13.5 第3课时 角平分线 课件 2024-2025学年数学华东师大版八年级上册

华东师大版八年级上册 1.角平分线定理 角平分线上的点到________________________相等. 角两边的距离 2.角平分线的逆定理 在一个角的内部且到一个角的_______________________的点在这个角的角平分线上. 两边距离相等 3.三角形的内角平分线性质 三角形的三个内角的角平分线相交于___________________，这一点到___________________相等. 同一点 三边的距离 知识点1 角平分线的性质 1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF. (1)求证：CF=EB； (2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由. (1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(H.L.)，∴CF=EB； (2)解：AF+BE=AE.理由如下： ∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF=EB， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA(H.L.)， ∴AC=AE，∴AF+FC=AE， 即AF+BE=AE. 【规律方法】涉及角平分线上的点到边距离问题，可考虑用角平分线性质求解，“补形法”是常用手段. 1.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D.若OD=3cm，则△ABC的面积是( ) A.24cm2 B.27cm2 C.30cm2 D.33cm2 B 2.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F.若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，则BC=____. 12 3.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD.求证：EB=FC. 证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF. 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.)，∴EB=FC. 4.如图，OD平分∠AOB，OA=OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N.求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠BOD=∠AOD. 在△OBD和△OAD中， ∴△OBD≌△OAD(S.A.S.)，∴∠ODB=∠ODA. ∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM=PN. 知识点2 角平分线的判定 2 如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证： (1)CO平分∠ACD；(2)AB+CD=AC. 证明：(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E. ∵∠B=90°，AO平分∠BAC， ∴OB=OE. ∵点O为BD的中点， ∴OB=OD，∴OE=OD. 又∵∠D=90°，∠OEC=90°，∴CO平分∠ACD； (2)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE. 同理可得CD=CE. ∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC. 【规律方法】证明过角顶点的一条直线(线段)是一个角的平分线的方法：①证这条直线(线段)将这个角分成两个相等的角；②证这条直线(线段)上有一个点到这个角的两边距离相等. 5.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠BAC=70°，则∠BOC的度数是______________. 125° 6.如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点O. (1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB. 证明：(1)如图，连结AO. ∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠OEC=∠ODB=90°. 在△OEC和△ODB中， ∴△OEC≌△ODB(A.A.S.)，∴OE=OD， ∴点O在∠BAC的平分线上； (2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，点O在∠BAC的平分线上， ∴OE=OD. 在△OEC和△ODB中， ∴△OEC≌△ODB(A.S.A.)，∴OC=OB. 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点I，连结AI并延长交BC于点F.求证：AF平分∠BAC. 证明：如图，过点I分别作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分别为点G、H、K. ∵BD平分∠ABC，IK⊥AB，IG⊥BC，∴IK=IG. 同理可证IH=IG，∴IK=IH. ∵IH⊥AC，IK⊥AB，∴I在∠BAC的平分线上， 即AF平分∠BAC. 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( ) A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 B 2.如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将△ABC分成3个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC的值为( ) A.3∶2∶4 B.1∶1∶1 C.2∶3∶4 D.4∶3∶2 A 3.如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转部，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 D 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DBE的周长是( ) A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm A 5.［湘潭·中考］如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为______________. 3 6.如图，OP平分∠MON，点C为OP上的任意一点，CA⊥ON，垂足为点A，线段OA的垂直平分线BG交OM于点B，交OA于点G，已知AB=6，AC=3，则△OBC的面积为_______. 9 7.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是15cm2，AB=9cm，BC=6cm，则DE=__________cm. 2 8.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连结CP，CP平分∠ACB.其中正确结论的序号是________. ①②③④ 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD=DF=AF，DE⊥AB于点E.求证： (1)AD平分∠BAC；(2)CF=BE. 证明：(1)∵DF=AF， ∴∠FAD=∠FDA. ∵DF∥AB，∴∠BAD=∠FDA， ∴∠FAD=∠BAD， 即AD平分∠BAC； (2)∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE. 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.)，∴CF=BE. 10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠MAC的平分线交于点O.求证：点O在∠ACN的平分线上. 证明：如图，过点O作OD⊥BM于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BN于点F. ∵BO平分∠ABC，OD⊥BM，OF⊥ON， ∴OD=OF.同理可证OE=OD，∴OE=OF. 又∵OE⊥AC，OF⊥BN， ∴点O在∠ACN的平分线上. 11.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G. (1)求证：BF=CG； (2)若AB=6，AC=8，求AF的长. (1)证明：如图，连结BE、CE. ∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF=EG，∠EFB=∠EGC=90°， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(H.L.)，∴BF=CG； (2)解：∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE. 在△AEF和△AEG中， ∴△AEF≌△AEG(A.A.S.)，∴AF=AG， ∴AB+BF=AF=AC－CG，∴2BF=AC－AB=8－6=2， ∴BF=1，∴AF=AB+BF=6+1=7. 12.如图，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=136°，∠BCD=44°，则∠ADB的度数为( ) A.54° B.50° C.48° D.46° D 13.如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN恒成立；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 B 14.如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA∶CA=2∶3，AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是_____________. 10 15.如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为点H，且∠CEH=50°. (1)求∠ACE的度数； (2)求证：AE平分∠CAF； (3)若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积. (1)解：∵∠ACB=100°， ∴∠ACD=180°－100°=80°. ∵EH⊥BD， ∴∠CHE=90°. ∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°－50°=40°， ∴∠ACE=80°－40°=40°； (2)证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC与点N. ∵BE平分∠ABC，∴EM=EH. ∵∠ACE=∠ECH=40°， ∴CE平分∠ACD，∴EN=EH， ∴EM=EN，∴AE平分∠CAF； (3)解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH， ∴S△ACD=S△ACE+S△CED= (AC+CD)·EM=21， ∴EM=3. ∵AB=8.5，∴S△ABE=AB·EM=×8.5×3=. $$