1）如图1，的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边上，且．请写出图中一对全等三角形　 　，其全等的理由是　 　； （2）如图2，中，，点D、E、F分别在边上，且，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，中，，点D在的延长线上，点E在边上，且．延长至点M，使得，过点M作的平行线，与边交于点F．若，请你求出线段的长度． 【答案】（1）（答案不唯一），；（2）等腰三角形，理由见解析；（3）14 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，找条件证明全等三角形是解题的关键． （1）由题意得：及，即可证明； （2）证明，则，即可证明结论； （3）证明，则，则． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一），； （2）为等腰三角形， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）可知：时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. 26．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则_______； ②作点关于直线的对称点，证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出的度数，再求出、的度数，即可得解；②连接，证明，即可得出； （2）在延长线上取点，使，连接，证明，得出，推出，结合即可得出答案； （3）在延长线上取点，使得，连接，证明，得出，推出，由三角形面积求出，结合，，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，连接， ∵作点关于直线的对称点，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，在延长线上取点，使，连接， ∵，， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，在延长线上取点，使得，连接， ∵，， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$