专题05 相似三角形的应用经典60题 -2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题05 相似三角形的应用经典60题 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得宝塔在同一地面的影长60米，那么塔高为（    ） A．45米 B．60米 C．80米 D．90米 2．（22-23九年级上·上海金山·阶段练习）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（　　） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.5m，BC＝12.5m，则建筑物CD的高是（　　） A．10m B．11.2m C．12m D．12.2m 4．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图是一个照相机成像的示意图，如果底片宽，焦距是，所拍摄的外的景物的宽为（ ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏常州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　）    A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 6．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 7．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，将一张面积为20的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 8．（22-23九年级下·全国·期末）如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 9．（22-23八年级下·重庆·期末）如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB的长为( )米 A．3．85 B．4．00 C．4．4 D．4．50． 10．（22-23九年级上·上海金山·期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米； C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米 11．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A，B两点，在AC的延长线上取一点D，使，在BC的延长线上取一点E，使，测得DE的长为5米，则A，B两点间的距离为（） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 12．（2023·江苏南京·中考真题）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m 13．（22-23八年级·江苏镇江·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( ) A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米 14．（22-23九年级上·山东潍坊·单元测试）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（      ） A． B．1 C． D． 15．（2023·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(　　) A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 17．（2023·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 18．（22-23九年级下·上海·单元测试）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为(　　) A．60mm B． mm C．20mm D． mm 19．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 20．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2023·上海徐汇·一模）同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是 米. 22．（22-23九年级上·上海徐汇·期末）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米． 23．（2023·浙江杭州·一模）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计)． 24．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB＝ ． 25．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    27．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是 mm． 29．（22-23九年级·江苏连云港·期末）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是 米． 30．（22-23九年级上·上海杨浦·期末）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米 31．（2023·上海·中考真题）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ． 32．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个． 33．（2023·上海浦东新·一模）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 米．    34．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 35．（2023·上海徐汇·一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 36．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，则CE的长是 里． 37．（2023·江苏淮安·二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3，…，A2021和点M，M1，M2，…，M2020是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于点N1，N2，N3，…，N2020，则N2020A2020长为 ． 38．（2023·上海·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米． 39．（2023·北京·中考真题）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． 40．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知，如图矩形的一边在的边上，顶点、分别在边、上，是边上的高，与相交于点，已知，，，则矩形的周长是 . 41．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）在△ABC中，AB=8，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长． 42．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量AB的长，测得CA=60米，CD=24米，DE∥AB，DE=32米.求AB的长. 43．（22-23九年级上·全国·单元测试）小张在课外活动时，发现一个烟囱在墙上的影子正好和自己一样高．他测得当时自己在平地上的影子长米，烟囱到墙的距离是米．如果小张的身高是米，你能否据此算出烟囱的高度？ 44．（2023九年级·上海·专题练习）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求B、D之间距离和路灯杆AB的高度． 45．（22-23九年级上·上海静安·期中）一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 46．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 47．（2023九年级上·全国·专题练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 48．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 49．（22-23九年级上·北京大兴·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 50．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一盏路灯（点处）距离地面米，身高米的小明（图中线段）与路灯底部（处）的距离米，    (1)求此时小明在路灯照射下的影长． (2)若小明想让自己的影长与身高相等，那么他应该向哪个方向走多少米? 51．（22-23九年级上·全国·课后作业）在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度． 52．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离. 53．（22-23九年级上·上海·课后作业）当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明的视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段距离到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？ 54．（22-23九年级上·四川·阶段练习）如图，建筑物BC上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高． 55．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 56．（22-23九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 57．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 58．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离.小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中a，b，c表示长度）. （1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度： 图①中，AB=______，图②中，AB=______，图③中，AB=______； （2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图（不要求写画法） 59．（2023·上海宝山·一模）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N． （1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）； （2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数． 60．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形的应用经典60题 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得宝塔在同一地面的影长60米，那么塔高为（    ） A．45米 B．60米 C．80米 D．90米 【答案】A 【分析】设塔高为xm，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”得到，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：设塔高为xm， 根据题意得，解得x=45． 所以塔高为45m． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 2．（22-23九年级上·上海金山·阶段练习）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（　　） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【答案】A 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设建筑物的高度为米，则可列比例为： ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.5m，BC＝12.5m，则建筑物CD的高是（　　） A．10m B．11.2m C．12m D．12.2m 【答案】B 【分析】根据题意，可得，进而列出比例式，即可求得． 【详解】依题意，可得， ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到是解题的关键． 4．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图是一个照相机成像的示意图，如果底片宽，焦距是，所拍摄的外的景物的宽为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知△AEB∽△DEC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽CD的长． 【详解】∵AB∥CD， ∴△AEB∽△DEC， ∴， ∴， ∴CD=， 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解本题的关键. 5．（2023·江苏常州·中考真题）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（　　）    A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 【答案】A 【详解】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°， ∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO， ∴， ∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1， ∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1， ∴OE=7，∴C（2，7）， 故选A．    6．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，光线从点处射出射向轴上的点P，经轴镜面反射后，光线经过点，则的长度是(    )      A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，可求得的长度． 【详解】根据物理学光的反射定律：光在发生反射时，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．      又∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，设， ∴， ∴ 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到判定两三角形相似对应的角相等． 7．（2023·浙江丽水·模拟预测）如图，将一张面积为20的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的最大面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知△AMN∽△ABC，可知相似比为，再根据高之比也为相似比，表示出平行四边形的高，再利用面积公式求得即可． 【详解】由题意可知：MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ， 而S△ABC＝，即：，解得：AE＝4， ， 平行四边形＝， ， 因此平行四边形纸片的最大面积为10， 故选B．    【点睛】本题考查相似的性质，平行四边形的性质与面积计算，计算量较大． 8．（22-23九年级下·全国·期末）如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 【答案】B 【分析】根据同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC， ∵， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴， 解得y＝3， 则， 解得，x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 9．（22-23八年级下·重庆·期末）如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB的长为( )米 A．3．85 B．4．00 C．4．4 D．4．50． 【答案】C 【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形， 即△ABC∽△ADE，则 设梯子长为x米，则  ， 解得，x=4.40． 故选C． 【点睛】考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 10．（22-23九年级上·上海金山·期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米； C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米 【答案】C 【详解】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm； 当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm； 当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm； 所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意， 故选C. 11．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A，B两点，在AC的延长线上取一点D，使，在BC的延长线上取一点E，使，测得DE的长为5米，则A，B两点间的距离为（） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】C 【分析】根据相似形的判定定理判断出△ABC和△DEC相似，再根据三角形相似的性质解答即可 【详解】∵在△ABC和△DEC中，，且∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴.又∵DE=5米，∴AB=10米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，掌握运算法则是解题关键 12．（2023·江苏南京·中考真题）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m"，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m 【答案】C 【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则，即 ∴x=8 故选C． 13．（22-23八年级·江苏镇江·期中）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( ) A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米 【答案】D 【详解】试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y． ∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D． 考点：中心投影． 14．（22-23九年级上·山东潍坊·单元测试）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：如图， ∵BC⊥AD，DE⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∵ ∴h= 故选C． 15．（2023·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 16．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(　　) A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 【答案】B 【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，结合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题不难求解. 【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD. ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP. ∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP， ∴AB∶BP=CD∶DP. ∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，， ∴CD= =8（米）. 故该古城墙的高度是8米. 故选B. 【点睛】本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质； 17．（2023·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 【答案】C 【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例． 【详解】设小城的边长为x步，根据题意， Rt△CAF∽Rt△CDM， ∴， 即， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． 故选：C． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长． 18．（22-23九年级下·上海·单元测试）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为(　　) A．60mm B． mm C．20mm D． mm 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】如图，设AD交PN于点K， ∵PM：PQ=3：2， ∴可以假设MP=3k，PQ=2k， ∵四边形PQNM是矩形， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∵AD⊥BC，BC∥PM， ∴AD⊥PN， ∴， ∴， 解得k=20mm， ∴PM=3k=60mm， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 19．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 20．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 21．（2023·上海徐汇·一模）同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是 米. 【答案】28 【分析】根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案． 【详解】设铁塔高度为x，有， 解得：x=28， 答：铁塔的高是28米， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的． 22．（22-23九年级上·上海徐汇·期末）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米． 【答案】12 【分析】设高度为9米的旗杆在地面的影长为x米，根据同一时刻，物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：设高度为9米的旗杆在地面的影长为x米， 根据题意，得：， 解得：x=12， ∴高度为9米的旗杆在地面的影长为12米， 故答案为：12． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻，物高与影长成比例是解答的关键． 23．（2023·浙江杭州·一模）如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m（杆的粗细忽略不计)． 【答案】4 【分析】如下图所示，两侧所组成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得，长短臂之比应该等于下降和上升高度比，根据题意列出比例式即可． 【详解】 解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∠COD=∠AOB， ∴△AOB∽△DOC， ∴， 即． 【点睛】此题难易程度适中，主要考查相似三角形的相似比，为常见题型． 24．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后，此时液面AB＝ ． 【答案】3cm 【分析】利用相似三角形对应边的比高的比即可求得结果． 【详解】如图，过点E作EF⊥CE于F，过点M作MN⊥AB于N 则EF=15-7=8(cm)，MN=11-7=4(cm) ∵△MAB∽△ECD ∴ ∴ 即液面AB的宽度为3cm． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，实际问题转化为数学问题并利用相似三角形的判定与性质解决是关键． 25．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，则灯杆的高度是 ． 【答案】6.4m 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 故答案为：6.4m． 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为 米．    【答案】 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 27．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米． 【答案】6 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：∵ ， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴＝， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴，即，即2（y+1）＝y+5， 解得：y＝3， 则， 解得，x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是 mm． 【答案】5 【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可． 【详解】解：∵DE∥AB ∴△CDE∽△CAB ∴CD：CA＝DE：AB ∴30：60＝DE：10 ∴DE＝5毫米 ∴小管口径DE的长是5毫米， 故填：5． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长． 29．（22-23九年级·江苏连云港·期末）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是 米． 【答案】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答． 【详解】∵AB∥CD ∴△PAB∽△PCD ∴AB：CD=P到AB的距离：点P到CD的距离． ∴2：5=P到AB的距离：3 ∴P到AB的距离为m， 故答案是：． 【点睛】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到AB的距离． 30．（22-23九年级上·上海杨浦·期末）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米 【答案】2.4 【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H， 则DG∥CH， ∴△ODG∽△OCH， ∴， ∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC， ∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m， ∴OC=0.5m， ∴， ∴DG=1.8m， ∵OE=0.6m， ∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 31．（2023·上海·中考真题）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可． 【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6， ∴BC•AH=6， ∴AH==3， 设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即，解得x=， 即正方形DEFG的边长为， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键. 32．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个． 【答案】6 【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解． 【详解】设这张正方形纸条是第n张． ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 解得：n=6． 故答案为6. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确地把实际问题转化为相似三角形的性质的问题是解题的关键． 33．（2023·上海浦东新·一模）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 米．    【答案】 【分析】根据相似三角形的判定,由AB//CG得三角形相似，利用相似比即可解答. 【详解】    根据AB//CG得△ABD∽△GCD， 即，即， 同理可得△ABF∽△HEF， 即，即， 根据和得AB=. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 34．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 35．（2023·上海徐汇·一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米． 【答案】// 【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． 36．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，则CE的长是 里． 【答案】4 【分析】设CE的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设CE的长为x里， 由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里， ∴∠B=∠ACD， ∴△CEB∽△ADC， ∴， ∴ ∴x=4，（负值舍去） 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 37．（2023·江苏淮安·二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3，…，A2021和点M，M1，M2，…，M2020是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3，…，AM2020，分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2，…，A2020M2019于点N1，N2，N3，…，N2020，则N2020A2020长为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质（对应线段成比例），从而求得所求线段长度． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵正方形的边长都为1， ∴． 同理可得， ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】此题是探索规律题，涉及到了三角形相似的性质，通过题意理解掌握变化规律并应用三角形相似的性质求解是解题的关键． 38．（2023·上海·中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米． 【答案】8米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BDAC， ∴△ACE∽△DBE， ∴， ∴， ∴AC=8(米)， 故答案为：8(米) ． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键． 39．（2023·北京·中考真题）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m． 【答案】5.5 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 40．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知，如图矩形的一边在的边上，顶点、分别在边、上，是边上的高，与相交于点，已知，，，则矩形的周长是 . 【答案】18 【分析】设，则，AK=6-x，根据相似三角形的对应高之比等于相似比得出比例式求解. 【详解】根据题意，设，则, AK=6-x 则， 解得 矩形的周长为 【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，掌握相似三角形对应高之比等于相似比是关键. 41．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）在△ABC中，AB=8，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长． 【答案】BD= 【分析】如图，由已知可以得到△ADE∽△ABC，再由△ADE与△ABC的面积的比可以求得AD：AB的值，再由AB、AD、BD的关系可以得到BD的值． 【详解】解：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵△ADE与△ABC的面积的比等于1:2 ∴AD：AB= ∵AB=8 ∴AD= ∴BD= 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，由三角形相似及面积比得到边长比是解题关键． 42．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量AB的长，测得CA=60米，CD=24米，DE∥AB，DE=32米.求AB的长. 【答案】80米 【分析】根据DE∥AB,结合图形和相似三角形的判定定理可得出△DCE∽△ACB然后根据相似三角形的对应边成比例即可解答题目 【详解】∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴. 又∵CD=24米，CA=60米，DE=32米， ∴， ∴AB=80米，即AB的长是80米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 43．（22-23九年级上·全国·单元测试）小张在课外活动时，发现一个烟囱在墙上的影子正好和自己一样高．他测得当时自己在平地上的影子长米，烟囱到墙的距离是米．如果小张的身高是米，你能否据此算出烟囱的高度？ 【答案】烟囱高米． 【分析】作于点，易得的影长为.由于光线是平行的，那么可得与构成的三角形和小张身高和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得烟囱的高度. 【详解】光线是平行的， 光线和影长组成的角相等．旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角， 与构成的三角形和小张身高和影长构成的三角形相似， 设烟囱高为，依题意列方程得 ， 解得. 答：烟囱高米. 【点睛】考查相似三角形的应用，用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例. 44．（2023九年级·上海·专题练习）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求B、D之间距离和路灯杆AB的高度． 【答案】． 【分析】先证明△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵CD∥EF∥AB， ∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴CD：AB＝DF：BF，EF：AB＝FG：BG， 又∵CD＝EF， ∴DF：BF＝FG：BG， ∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD＋DF＝BD＋3，BG＝BD＋DF＋FG＝BD＋7， ∴， ∴BD＝9，BF＝9＋3＝12， ∴1.6：AB＝3：12， 解得，AB＝6.4． 答：． 【点睛】本题相似三角形的实际应用，利用相似三角形的性质：对应边成比例，列出比例式，是解题的关键． 45．（22-23九年级上·上海静安·期中）一天某时刻小杰发现学校的旗杆和一篮球架的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高，他的影子长，篮球架的高，且．求旗杆的长（精确到0.1米）． 【答案】旗杆的长为． 【分析】由题意可知，即得出，从而得出，代入数据可求出，从而可求出，进而可求出．又易证，即得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】由题意可知， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 答：旗杆的长为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的实际应用．熟练掌握三角形相似的判定定理和其性质是解题关键． 46．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离． 【答案】作图见解析，小杰家到公路的距离为50米． 【分析】根据题意，作射线分别交直线于点，则线段即为所求，设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米，根据路程等于速度乘以时间即可求得的长，根据，可得，进而根据相似三角形的性质即可求得小杰家到公路的距离． 【详解】如图，作射线分别交直线于点，则线段即为所求， 米 设小杰家到广告牌的距离为,则小杰家到公路的距离为米， 解得 小杰家到公路的距离为（米） 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 47．（2023九年级上·全国·专题练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【答案】桥AF的长度为80米． 【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长． 【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DEBC， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴AFEG， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即， 解得AF=80， ∴桥AF的长度为80米． 【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 48．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 49．（22-23九年级上·北京大兴·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）． 【答案】步 【分析】本题只需要证出，利用相似三角形的性质可以得到：，然后可以求出CK的值，得出答案． 【详解】解：由题意可知：，AH＝15 ∵H为GD的中点，K为DE的中点 DH＝100，DK＝100 ∵AH∥DK ∴∠CDK＝∠A 而∠CKD＝∠AHD ∴ ∴ 即， ∴ 答：出南门步恰好看到位于A处的树木． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度． 50．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一盏路灯（点处）距离地面米，身高米的小明（图中线段）与路灯底部（处）的距离米，    (1)求此时小明在路灯照射下的影长． (2)若小明想让自己的影长与身高相等，那么他应该向哪个方向走多少米? 【答案】(1)小明在路灯照射下的影长为米 (2)沿方向走米， 【分析】（1）依题意，，则，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）设影子长为，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即此时小明在路灯照射下的影长为米； （2）解：依题意，如图所示，设影子长为， 小明的影长与身高相等，    同理可得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 由（1）可得 ∴ 即沿方向走米， 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 51．（22-23九年级上·全国·课后作业）在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度． 【答案】2.3米 【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可 【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM， ∴△ABC∽△QDN， ． ∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米， =1.5（米）， ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）． 答：木杆PQ的长度为2.3米． 【点睛】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质. 52．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离. 【答案】1.5千米 【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可 【详解】在△ABC与△AMN中，，， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ANM， ∴，即，解得MN=1.5(千米) ， 因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则 53．（22-23九年级上·上海·课后作业）当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米，CD=9米，BD=15米，在N处的车内小明的视点距地面2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米，再向前行驶一段距离到F处，从距离地面2米高的视点刚好看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？ 【答案】米. 【分析】根据题意得出△ABR∽△CDR,即可求出DR的长,进而得出RF和DF的长,再利用△PBT∽△CDT,求出DT的长,进而得出NT的长,即可得出答案 【详解】解：如下图，∵AB∥CD， ∴△ABR∽△CDR， ∴， 即，解得DR=15(米) . ∵CD∥EF, ∴△CDR∽△EFR, ∴， ∴， 解得(米) , ∴ (米) . ∵PB∥CD, ∴△PBT∽△CDT, ∴， ∴，解得DT=45(米) . ∵AB∥MN， ∴△PBT∽△MNT， ∴， ∴，解得NT=10(米)， ∴(米) ， ∴车子向前行驶的距离NF为米. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则 54．（22-23九年级上·四川·阶段练习）如图，建筑物BC上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高． 【答案】这座建筑物的高为 米 【分析】根据两组相似三角形和，利用对应边成比例，列出CD和BC的关系式，然后解方程求出BC的长． 【详解】解：由题意可得， ， 即， ， 由题意可得，， ， 即， ， ， ， 这座建筑物的高为 米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质列式求边长． 55．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 56．（22-23九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 57．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 【答案】(1)的高度为14米 (2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 58．（22-23九年级上·上海·课后作业）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离.小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中a，b，c表示长度）. （1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度： 图①中，AB=______，图②中，AB=______，图③中，AB=______； （2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图（不要求写画法） 【答案】（1）①①αα；②2c；③b; （2）见解析. 【分析】(1)①结合解直角三角形即可解答,②根据中位线的性质即可填空,③根据矩形的性质即可填空 (2)结合题中所提供的方法及所学知识确定测量方法,并画出草图即可,方法不唯 【详解】解：（1）①αα ；②2c；③b. （2）本题方法很多，下面列出3种供参考. 方法1：如图1. 方法2：如图2. 方法3：如图3. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定和性质 59．（2023·上海宝山·一模）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N． （1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）； （2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数． 【答案】（1）S△ODE＝13k2；（2）y＝α（0＜α＜144°）；y=180°﹣α（144°＜α＜180°）；（3）α＝162°． 【分析】（1）通过证明△ODE∽△OCA，可得，即可求解； （2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分两种情况讨论可求解； （3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26， ∴S△OAC＝13， ∵DE∥AC， ∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC， ∴，且OD＝k⋅OC， ∴S△ODE＝13k2， （2）∵△ODE∽△OCA， ∴， ∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点， ∴AB＝2AO，EM＝DE， ∴＝＝，且∠OEM＝∠OAC， ∴△OEM∽△BAC， ∴∠EOM＝∠ABC＝36°， 如图2，当0＜α＜144°时， ∵∠AON＝∠B+∠ONB， ∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB ∴y＝α 如图3，当144°＜α＜180°时， ∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α） ∴∠NOB＝α﹣144°， ∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α； （3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α， 若OB＝BN，则∠ONB＝＝72°＝α， 若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°， ∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α， 当144°＜α＜180°时， 若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α， ∴α＝162°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，学会用分类讨论的思想思考问题，此题难度较大． 60．（22-23九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 学科网（北京）股份有限公司 $$