13.3 第2课时 等腰三角形的判定 课件 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版八年级上册 1.等腰三角形的判定方法 (1)有______________的三角形是等腰三角形.(定义) (2)如果一个三角形有两个角______，那么这两个角______________.简称“等角对等边”. 两边相等 相等 所对的边也相等 2.等边三角形的识别方法 (1)________________________的三角形是等边三角形.(定义) (2)有两个角等于______________的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于60°的______________三角形是等边三角形. 三条边都相等 60° 等腰 3.常见辅助线 (1)利用“三线合一”构造等腰三角形. (2)已知等腰三角形底边中点，作中线. 知识点1 利用“等角对等边”判定等腰三角形 1 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC.求证：AE=AF. 证明：∵∠BAC=90°， ∴∠C+∠ABD=90°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠C=∠BAD. ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF. ∵∠AEF=∠ABF+∠BAD，∠AFE=∠CBF+∠C， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF. 【规律方法】说明一个三角形是等腰三角形，有两种方法：一是根据等腰三角形的定义，两边相等；二是根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”进行判定. 1.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC.若EF交AD于点M，EF=12，则DM=____. 6 2.如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O. (1)求证：AB=DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由. (1)证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(A.A.S.)，∴AB=DC； (2)解：△OEF为等腰三角形.理由如下： ∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴OE=OF， ∴△OEF为等腰三角形. 知识点2 等腰三角形性质和判定的综合运用 2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD=BC. 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∴DB=AD. ∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC，BD=BC，∴AD=BD=BC. 【规律方法】分清等腰三角形性质与判定，由性质提供判定等腰三角形的条件. 3.如图，在△ABC中，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E.若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是______________. 9 4.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F.试判断△AFC的形状，并说明理由. 解：△AFC是等腰三角形.理由如下： 在△BAD与△BCE中， ∴△BAD≌△BCE(A.A.S.)， ∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA， ∴∠BAC－∠BAD=∠BCA－∠BCE， 即∠FAC=∠FCA，∴AF=CF， ∴△AFC是等腰三角形. 知识点3 等边三角形的性质和判定 3 如图，在等边△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，E、F为线段BC上两点，连结OE、OF，且BE=OE，CF=OF.试说明△OEF是等边三角形. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∵OB平分∠ABC， ∴∠OBE=∠ABC=30°. ∵BE=OE， ∴∠BOE=∠OBE=30°，∴∠OEF=60°. 同理可得∠OFE=60°， ∴∠EOF=180°－60°－60°=60°， ∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°， ∴△OEF是等边三角形. 【规律方法】等边三角形性质丰富，用时应加以选择，而判定等边三角形具有规律性，因此，灵活运用等边三角形的性质和判定是解题之关键. 5.如图，木工师傅从边长为90cm的等边三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木块的边长为______________cm. 30 6.学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC边上的高，E为直线BC上一点，且CE=AD. (1)如图①，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形； (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形. 证明：(1)∵AB=BC，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，∠C=60°. ∵BD是AC边上的高，∴AD=CD. ∵CE=AD，∴CD=CE， ∴△CDE是等边三角形； (2)同(1)可知CD=CE， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠E=∠DBC，∴BD=ED， 即△BDE为等腰三角形. 1.一个三角形三个内角的度数分别是x、y、z，若|x－y|+(x+y－z)2=0，则这个三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.不存在 C 2.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD=3，CE=5，则AC的长为( ) A.9 B.8 C.6 D.7 B 3.如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 D 4.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在AB边上截取BE=BC，连结DE，则图中等腰三角形共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 D 5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm.将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是______________cm. 13 6.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服时不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=18cm，如图②，衣架收拢时∠AOB=60°，则此时A、B两点之间的距离是______________cm. 18 7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，且AD=6，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为______________. 6 8.如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB=∠ABD，AC=24，△BCD的周长为34，则BD的长为______________. 14 9.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的相邻外角的平分线CF交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，延长BC至点M.试说明BD、CE、DE之间的数量关系. 解：∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠FBC. ∵DF∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∴∠ABF=∠DFB， ∴△BDF是等腰三角形，∴BD=DF=DE+EF. ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ACF=∠FCM. ∵DF∥BC，∴∠EFC=∠FCM，∴∠ACF=∠EFC， ∴△CEF是等腰三角形，∴CE=EF， ∴BD=CE+DE. 10.在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F， ∴∠AED=∠CFD=90°，∴△AED、△CFD为直角三角形. ∵D为AC的中点，∴AD=DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(H.L.)，∴∠A=∠C，∴BA=BC. ∵AB=AC，∴AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形. 11.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，BE=CF. (1)求证：△DEF是等腰三角形. (2)猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由. (1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. 在△DBE和△ECF中， ∴△DBE≌△ECF(S.A.S.)， ∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形. (2)解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形.理由如下： ∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF=∠BDE， ∴∠DEF=180°－∠BED－∠FEC =180°－∠DEB－∠EDB=∠B. 当∠A=60°时，∵AB=AC， ∴∠B=∠C=60°，∴∠DEF=∠B=60°， 由(1)可知△DEF为等腰三角形，∴△DEF为等边三角形. 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE=BF. (1)求证：DE=DF. (2)△DEF是什么形状的三角形？请说明理由. (1)证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠B=∠C=45°.∵AD是中线，∴∠DAE=∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠B=45°，∴AD=BD. 在△DAE和△DBF中， ∴△DAE≌△DBF(S.A.S.)，∴DE=DF. (2)解：△DEF为等腰直角三角形.理由如下： 由(1)得△DAE≌△DBF， ∴∠ADE=∠BDF，DE=DF. ∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°， ∴∠ADE+∠ADF=90°，∴∠FDE=90°， ∴△DEF为等腰直角三角形. 13.［2023·滨州］已知P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP、BP、CP为边的三角形中，最小内角的大小为( ) A.14° B.16° C.24° D.26° B 14.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M、N分别在OA、OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 D 15.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=36°，点D在线段BC上运动(不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E. (1)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由. (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由. 解：(1)当DC=2时，△ABD≌△DCE， 理由如下：∵AB=2，DC=2，∴AB=DC. ∵∠C=36°，∴∠DEC＋∠EDC=144°. ∵∠ADE=36°，∴∠ADB＋∠EDC=144°， ∴∠ADB=∠DEC.在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(A.A.S.). (2)①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=72°， ∴∠BDA=∠DAE＋∠C=72°＋36°=108°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=36°， ∴∠DAE=108°，此时，点D与点B重合，不合题意； ③当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=36°， ∴∠BDA=∠EAD＋∠C=36°＋36°=72°. 综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形. $$