四川省芦山中学2023-2024学年高一下学期期末模拟数学试题

四川省芦山中学2023-2024学年高一下期末模拟试题 命题人：岳伟 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1.如图，点是正六边形的中心，则以中的任意一点为起点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有(　　)        A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.“勾股弦”是勾股定理的一个特例.根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题,毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年,如图,在矩形中,满足“勾股弦”,且,,为上一点,.若,则的值为( )        A. B. C. D. 3.一条河的宽度为，一船从出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为(　　) A. B. C. D. 4.某校为了解学生的课外锻炼身体的情况,随机抽取了部分学生,对他们一周的课外锻炼时间进行了统计,统计数据如表所示,则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第百分位数是( )        A. B. C. D. 5.为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从台取暖器中取台进行检验,用随机数表抽取样本,将台取暖器编号为,,…,,下面提供了随机数表第行至第行的数据:       若从随机数表第行第列开始向右依次读取个数据,则抽出第台取暖器的编号为 ( ) A. B. C. D. 6.如图，在多面体中，已知面是边长为的正方形，，，与面的距离为，则该多面体的体积为( )        A. B. C. D. 7.如图，在四面体中，，分别是与的中点，若，，则与所成角为（ ）        A. B. C. D. 8.已知直线，平面，下列命题正确的是(　　) A. ， B. ，，， C. ，， D. ，，，， 二、多选题（每小题5分，共3小题15分） 9.已知是平面内的三个单位向量,且,则的可能值为( ) A. B. C. D. 10.如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法, 其中正确的说法是( )        A. 由一个长方体割去一个四棱柱构成 B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成 C. 由一个长方体挖去一个四棱台构成 D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成 11.,,为空间三点,经过这三点( ) A. 能确定一个平面 B. 能确定无数个平面 C. 能确定两个平面 D. 不能确定平面 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12.已知复数(其中为虚数单位)为纯虚数,写出关于复数的一个正确结论:__________.(答案不唯一) 13.如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：①；②；③；④；⑤．这些向量中以为起点，终点在阴影区域内的序号是__________． 14.若两球体积之比为，则其表面积之比是__________. 四、解答题（每小题12分，共5小题60分） 15.用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，探索与多边形的面积之间有无确定的数量关系。 16. 三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 17. 在中,在,,分别为角,,的对边,且满足.    (1)求角;   (2)若为锐角三角形,,求面积的最大值. 18. 如图,已知三棱柱的底面是正三角形,侧面是矩形,,分别为,的中点,为上一点,过和的平面交于,交于. (1)证明:,且平面平面; (2)设为的中心,若平面,且,求直线与平面所成角的正弦值.        19. 已知的内角,,的对边分别为,,,向量,,且.   (1)求角;   (2)若,且,求面积. 四川省芦山中学2023-2024学年高一下期末模拟试题 期末答案和解析 第1题： 【答案】D 【解析】与向量共线且模相等的向量共有：，共个． 第2题： 【答案】C 【解析】由题意建立如图所示直角坐标系,               因为,,则,,,,,设,因为,所以,解得.由,得,所解得所以. 第3题： 【答案】D 【解析】如图，由平行四边形法则和解直角三角形知识，        可得，∴选..．        第4题： 【答案】B 【解析】由已知,某校抽取的学生总数为,       ,那么第百分位数是第和第个数的平均数,        第和第个数分别为,        所以第百分位数是.        故选:B. 第5题： 【答案】B 【解析】由题意,根据简单的随机抽样的方法,利用随机数表从第行的第列开始向右读取,依次为,,,,,由于重复,所以第台取暖器的编号为. 第6题： 【答案】D 【解析】估值法：由已知条件可知，平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，∴，而该多面体的体积必大于6，故选D. 第7题： 【答案】D 【解析】取中点为，连接，． 所以有， 因为，所以， 因为，所以可知，， 所以是一个斜边为，一条直边为的直角三角形． 与所成的角也是与所成的角． 即与所成的角为.        故选：D．        第8题： 【答案】D 【解析】中，可能在内，也可能与平行；中，与可能相交，也可能平行；中，与可能相交，也可能平行；中，，且分别与平面平行，依据面面平行的判定定理可知. 第9题： 【答案】A,B,C 【解析】,因为,所以,所以单位向量,        所以,所以. 第10题： 【答案】A,B 【解析】该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的. 第11题： 【答案】A,D 【解析】当,,三点不共线时,经过这三点可以确定唯一一个平面,        当,,三点共线时,经过这三点就不能确定平面. 第12题： 【答案】 【解析】由,解得,故. 第13题： 【答案】①③． 【解析】设终点为，．        当时，点在上；        当时，点落在内；        当时，点落在阴影区域内，则仅有①③符合要求，        故终点落在阴影区域内的序号是①③． 第14题： 【答案】 【解析】∵球的体积公式是，        两球体积之比是，        ∴半径之比是，        球的表面积公式是，        ∴表面积之比是. 第15题： 【答案】有确定的数量关系，多边形与其直观图多边形的面积之比是。 【解析】①设在中，为高，边平行于轴，用斜二测画法得到的其直观图为，则有，的高为，所以。        ②的三边都不与轴平行时，必可过其中一个顶点作平行于轴的直线与对边相交，不妨设过作与轴平行的直线交于点，        则将分成和，由①可知。        ③对多边形可连接，，得到个三角形，即，，由①②知        多边形的面积==,        其中是多边形的面积。        综上可知，多边形与其直观图多边形的面积之比有确定的数量关系。 第16题： 【答案】丙需要与甲、乙相同的力量，小球才会静止，甲、乙两人的力量不等，不可能静止． 【解析】设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为、、.        根据题意可知，、、三个向量的夹角为，        可先计算. 由于，易知，        且平分、所成的角，即方向与相反，        要使小球静止，则，        所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球才会静止．        若甲、乙两人的力量不相等，根据向量加法的平行四边形法则，       的方向不可能与相反，        也就是说与不可能为相反向量，        所以小球不可能静止..． 第17题： 【答案】见解析 【解析】(1)因为,所以由正弦定理可得:       ,因为,所以,        所以,所以,        即,所以或,即或.①若,则;        ②若,则,因为,所以,即.综上,或.        (2)因为为锐角三角形,所以,因为       ,        即(当且仅当时等号成立),        所以.        即面积的最大值是. 第18题： 【答案】(1)见解析;        (2). 【解析】(1)证明∵,分别为,的中点,底面为正三角形,∴,四边形为矩形,∴,而,∴,可得共面,        由四边形为矩形,得,由,得,又,得平面,平面∴平面平面;        (2)∵平面,平面平面,∴,四边形为平行四边形,而为正三角形的中心,,∴,,,由(1)知直线在平面内的投影为,直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角在等腰梯形中,令,过作于,则,,,,所以直线与平面所成角的正弦值为. 第19题： 【答案】见解析 【解析】(1)        由题意得:       ,即        又       ,即                             (2)                      又,,得        由正弦定理:,得.              . 学科网（北京）股份有限公司 $$