专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 12 25 【知识储备】 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数；(2)求的周长．    例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm． 例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2022春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 课后专项训练 1．（2023春·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 2．（2023·湖南·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（　　） A．4 B． C． D．5 4．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为(    ) A．10 cm B．9 cm C．8 cm D．5 cm 5．（2024·黑龙江·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2023春·河北邯郸·八年级统考开学考试）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 7．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，    其中正确的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有 ．    9．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有 （将所有正确答案的序号填写在横线上）． 10．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，，则的长为 ．    11．（2023江苏八年级月考）如图，在中，，过顶点的直线，、的平分线分别交于点、，若，，则的长为 ． 12．（2023辽宁省葫芦岛八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 ． 13．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，，．与的面积之比为 ；若的面积为52，则 ． 14．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于 ．      15．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，试问：EF与BE、CF关系如何？ 16．（2023·福建泉州·八年级阶段练习）（1）如图1所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的长度；（2）如图2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由. 17．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 18．（2023春·七年级单元测试）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：． （2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：． （3）类比应用：如图3，平分，，，求证：． 19．（2023·重庆·八年级专题练习）解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC中，EFBC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系； （2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DEBC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由． （3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 12 25 【知识储备】 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交于点C，交于点D；②分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点F．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得结果． 【详解】解：∵，，∴， 由题意得：平分，∴，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键． 例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．    (1)求的度数；(2)求的周长． 【答案】(1)(2)12 【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线的定义即可求出的度数；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质可得和为等腰三角形，从而得到等量关系式求出答案． 【详解】（1）解：，， 平分，平分， ， ； （2）解：平分，， ， ，，，同理可得， ， ，，，的周长． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质．运用了数形结合的数学思维．本题的解题关键在于熟练且灵活运用这些知识点． 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm． 【答案】1 【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm， 则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案为：1． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边． 例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 【答案】4cm；4cm． 【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证； 由角度分析易知，即，则有； 又可证，则，则，． 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC． 【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； 已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立． （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC． 【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下： ∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形； ∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB， ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO， ∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形， ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形， ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立． ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG； ∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG， ∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】42 【分析】连接BF，利用高相等，底边成比例的三角形面积之间的关系即可求解． 【详解】解：连接BF，如图， ∵， ∴ ∵是的中点，∴，∴ ∵，∴∴ ∴ ∴∴ 故答案为：42． 【点睛】此题主要考查了三角形面积之间的关系，熟练掌握高相等的三角形，面积的比就等于底边的比是解题的关键． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点．    ，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为3、4、5， ．故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 例3．（2022春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【详解】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴． （2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴， ∵AD平分∠BAC，∴，即， ∴，∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 证明：过C作AD的平行线交AB于点E． ∵ ∴，∠1=∠3，∠2=∠4 ∵AD为∠BAC的外角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠1=∠2=∠4 ∴AE=AC ∴ 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 课后专项训练 1．（2023春·海南·八年级统考期末）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（    ）    A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【分析】根据作图可知平分，根据平行线的性质，求出的度数，即可得解． 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知：平分，∴，故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图—作角平分线．解题的关键是根据作图方法，得到平分． 2．（2023·湖南·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ． 【答案】11 【分析】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可． 【详解】解：∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝BM，EN＝CN， ∵BM＋CN＝11，∴EM＋EN＝11，即MN＝11，答案为：11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识点，能求出ME＝BM和EN＝CN是解此题的关键． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再证明得AG，最后利用勾股定理列出方程进行解答． 【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG， ∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，∴BC＝， 在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴（HL），∴AC＝AG＝9， 设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6， ∵，即，解得x＝，即CE＝，故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及勾股定理的应用等知识，关键是推出∠CEF＝∠CFE和由勾股定理列出方程，体现了方程思想． 4．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为(    ) A．10 cm B．9 cm C．8 cm D．5 cm 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答． 【详解】解：如图： ∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2， ∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3． ∴∠4=∠5，∠2=∠3， 即OD=BD，OE=CE． ∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明△BDO，△OEC都是等腰三角形． 5．（2024·黑龙江·八年级校联考期中）如图，的三边、、的长分别为、、，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：，的三边，，长分别是，，， ∴．故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 6．（2023春·河北邯郸·八年级统考开学考试）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】过I点作于点E，于点F，如图，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，据此即可求得． 【详解】解：过I点作于点E，于点F，如图， ∵、、分别平分、、，∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 7．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在中，平分于，下列结论：①；②；③；④；⑤，    其中正确的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，可得，证得，可得；由等角的余角相等，可证得；然后由的度数不确定，可得不一定等于；又由，和的高相等，所以：：． 【详解】解：①正确，在中，，平分，于，； ②正确，在与中， ，所以，即； ③正确，因为和都与互余，根据同角的余角相等，所以； ④错误，因为的度数不确定，故不一定等于； ⑤错误，因为，和的高相等，所以：：． 故正确的个数为个故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，点E是上一点，平分，平分，延长交的延长线于点F．①；②E为的中点；③若，，则；④若四边形的面积为27，且，则的长为18，其中正确的结论有 ．    【答案】①②③④ 【分析】①根据平分，平分，，推出，进而得，证明；②通过，推出为的中点； ③由，推出，得出的长； ④由①②③可得的面积等于四边形的面积为27，再根据及面积公式求出的长． 【详解】解：，，，， 平分，平分，，， ，， ，，①正确；，， ，，， ，，为的中点；②正确； ，，，③正确； 四边形的面积为27，由①②③可得的面积为27，， ，，，， 的长为18，④正确．故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线性质，熟练掌握两个知识点的综合应用是解题关键． 9．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有 （将所有正确答案的序号填写在横线上）． 【答案】①③④. 【分析】①根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根据外角的性质即可得到结论； ②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等； ③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到结论； ④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论． 【详解】①BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC， ∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC， ∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，∴∠BEC=∠BAC，故①正确； ∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误；③BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE=∠GEB， ∴∠ABE=∠GEB，∴BG=GE，同理CH=HE，∴BG−CH=GE−EH=GH，∴BG=CH+GH，故③正确； ④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图， ∵BE平分∠ABC，∴EM=ED，∵CE平分∠ACD，∴EN=ED，∴EN=EM，∴AE平分∠CAM， 设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图， 则∠BAC=180−2z，∠ACB=180−2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180， ∴2y+180−2z+180−2x=180，∴x+z=y+90， ∵z=y+∠AEB，∴x+y+∠AEB=y+90，∴x+∠AEB=90，即∠ACE+∠AEB=90，故④正确.故答案为①③④. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理， 三角形的外角性质等多个知识点.判断出AE是△ABC的外角平分线是关键. 10．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作于H，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，则由勾股定理可得，由角平分线的定义得到，再由得到，代值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H， 在中，，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的定义，三角形面积，正确求出的长是解题的关键． 11．（2023江苏八年级月考）如图，在中，，过顶点的直线，、的平分线分别交于点、，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据勾股定理，易求得.由于平分， 故，而，所以，所以， 根据等角对等边，故有.同理，有，所以. 考点：1.勾股定理；2.平行线中三线八角的性质；3.等腰三角形的性质. 12．（2023辽宁省葫芦岛八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为 ． 【答案】10cm 【分析】由角平分线的性质、平行线的性质可得OD=BD，OE=CE，从而BC的长等于△ODE的周长，问题即解决． 【详解】∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠DBO ∵OD∥AB∴∠DOB=∠ABO∴∠DBO=∠DOB∴OD=BD同理OE=CE ∵OD+DE+OE=10cm∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm故答案为：10cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，关键是利用角平分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形． 13．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为E，，．与的面积之比为 ；若的面积为52，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，进而求得与的面积之比；（2）根据（1）求出的与的面积之比，得到的面积，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图：过点D作于F， 是的角平分线，，， ；， ，，解得，故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质和三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 14．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于 ．      【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的边上的高相等，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点O作于D，于E，于F，    ∵O是三条角平分线的交点，∴， ∵， ∴ ．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，试问：EF与BE、CF关系如何？ 【答案】EF＝BE﹣CF 【分析】根据角平分线得出∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠CBD，推出∠ABD＝∠EDB，推出DE＝BE，同理推出DF＝CF，即可得出答案． 【详解】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，同理DF＝CF， ∵EF＝DE﹣DF，∴EF＝BE﹣CF． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定的应用，关键是推出DE＝BE和CF＝DF． 16．（2023·福建泉州·八年级阶段练习）（1）如图1所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的长度；（2）如图2所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由. 【答案】（1）8；（2）BE﹣CF＝EF． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED和DF＝CF，然后可得BE+CF＝EF，代入即可得到结论． （2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD． ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴BE+CF＝EF． ∵BE=3，CF=5，∴EF=3+5=8； （2）BE﹣CF＝EF．理由如下：由（1）知BE＝ED． ∵CD平分∠ACG，∴∠ACD=∠DCG． ∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG，∴∠EDC＝∠ACD，∴CF＝DF． 又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 17．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：    【知识回顾】 （1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证： 【深入探究】（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求． 【应用迁移】（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【分析】（1）根据证明即可； （2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解； （3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， 在和中，，， （2）解：如图，过点作于点，作于点，    平分，， ，，同理可证，∴． ，，设，则 ，，； （3）解：过E作于G，连接，    ∵P为中点，∴，设， ∵是边上的中线，∴设， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵是的角平分线，，∴， ∴，∴，故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（2023春·七年级单元测试）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：． （2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：． （3）类比应用：如图3，平分，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC； （2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解； （3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案； 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF， ∵ ，，∴：=AB：AC； （2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE 又∵ AD平分∠CAE，∴ ∠CAD=∠DAE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE， ∴ ，∴ ，∴AB：AC=BD：CD； （3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵ ∠D+∠AEB=180°， 又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM， 在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线， 故 ，∴BE：CD=AB：AC； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键； 19．（2023·重庆·八年级专题练习）解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC中，EFBC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系； （2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DEBC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由． （3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由两直线平行内错角相等，和角平分线的定义得出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等腰三角形的性质得出BE＝DE，CF＝DF，即可得出结论； （2）由两直线平行内错角相等，和角平分线的定义得出∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠GCD，由等腰三角形的性质得出BE＝DE，CF＝DF，等量代换即可得出结论； （3）由两直线平行内错角相等，和角平分线的定义得出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，由等腰三角形的性质得出BE＝DE，CF＝DF，等量代换即可得出结论； 【详解】解：（1）．理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵EF//BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，CF＝DF， ∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF，即BE＋CF＝EF； （2），理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠GCD， ∵DEBC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠GCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，CF＝DF， ∴EF＝DE－FD＝BE－CF，即； （3），理由如下： ∵BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵DEBC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，CF＝DF， ∵EF＝DE+FD，∴EF＝BE+CF， 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$